Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

исчезает,

поэтому д л я оценки

его р а з м е р о в целесообразно

взять

удвоенный интервал от

центра пакета

до первого минимума ам-

Дх

плитуды,

определяемого

из условия А к х — = ~ ,

о т к у д а

Дк х Ах —

— 2г.. Если учесть, что в действительности пакет имеет

большие

р а з м е р ы ,

то

равенство

Д к х

Д х = 2 я

следует

заменить

более

общим в ы р а ж е н и е м Д к х

Д х ^

2л.

Согласно

ф о р м у л а м

де Б р о й л я .

2г .. Д Р х

2 л . Д р у

Ак7

2t-.-AP z

Д к х

=

А к у

=

П о д с т а в л я я

эти значения

в в ы р а ж е н и я

(24),

получаем

соотно­

шение

Гейзенберга

A x A p x > h ;

A y A p y > h ;

AzApz >

h*.

(25)

Это означает, что у микрочастиц нельзя

одновременно

сколько

угодно точно измерить координаты и проекции импульса:

чем

точнее измерена координата, т. е. чем меньше, например,

Д х ,

тем больше

Д р х ,

значит,

р х становится

все более

неопределен­

ной, и наоборот. Описанная неопределенность обусловлена

не

несовершенством

техники

измерения,

а

внутренней природой

самих

микрообъектов . Поскольку координаты

и

импульсы

не

тиц,

то понятие траектории

д л я них теряет

смысл, ибо

траекто ­

р и я — это линия,

в к а ж д о й

точке

которой

одновременное . и точ­

ное

у к а з а н и е координат и импульсов принципиально

возможно .

*

Более строгие

расчеты

показывают:

коэффициент перед h

в

соотноше­

ниях

(25) заключен

в пределах от

0,1

до

1.

Обычно его берут равным

1/2 л, и,

h

,

>

h

AzApz

h

таким образом, ДхДрх > —- ,

ДуДру

— ,

> ——.

ется л и ш ь ограничениями д л я

координат и импульсов; такие ж е

ограничения н а к л а д ы в а ю т с я

на погрешности измерения энер ­

ства.

Рассмотрим

конкретный

пример . Свободная

частица

дви­

ж е т с я

по

оси

X с

энергией Е = р х - ,

о т к у д а Д р х

=

— т 0 .

И л и ,

. 2 т 0

р х

учтя,

что

рх == m 0 v x === т о

—,

Ар х =

— - — .

У м н о ж и м

обе

части

последнего равенства

на

Д х

и, сопоставив

его с

неравенством

(25),

получим

A E - A t > - h .

(26)

Итак, если в данной точке пространства одновременно изме­

ряется энергия частицы Е и момент ее появления

(или

исчез­

новения)

t, то чем точнее определяется

первая величина

( Д Е - > -

- > 0 ) ,

тем

все

неопределеннее

становится

вторая

( Ä t - > o o ) , и

обратно .

Соотношение . (26) может иметь

и

т а к у ю

интерпрета­

цию: пусть A t — время

жизни

возбужденной

системы,

например

излучающего атома или радиоактивного ядра, тогда

ДЕ — не­

определенность энергии системы. Принцип

неопределенностей

справедлив и д л я других сопряженных

координат . Н и л ь с

Б о р

выдвинул

положение, согласно

которому

в ы р а ж е н и я

(25)

и

(26)

становится невоспринимаемым

другое.

Это

утверждение

Б о р а

получило

название

принципа дополнительности, частным

случаем

которого

является

соотношение

неопределенности

Гейзенберга .

Соотношение

неопределенностей

нередко

толкуют

преврат ­

но:

оно,

якобы,

у к а з ы в а е т на

непознаваемость

микрообъектов

или

их ограниченную познаваемость .

В

действительности

ника­

уравнения (25)

и

(26) открывают новые, неведомые свойства,

з а к л ю ч а ю щ и е с я

в

проявлении дополнительных, в смысле Бора,

черт материального

мира.

вероятности

местопребывания частицы, но

и

д л я

н а х о ж д е н и я

остальных

п а р а м е т р о в : энергии, импульса

и

т. д.

С т а л о быть,

опираясь на умозаключения, а главное,

на

опыт.

