Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

С математической точки зрения высказанное

предположение

вытекает из линейности самого уравнения

(35). О д н а к о подлин­

ное

с о д е р ж а н и е в ы р а ж е н и я (36) сводится

к утверждению,

что

оно

описывает реальную физическую ситуацию,

к а к ірі, гр2,

и

получения

общего. Без этого принципа невозможно объяснить,

например,

интерференцию волн информации . Его т а к ж е исполь­

W

=

J

ф*фаѴ.

(37)

— оо

О д н а к о

вполне

іможет оказаться,

что первое

найденное

решение

не

удовлетворяет

требованию

нормировки.

Тогда

пользуясь

принципом

суперпозиции, выбираем

новое решение

i | /

=

ai|5,

где

а — пока что неопределенный

постоянный множитель, и требу­

ем, чтобы интеграл (37) после

подстановки

в него

г|/

р а в н я л с я

единице:

-f-

оо

W =

a 2

(

^dV

=

I .

(38)

О т с ю д а

а =

•

(39)

Л/

j ^

d v

"

— оо

Следовательно,

г|/ является

у ж е

нормированным решением.

Принцип

суперпозиции

в

квантовой

механике

трактуется

иначе, чем в классической физике. В механике Ньютона

супер­

позиция двух величин А и

В — это

величина

в известном

смыс­

ле

наделенная

свойствами

исходных.

Так,

сумма двух

сил

fi -f- h

есть

сила f,

промежуточная

по величине и

н а п р а в л е н и ю

м е ж д у

fi и

f2 .

причем шансы

реализации состояний, входящих в суперпозицию

в соответствии

с принципом

Борна, пропорциональны

значениям

к в а д р а т о в модулей

с.

КВАНТОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

,

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

И ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ

Математический

аппарат

квантовой механики,

к а к

оказа ­

смысле оператором называется символ, который

показывает,

какое действие следует произвести н а д функцией,

написанной

рядом с ним справа, т. е. над функцией, которую

он « у м н о ж а ­

ет». М ы ставим последнее слово в кавычки, чтобы

подчеркнуть,

дифференцированию,

интегрированию

и другим

операциям,

но

в том

числе

иногда и к умножению . Оператор

какой - либо

вели-

л

чины

M будем обозначать M ,

а действие

его

на

функцию

f в

л

виде

произведения Мі . Существуют разные

классы операторов .

В квантовой

механике применяются линейные операторы, удов­

л е т в о р я ю щ и е

условию

Эрмита .

Линейность

в ы р а ж а е т с я

в

сле­

д у ю щ е м :

M i A + fo) =

M f 1 + M f , .

(40)

Операция от

суммы функций р а в н а сумме операций от слагае ­

мых. Смысл

второго условия выяснится ниже .

Одной из

в а ж н ы х

задач, решение

которых

связано с

приме­

ханических

величин.

В классической статистической физике среднее значение оп­

ределяется

в ы р а ж е н и е м

(см. «Элементы статистической физики»)

M = - J M d W .

(41)

З д е с ь

M — среднее

значение

величины

М ;

d W ' —в е р о я т н о с т ь

того

или иного

числового

значения М .

К в а н т о в а я вероятность по

Б о р н у

р а в н а

-ф**ф dV,

следователь ­

но,

м о ж н о

было бы

предположить,

что

квантовомеханическое

среднее

M

определяется

т а к ж е формулой

(41), если в нее

под­

ставить

вероятность

tj}*ij> dV,

однако

при

этом

получается,

вооб­

щ е

говоря,

неверный

результат . П р а в и л ь н о е

значение M

полу-

чится

л и ш ь

при

подстановке

в

уравнение

(41)

вместо

M

соот-

Л

ветствующего

оператора

М,

причем

его

действие

д о л ж н о

распространяться

л и ш ь

на

второй сомножитель

M =

J

ф*М<^Ѵ.

(42)

л

В ы р а ж е н и е

(42)

дает

правильное

значение

М,

если

M — линей­

ный оператор

и удовлетворяет требованию

M

=

J <|>»M->dV =

J

фМ*<5»*<іѴ =

M * .

(43)

Ф о р м у л а

(43)

к а к

раз

в ы р а ж а е т

условие

Эрмита .

Оно

базиру­

ется на вполне четкой физической основе.

Р е а л ь н о е

значение

имеют л и ш ь

вещественные

(не мнимые)

величины.

А _ к а к

из­

вестно, условие вещественности какой - либо величины M

сводит­

ся к тождеству

M = M * . Очевидно,

Эрмитово

соотношение

(43)

и выполняет это требование .

М о ж е т

ли

квантовая механика п р е д с к а з ы в а т ь не

средние, а

точные

значения

величины

М?

О к а з ы в а е т с я ,

при

соблюдении

р я д а условий

может .

Н а й д е м

эти условия.

Оператор

отклоне­

ния величины M

от ее среднего значения M есть

Л

/

\

_

Л

M .

(44)

ДМ =

M -

M =

/И -

В равенстве

(44)

мы

воспользовались

линейностью

оператора

Л

A M ,

а

т а к ж е

очевидным

утверждением,

что

оператор

постоян­

ного числа есть само число. В среднем это отклонение

д л я

слу­

чайных

величин

тривиальным

образом

равно

нулю,

ибо

поло­

ж и т е л ь н ы е отклонения компенсируются

отрицательными,

но

если

брать

абсолютное

значение A M , то

среднее от

него

не

рав ­

но нулю. Согласно

в ы р а ж е н и ю

(43)

среднее

абсолютное

| А М |

|ЛМ|

=

J ->*|М -

A" I +dV =

j

\Щ

-

Щ

dV.

