Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Произведем минимизацию функционала (III . 36) по параметрам

glk, dj (см. функционал (III . 20)) . Подберем

числа

ръ

/\, slf от

которых

зависит функционал ( I I I . 3 6 ) , так,

чтобы

минимальное

значение

функционала удовлетворяло условию V21

<

е. Из дан­

ного условия определяется корреляционная функция эквивалент­

ного

процесса

Wx

(t),

а тем

самым

и

корреляционная

функция

ошибки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КАх Дл- (^1,

^2) = Kwxwx {tl,

h).

 

Перейдем теперь к определению корреляционной функции

ошибки Ау. Из системы уравнений

(III . 34)

получаем

уравнение

4-го порядка

относительно ошибки

Ау:

 

 

 

 

Aiy(t)p*Ay

+

••• +

Aoy(t)Ay-\-f(Ax)

= Fy(()

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A„(*)L Ay

+ f(Ax)

=

Fy.(t),

 

где

Ау (t) —

матрица-строка,

размерность

которой

равна 4,

а коэффициенты однозначно определяются через коэффициенты

уравнения

( I I I . 3 4 ) ; f (Ах)

—

известная функция, зависящая от

ошибки

Ах;

Fy (t) — функция, зависящая от ошибок ухода гиро­

скопов

и их производных.

 

 

Для функций / (Ах), Fy

(t)

известны их моменты распределений.

Наряду с корреляционной функцией ошибки определим взаим­ ную корреляционную функцию между ошибками Ах и Ау. По­

строим

эквивалентный

процесс Wy

(t),

для

которого

 

 

 

 

 

MWy(t)

=

 

MAy,

 

 

а корреляционная

функция

процесса

Wy (t)

такова, что

функ­

ционал

т т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V22

=

±\\{M[Ay

(i,) L Ay (tx)

+

/ (Ax {tj))]

[Ay (t2) L Ay (t2)

+

 

 

о 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ / (Ax (t2))} -

MFy

 

(tj) Fy (t2)\4txdt2

(111.37)

имеет

значение V22

<

e, где

e >

0 — допустимая точность

в оп­

ределении корреляционной функции ошибки Ау и взаимной кор­ реляционной функции между ошибками Ах и Ау.

Согласно формуле (III . 28) процесс Wy (t) определим разло­

жением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wy(t)=

S

" / Л

(О,

 

 

 

 

 

k = i

 

 

 

где

Мику

= ijk, М

luky —

Miikyf

=

Mvly;

значение Mv\y оп­

ределяется

условием

( I I I . 2 6 ) .

 

 

 

Определим взаимную корреляционную функцию между ошиб­

ками

Ах и

Ау как

взаимную, корреляционную функцию между

114

эквивалентными процессами

Wx

(/) и

Wy

(/):

 

 

г,

г.,

 

 

 

 

 

 

 

KbxAyih, t2)=

ti

S

Mlutx

 

—

Mulx]luJV

 

—

Mu]e\(plx(t])y}y(tJ,

 

i = 1

/ =

1

 

 

 

 

 

 

где Muixtijy—неизвестные

 

параметры.

функционала

(III . 37) от­

Определив

минимальное

значение

носительно параметров

р2,

r2,

s2,

Muixuju,

найдем

корреляцион­

ную функцию ошибки Ау и взаимную корреляционную функцию между ошибками Ах и Ау.

Аналогично определяется корреляционная функция ошибки Az и взаимные корреляционные функции между ошибками Az и Ад;, Аг и Ау.

Таким образом, реализуя приведенные алгоритмы, получаем значения для моментов распределения ошибок в определении координат центра масс объекта управления. Заметим, что для ошибок Ах, Ay, Az построены их канонические разложения. Ошибки Ах, Ay, Az в определении скорости центра масс объекта управления находятся дифференцированием канонических раз­ ложений ошибок Ах, Ay, Az, при этом моменты распределения случайных величин, входящих в канонические разложения, из­ вестны, тем самым известны и моменты распределения ошибок в определении скорости центра масс объекта управления.

Оценка реализуемости алгоритмов. Алгоритм определения моментов распределения ошибок координат центра масс объекта управления включает в себя алгоритм обработки статистических данных, поступающих от акселерометров, и алгоритм определе­ ния моментов распределения выходных координат системы ( I I I . 3 4 ) .

Реализуемость алгоритма обработки статистических данных дана для управляющей ЦВМ, основные параметры которой сов­ падают с управляющей ЦВМ «Днепр» (п. 9).

Алгоритм определения моментов распределения ошибок ко­ ординат центра масс объекта управления включает в себя алго­ ритм решения системы обыкновенных' дифференциальных урав­ нений с переменными коэффициентами и алгоритм минимизации

функционалов типа

( I I I . 3 6 ) ,

( I I I . 3 7 ) .

 

Один из возможных численных методов минимизации функцио­

налов типа ( I I I . 3 6 ) ,

(III . 37)

сводится к реализации

алгоритма

решения систем обыкновенных дифференциальных

уравнений

(см. Приложение). При этом получаем две системы обыкновенных дифференциальных уравнений, порядки которых соответствуют числу неизвестных параметров, по которым производится мини­ мизация функционалов ( I I I . 3 6 ) , ( I I I . 3 7 ) .

Отсюда следует, что имеется принципиальная возможность полностью реализовать алгоритм определения моментов распре­ деления координат центра масс объекта управления с помощью управляющей ЦВМ.

8*

115

 

 

 

17.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

СЛУЧАЙНОГО

ПОЛЯ

 

 

 

 

 

 

ЛИНЕЙНЫМ

ОПЕРАТОРОМ

Однородные

и

изотропные

поля.

