Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
Формула парабол:
|
О |
|
2 (/л' |
4- //4 + |
//е ) |
-I- 4 (у, |
4- + //3 4- |
/ / 7 ) | ; |
|
|
[і/о -Ь У* + |
||||||||
|
0,2 |
|
2//4 + |
4 («/а |
+ //«)] |
|
|
|
|
|
(//о + |
Ун + |
|
|
|
||||
|
Нахождение |
интерполяционных |
узлов |
оформим |
в |
виде |
|||
.табл. 7.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.3 |
||
|
|
|
|
|
|
К о э ф ф и ц и е н т |
п р и V/, |
||
k |
|
1 \- |
4 |
|
1 |
в ф о р м у л е п а р а б о л |
|||
|
Vt. — • |
1 + |
., |
= 0,1 |
Л = |
0,2 |
|||
|
|
|
|
|
h |
||||
0 |
0 |
1 |
|
1,0000 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
0,1 |
1,01 |
0,9901 |
|
4 |
0 |
|
||
2 |
0,2 |
1,04 |
0,9615 |
|
2 |
4 |
|
||
3 |
0,3 |
1,09. |
0,9174 |
|
4 |
0 |
|
||
4 |
0,4 |
1,16 |
0,8621 |
|
2 |
2 |
|
||
5 |
0,5 |
1,25 |
0,8000 |
|
4 |
0 |
|
||
6 |
0,6 |
1,36 |
0,7353 |
|
2 |
4 |
|
||
7 |
0,7 |
1,49 |
0,6711 |
|
4 |
0 |
|
||
8 |
0,8 |
1,64 |
0,06098 |
|
1 |
I |
т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты вычислений оформим в виде табл."7.4.
ВЫ В О Д Ы
1.Рассмотренные формулы для оценки погрешностей дают завышенные значения по сравнению с истинными погрешнос тями.
2.Анализируя результаты, видим, что при одних и тех же данных формула трапеций более точна, чем формулы прямо угольников, а вычисления практически не усложняются, и осо бенно высокой точностью обладает формула парабол при
сравнительной ее простоте. |
\ |
НазВаниє |
Результат |
О. ёсо/іЮпіНая |
Относ |
ительная |
|||||
|
вычисления |
погреш |
носгпь |
no і ре UJ H ocmb |
|||||
J, |
0 693 |
75 |
|
001922 |
|
0 |
028^3% |
||
|
|
|
оогооо |
|
|
|
|
||
1 |
0 65437 |
|
|
0,03 |
= |
3% |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоіго/tb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
С,09Ч<01 |
|
|
|
|
|
|
ов?ч24 |
|
0,000/э |
|
0,00073 |
|
-0,07% |
||
X |
0,6300? |
|
0,04466 |
|
0,0066 |
~ |
0,66% |
||
|
|
|
~0 |
0/5< |
0 |
02 |
|
|
|
J,я |
0,67923 |
|
0,00000 |
|
0, ООО % |
||||
0,67475 |
|
Oj |
00002 |
0,00003 |
~ |
0,003% |
|||
парово*
?z0y00000l4< <. 0 00002
К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы
)
1. В каких случаях применяют численные методы вычисле ния определенных интегралов?
2. Что понимают под численными методами вычисления определенных интегралов?
3.Исходя из геометрических соображений, доказать фор
мулы:
а) прямоугольников (7.4), (7.5); б) трапеций (7.8); в) парабол (7.14).
4.Доказать эти же формулы на основании интерполяцион ного полинома.
5.Как производится оценка погрешностей формул числен ного интегрирования:
а) в случае аналитического задания функции?
б) в случае табличного задания функции?
6. Можно ли произвести оценку погрешности формул (7.5) и (7.7) по формулам (7.19) и (7.20)?
J 32
7.Как применить формулу (7.6) для подсчета оценки по грешности формулы прямоугольников, если функция не моно тонна на отрезке [а; Ь]?