(45)

М ы ищем точные значения М, но по определению

точное

значение

M

равно

среднему, т.

е. М, или

иначе:

д л я

точного

| Д М |

= 0 .

П р а в а я

часть

уравнения

(45)

в

силу произвольности

о б ъ е м а

и л|з — функции

обратится

в нуль л и ш ь

при

Мф — Щ = 0.

(46)

Полученное

в ы р а ж е н и е

называется

уравнением

д л я

собст-

Л

•ф, имеющие

физическое содержание,

д о л ж н ы

быть

конечными,

непрерывными и однозначными . Н а б о р

(спектр)

решений

д л я M

м о ж е т

быть или непрерывным, или дискретным .

М о ж е т

случить­

ся

так,

что

одному

собственному

значению M

будет

отвечать

л и ш ь одна

собственная функция -ф, т. е. M i ~

грь Мг ~

і|)2- Та­

кое

решение н а з ы в а ю т невырожденным . Н о м о ж е т

случиться,

что

какому - то собственному значению

M j соответствует

а

реше­

ний

']>, Mj — ф.1 ,

ф?,

ф ? , . . ., ф".

Тогда

решение

н а з ы в а е т с я

в ы р о ж д е н н ы м , причем число а (иногда

а — 1) н а з ы в а ю т

кратно ­

стью в ы р о ж д е н и я . Теперь у к а ж е м

способы

отыскания

операто ­

ров

в некоторых

в а ж н е й ш и х случаях . Общего пути их

н а х о ж д е ­

ния

нет. Н а в о д я щ и м и я в л я ю т с я исходные гипотезы,

в

частности

де Б р о й л я , методы проб и постулированные

рецепты.

ОПЕРАТОРЫ ВАЖНЕЙШИХ ДИНАМИЧЕСКИХ

ВЕЛИЧИН

Операторы проекций

импульса

Снова

обратимся

к равенствам

(28). Перепишем

их

несколь­

ко в ином

виде:

С р а в н и в а я эти уравнения

с в ы р а ж е н и е м

(46), у б е ж д а е м с я

в

их

полной эквивалентности, если

принять

M =

р х , р у , pz ,

а

опера­

т о р а м и проекций р следующие символы:

л

h

д

л

п с

> л

h

д

Р х

=

2п1 дк'

РУ "7 2тТі

dy;

P Z

= 2лі dz'

^

'

Операторы

кинетической

энергии

h 2

З а п и с а в уравнение

(31) в

виде — — — Д ф — Ек ф = 0

и

срав ­

нив его с уравнением

(46), найдем

оператор

кинетической

энер ­

гии

С к

8rJm0

8n2 m0

U x 2

ду*

dz*)'

V

'

Оператор

координат и потенциальной энергии,

гамильтониан

К о о р д и н а т ы

X, у, z во

всех

расчетах

выступают в виде пе­

ременных чисел,

которые

не у к а з ы в а ю т никакого действия

на д

функцией, написанной

рядом

с

ними,

кроме

умножения,

т а к

что операторами

координат

являются

они сами:

Л

Л

Л

х = х;

у =

у;

г

— г.

(50)

Оператором любой функции от одних

координат

т а к ж е

являет ­

ся

с а м а

эта

функция . Такова,

например,

потенциальная

энергия

U

(х, у,

г),

следовательно,

U = U ( x ,

у,

г).

(51)

Действие

операторов

функций

от

одних координат

сводится

к у м н о ж е н и ю

в

алгебраическом

смысле. Одним

из самых

в а ж -

Л

ных

является

оператор

полной

энергии — Гамильтониан

Н .

Он

равен сумме

операторов

кинетической

и

потенциальной

энергии

Д л я

отыскания

многих

операторов

о к а з а л о с ь применимым

следующее простое правило . Пусть

нам

известна

классическая

ф о р м у л а

какой - либо механической величины М,

т. е.

функция,

о п р е д е л я ю щ а я M

через

координаты

и

импульсы. Д л я

н а х о ж д е -

Л

ния

оператора

M

подставим

в

классическую

ф о р м у л у

вместо

если

встречается

к а к а я - т о

степень п,

то

будем понимать

ее как

п — кратное повторение

операции .

Р а с с м о т р и м

несколько

примеров.

Классическое

в ы р а ж е н и е

„

Р2

=

Px 2 + Py2 + Pz2

н

вместо

кинетической энергии Ь =

к—

к=.

• Подставим

Рх, р у , p z

операторы

h

д

h

д

h

д

2

й

считать

—-

да '

—

—

—

— и

р х

будем

2тл

2ш ду

2ъ\

дг

h2

д2

д в у х к р а т н ое дифференцирование, т. е.

р х = — • — • — .

Тогда

снова

придем

к

у ж е известному

нам

оператору

(49).

Классиче ­

с к а я

ф о р м у л а

проекций

момента

импульса:

L x

= y p z

— zpy ;

L y

=

zpx

— x p z ;

L z =

x p y

— yp x .

(53)

Согласно

только

что сформулированному

п р а в и л у находим опе­

р а т о р ы этих проекций:

л

h i d

d \

л

h ( д

д\

л

(

д

д\