Пусть У (0) —

одномерное,

однородное

и

изотропное

поле,

зависящее

от

точки 0 =

= (0ц

. . .,

0А )

/г-мерного

пространства

G, 0 £ в

обладает

свой­

ством

эргодичности.

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

линейный

оператор

 

 

 

 

 

 

 

A L = А„ ——(- A , „ i

 

+ А0,

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

( А „

A i _ i , .

 

А>)

 

 

 

постоянная

(/г + 1)-мерная

матрица-строка;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dQ1~l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Тогда [24] AL-У (0) определяет однородное и изотропное поле

X (0), т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A L K (°) ^ Д О -

 

 

 

Математическое ожидание

поля

X (0)

равно

 

 

 

 

 

 

 

A L A f K =

i4oMr =

M X ( 8 ) ,

 

(111.38)

если

оператор

L

и математическое

ожидание

перестановочны.

Спектральная

плотность

sx

(со) поля

X (0)

равна

 

 

I A ( " » i ) n

+

A , - i ( t o i ) ' , - 1

+ . . . +

А,1Ч(<°) = М а ) .

(1П.39)

где

su

(со) —

спектральная

плотность

поля Y (0); со —

длина

вектора

со =

(а>1з

. . , соА).

 

 

 

 

 

 

 

. Если поле У (6) обладает свойством эргодичности, то решается

задача уточнения моментов распределения поля

 

 

 

niy =

MY(Q),

 

 

 

Ку (01 2 ) =

M[Y (вх ) -

т„][У (02 ) -

ту],

 

если известно т . выборочных значений поля

Y (0), т. е.

известны

значения

У (8„) (п =

1, т ) , и определена аналитическая струк­

тура корреляционной

функции

поля У (0). Здесь 0 1 2

— длина

вектора 0 Х

— 0 2 .

 

 

 

 

116

Используя результаты, приведенные в п. 10, уточним моменты

распределения поля Y (9). По формулам

( I I I . 3 8 ) ,

(III . 39)

уточним

априорные моменты

распределения поля X (0).

 

 

 

Поля, имеющие каноническое разложение частного вида. Пусть

Y

(t,

0) — одномерное случайное поле,

где t £

Т, 0 =

( 0 l t . . .

•

• •>

0*-i) — точка

(k— 1)-мерного

пространства,

0г 6

Поле Y (t, 0) имеет каноническое разложение

вида (1.46). Рас­

смотрим линейный оператор

 

A ( 0 L = A ( 0 - ^ + A , _ i ( 0 - | ^ +

. . . + Л ( 0 .

где

' А(*) = (Д,(0, A , _ i ( 0 , . . . , А > ( 0 )

есть (п + 1)-мерная матрица-строка; Лг (t) — известные функции времени;

dt"

dt'

• i

 

Предположим, что для поля Y (t, 0) выполнены все условия, сформулированные в постановке задачи (п. 11).

Оператор A (t) LY (t, 0) = X (t, 0) определяет случайное поле, каноническое разложение которого имеет вид (1.46).

Определим моменты распределения поля Y (t, 0), относительно которого выполнены все условия, сформулированные в поста­ новке задачи п. 11. Аналитическую структуру моментов распре­ деления поля X (t, 0) определим, исходя из аналитической струк­ туры моментов распределения поля Y (t, 0). Используя резуль­

таты,

данные в п. 11, определим

моменты распределения

поля

X (t,

0).

^

 

 

 

 

Таким

образом решается задача

уточнения

априорных

мо­

ментов распределения поля X (t; 8),

сводящаяся

к определению

моментов

распределения данного

поля Y (t, 9).

 

 

Глава IV

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ, ВХОДЯЩИХ В УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

18. ОЦЕНИВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ЧАСТНОГО ВИДА

Постановка задачи. Рассмотрим динамическую систему, пове­ дение которой описывается линейным дифференциальным уравне­ нием ( I I I . 2 ) порядка п с нулевыми начальными данными, в ко­ тором X (t) — входное воздействие, являющееся случайным про­ цессом с известными моментами распределения; Y (i) — выход системы, представляющий собой измеряемую координату си­ стемы управления. Измеряемая координата содержит одну реали­

зацию

процесса Y

(/),

t £ Т

и за время

Т образует

в ЦВМ

мас­

сив статистических

данных

R„ = (Y (tx),

Y (/.,), .

. .,

Y

(tm))\

A (t) —

(п + 1)-мерная

матрица-строка, функции At

(t)

которой

непрерывны на Т, причем хотя бы для одной из функций A (t), например Лу- (I), значения функции неизвестны для всех I £ Т. Для каждой из неизвестных функций А-} (i) известна ее аналити­ ческая структура, в частности, имеет место, например, соотно­ шение

 

А 1 (0 = B i (0 + Д

Я/йФд ( О '

 

( I V . 1)

где В/ [t)

— известная на Т функция;

ср//г (t)

— известные на Т

функции;

ajk — неизвестные

коэффициенты; г — конечное число.

Разложение (IV. 1) показывает, что

для

функции

А-} (I) оп­

ределена

ее аналитическая

структура.

 

 

 

Обозначим через q = (аг,

. . .,

а,)

— неизвестный

параметр

заданной размерности, каждая из координат которого является

неизвестным

коэффициентом

неизвестной функции Aj (t)

ма­

трицы A (t), имеющей разложение (IV. 1). В частности, если Л;-

(t)—

единственная

неизвестная функция, входящая

в матрицу A

(t),

то q = (<2Д,

. . .,

ajr).

 

 

 

Требуется

при

некоторых

дополнительных

предположениях

относительно входного воздействия X (t) дать статистическую оценку неизвестному параметру q, координатами которого яв-

118

Смотрите также файлы