Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Р е ш е н и е . Запишем систему в виде табл. 3.7.

Таблица 3.7

0-

г

2

-1

ш ч

0-

ч

3

-/

2

6

0 = 8

5

-3 Н

12

0-

3

3

-2

г

6

Подвергнем данную таблицу последовательно четырем ша­ гам жордановых исключений, заключая каждый раз разреша­ ющий элемент в рамку. Поскольку каждый элемент таблицы надо делить на разрешающий элемент ars, то выгоднее брать в качестве разрешающего элемента единицу (если это возмож­ но). Получаем табл. 3.8.

Таблица 3.8

 

г

 

1

 

-х,

-хг

і

X-

г -/ ч

 

- 2

- 1

- 2

н

 

-1

ЕЗ -г

 

0

- 1

- 2

0 =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

о -з

; -ч

о-

0

- 2

- 2

0 = - 1

-/

о - 2

0

=

 

- 2

 

-х,

/

 

1

 

 

 

х=

- 1

0

х -

-/

 

 

 

У

 

V

 

 

 

 

- 1

0

 

-/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 *

щ

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением системы являются значения: Х\ — І, Хо = I, хъ — — 1,

Х} = —1,

2. Система имеет бесконечное множество решений.

Пример 3.3. Решить систему

2 — 2х, -[• х2

— 4х

3

= О ,

— 4 - xt ~ 2х2

4- Зх3

= О ,

— 6 — 4х, — Зх2

4- 2х

3

= О .

Р е ш е н и е . Составим табл. 3.9,

Таблица 3.9

~JCf ~*Хг ~vXj і

0 =

0=

0=

г -/ ч г

•г -з -Ч

vз -г -6

Произведем шаги жордановых исключений, заключая разешающий элемент в рамку (табл. ЗЛО).

Таблица 3.10

f—7Г

 

1

 

і

10

10

-г

-2

0 = Г5

2

-з

-ч

1

0

0 = -5 10 to-

•0 = о 0

В последней таблице

элемент Хз нельзя

перевести в левый

крайний столбец, так как соответствующий разрешающий эле­ мент равен нулю.

Последняя таблица представляет собой запись следующей системы:

х , =

-

2 • ( - х 3 ) -

2 • I ,

х , =

—

X;,' • 1 4 - 0 -

1 ,

О = 0 • ( — х 3 ) + 0 • 1 .

Итак, данная в условии система имеет бесконечное множе­ ство решений и это решение выражается зависимостью;

3. Система

несовместна.

 

 

 

Пример 3.4. Решить систему

 

 

 

1 ™~

~~" 2л^2

^-^з

*^1 '— ^ '

 

—

 

 

 

 

 

— 3 - х{

+ х2

— 2х3

4- х4

= 0 ,

 

3 4- Зх,

4- Зх2

+ Ъх3

+ х,

=> О .

Р е ш е н и е

оформляем в виде табл. 3.11.

 

 

 

 

 

Таблица 3.11

"ОС, ~Хг

 

 

і

 

і

0= И 2

J

1

1

г з

1 і

0 = / -/

2 -/ -з

0 = -з -1

-г -ч

0 = -3 -3 -8 -1 3

0 = 3 1 2 в

 

 

-хг

 

, 1

 

 

 

-?

-5

-и

 

 

 

3

г

ч

 

0

-

0

0

г

 

В последней таблице элементы х^ и Х\ нельзя перевести в крайний левый столбец, так как соответствующие разрешаю­ щие элементы равны нулю. Третья строка полученной табли­ цы представляет собой запись уравнения 0 = —х2 • 0—х4 • 0 + 2- 1, Ї. е. 0 = 2. Поскольку это противоречиво, то вывод один: систе­ ма несовместна.

§ 3.3. К О Н Т Р О Л Ь В Ы Ч И С Л Е Н И Й

При решении системы с большим числом неизвестных и в случае, если коэффициенты выражены большими числами, лег­ ко допустить ошибку в вычислениях и трудно ее потом обнару-

жить, поэтому желательно иметь контроль вычислений парал­

лельно решению.

 

 

 

 

 

 

 

 

С этой целью вместе с данной системой

(3.1)

можно

решать

контрольную систему

 

 

 

 

 

 

 

 

\У г -

V а,Л - V

a,s xs

=

0,

г ==

1,

2 , . . . , т .

(3.3) .

Решение xs

системы

(3.3)

отличается

от решения xs

систе­

мы (3.1)

точно

на единицу: х}

= х\—1, Х2 — Х2—

1,... ,хп*= лг„ — 1,

что видно-из следующего: если

 

 

 

 

 

 

 

 

Vr

- У ars

xs

= 0 ,

 

 

 

 

TO

 

 

s=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[У г — У а Л - V ars(xs-

1) = 0 .

 

Таким образом, можно решать сразу две системы: (3.1) и для контроля систему (3.3). Коэффициенты при неизвестных у обеих систем совпадают, поэтому с целью контроля естествен­ но над обеими системами производить параллельно одинако­ вые операции, но тогда имеет смысл для системы (3.3) записы­ вать операции только над свободными членами:

 

п

 

°г=Уг-

У «« . г = 1, 2 , . . . . от .

(3.4)

С целью контроля системы (3.1) сразу записывают в виде табл. 3.12 и в дальнейшем все шаги жордановых исключений производят над ней.

 

 

 

 

Таблица 3.12

 

 

 

 

і

0

-

 

 

і/, е,

л

-

<*„••

Уг

ч /

—

 

 

 

» « •

« » 1

• * • • • • f 4 t

* « *

0^

• а г г -

•

 

0=

а ™ -

О ™ Ут

В качестве построчной проверки правильности вычислений коэффициентов таблицы после осуществления какого-либо ша­ га жордановых исключений может служить следующее пра­ вило.

1. Если в крайнем левом столбце рассматриваемой строки сюит «нуль», то коэффициент в крайнем правом столбце равен сумме остальных коэффициентов этой строки, причем свобод­

ный член берется со своим

знаком,' а остальные коэффициен­

ты — с противоположными

знаками.

стоит xf ( 5 = 1 , . . . , п), то

2. Если в крайнем левом

столбце

коэффициент в крайнем правом столбце вычисляется по тому

же правилу с той разницей, что вместо

xs прибавляется

— 1 .

В справедливости этого правила

можно-убедиться

непо­

средственной проверкой вычислений шага жордановых исклю­ чений.

§ 3.4. О П И С А Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й Р А Б О Т Ы

 

Требуется решить систему

 

 

 

у, — ап

х, — а12

х, — а13

х, = 0 .

 

у2 — а-21 Х[ — а22

х., — а23

х3 — 0 ,

 

Уз — а31

х, — а32

х2 — а33

х2 = 0 .

(3.5)

Записав эту систему в виде табл. 3.12, получим

конкретно

табл. 3.13.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.13

 

- х,

%

1

 

 

і

 

0-- а„

 

 

а її-

a,s

0=

<*„

а

„

%

< V

а

-

 

 

г/

 

0=

а

 

%

 

б 3 =

а

- а -

а

 

31

 

 

 

21

Зі

Если, например, а П Ф О ,

то произведя один шаг жордано­

вых исключений

над всей

табл.

3.13 с разрешающим

элемен­

том а\\, получим новую табл. 3.14.

Смотрите также файлы