Д л я

свободной

частицы

\|з-функция

известна:

это

плоская

монохроматическая

волна

де

Б р о й л я

- 2 л і \ _kt-

_

L

I .

О =

ф0 е

\ h

h

(27)

Н а й д е м дифференциальное

уравнение,

решением

которого

яв­

ляется

волна

(27).

П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м

уравнение (27) по х,

у, z и получим

соотношения:

t = T » * >

ь

= I * ' * -

( 2 8 )

Вторые

производные по х, у, z:

4 я 2

2 ,

4*

2 ,

дѢ

4*

2 ,

й = ~ Ѵ * Ь

w =

- ь т Р у

' ;

І 5 =

- ьг P«2 *-

( 2 9 )

С л о ж и м

почленно левые и правые части уравнения

(29):

^ + é +

^

=

~ ^ ( р * " + Р у

+

P z i

• в

~ » р

*•

m

или

короче

h 2

А^ =

Ек ф,

(31)

07С"ГП0

где

А — о п е р а т о р

Л а п л а с а ;

Eh =

~

кинетическая энергия свободной

частицы.

2 т 0

первую

производную

по

времени

от

уравнения

(27)

Возьмем

^ _

=

_ * L l E k

* .

(32)

dt

h

'

Н а й д е м

Ek из

уравнения

(32)

и подставим

найденное

в ы р а ж е ­

ние

в уравнение

(31)

_ ^ д , ^ = _ А д _ І

.

(33)

Это

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

уравнение

и

определяет

^ - ф у н к ц и ю

сво­

частица находится во внешнем силовом поле,

тогда ее п о л н а я

энергия Е будет р а в н а сумме

кинетической

Е^

и

потенциальной

U . Шрёдингер предположил,

что уравнение

(32)

сохраняет силу

и в том случае, если в

его

п р а в у ю

часть

вписать полную энер ­

гию:

^

=

-

^

( Е к

+ и ) ф .

(34)

dt

h

Снова

исключив

из

этого

в ы р а ж е н и я

с помощью

уравнения

(31),

мы получим

одно

из

в а ж н е й ш и х

в ы р а ж е н и й

квантовой

_ Л І _ д Ф . _ О ф =

(35)

8ті2т0

Т

2*1 dt

тивистскими

скоростями.

С математической точки зрения в уравнении

(35)

бесчислен­

ное количество решений, но д а л е к о не все из них имеют

физи­

ческий смысл. Р е а л ь н ы е

значения

получают

те

решения

^ - ф у н к ­

ции,

которые

удовлетворяют

следующим

требованиям:

они

д о л ж н ы быть

конечными,

однозначными

и

непрерывными

вмес­

те со своими первыми производными по

координатам и

време­

ни.

К а ж д о е

из этих

требований

имеет

определенную

физиче­

скую основу. Так, если

бы tf-функция в

каких-то

точках

обра ­

щ а л а с ь в бесконечность,

это

означало

бы,

что

в тех

ж е

точках

о б р а щ а л а с ь

в

бесконечность

и

вероятность

проявления

какого-

либо свойства,

что лишено

физического

смысла . Н е

может

быть

•ф-функция

многозначной,

т. е. принимать

множество

значений

в одной и той

ж е точке

пространства д л я

одних и

тех ж е

физи­

ческих условий, в противном случае с ее помощью нельзя

было

бы делать никаких предсказаний . Наконец,

р а з р ы в ы г|з-функции

в сущности означали бы внезапное исчезновение частиц

в

мес­

тах

р а з р ы в а

и

такое

ж е

их

«воскрешение»

в местах,

где

-ф Ф О,

что немыслимо, но более существенной аргументацией

требо­

вания непрерывности ^ - функции,

а т а к ж е ее производной

я в л я ­

ется

постулированная

справедливость

уравнения

Ш р ё д и н г е р а .

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

Пусть найдены решения уравнения Ш р ё д и н г е р а

д л я

некото­

рой

задачи

і|)Ь

г|)2, т|>з, - ,

тогда

решением

т а к ж е

является

их ли­

нейная комбинация:

n

* =

2

ûj'V

(36)

j = l , 2 , ...