8.Какие формулы дают самую хорошую оценку погрешнос ти формул: прямоугольников, трапеций, или парабол?
9.Какова сравнительная точность формул прямоугольни ков, трапеций и парабол при одном и том же шаге разбиения?
Упражнения к главе 7
2dx
1.Вычислить \ по формуле Ньютона—Лейбница и по
формулам прямоугольников, трапеций и парабол, разбивая интервал интегрирования на 10 равных частей. Затем оценить в процентах относительную погрешность результатов, получен ных по приближенным формулам. (Все вычисления дел'ать с четырьмя десятичными знаками.)
Отв.: !п2~0,6931; 0,7188; 0,6688; 0,6938; 0,6932.
2. На сколько частей следует разделить интервал интегри-
чтобы вычислить его с точностью
до 10~2 по приближенным формулам: прямоугольников, тра пеций и парабол.
Отв.: пх> 100; л 2 > 4 ; пг> 1.
3. Площадь круга единичного радиуса равна ~. Взяв еди ничный круг с центром в начале координат, уравнение окруж ности которого х2 + у2= 1, и применив для вычисления площади этого круга интегрирование, получим
о
Пользуясь формулами прямоугольников, трапеций и пара бол, вычислить приближенно число г., разбивая интервал ин-, тегрирования [0; 1] на 10 частей. Полученные результаты сравнить между собой и с табличным значением числа г..
Отв.: По правилу |
прямоугольников - ^2,904 (с |
недостат |
ком) и rss3,305 (с избытком). По формуле трапеций |
3,104. |
|
По формуле парабол |
3,127. |
|
4. Вычислить |
|
|
|
10 dx |
|
используя формулу парабол при и =10. Найти модуль перехо да от натуральных логарифмов к десятичным. Сравнить с таб личным значением.
Отв.: 1п10~2,31; |
|
||
М = |
1 |
0,433 |
|
In 10 |
|||
|
|
||
5. Вычислить по формуле парабол интеграл
1,35
\f(x)dx,
пользуясь табл. 7.5 значений функции f (х).
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.5 |
X |
1,05 |
1,10 |
1,15 • |
1,20 |
1,25 |
1,30 |
1,35 |
fix) |
2,36 |
2,50 |
2,74 |
3,04 |
3,46 |
3,08 |
4,60 |
6. Под действием переменной силы F, направленной вдоль оси ОХ, материальная точка переместилась по .оси ОХ из поло жения х = 0 в положение х = 4. Вычислить приближенно рабо ту А силы F, если-дана табл. 7.6 значений ее модуля F. Вычис ление провести по формуле трапеций и по формуле Симпсоиа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.6 |
X |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
F |
1,50 |
0,75 |
0,50 |
0,75 |
1,50 |
2,75 |
4,50 |
6,75 |
10,00 |
Отв.: По формуле трапеций — 11,625; по формуле Симпсо
иа — 11,417.
7.Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади участка между рекой и прямой АВ прове
дены 11 перпендикуляров к АВ от реки |
через каждые |
5 м |
(следовательно, прямая АВ имеет длину |
60 м). Длины |
этих |
перпендикуляров оказались равными 3,28; 4,02; 4,64; 5,26; 4,98; 3,62; 3,82; 4,68; 5,26; 3,82; 3,24 м. Вычислить приближенное зна чение площади участка. •
Отв.: ^239 м2 по формуле парабол.
В примерах 8—16, пользуясь формулой парабол, вычислить данные интегралы, которые не могут быть найдены в конечном
виде с помощью |
элементарных |
функций. Число я разбиений |
|||||
отрезка интегрирования указано в скобках, |
|||||||
8. |
jі |
У |
1 - |
Xя |
dx |
(10) . |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«0,837. |
|
|
|
|
||
9. |
jі |
У |
I + |
XІ |
dx |
(10) . |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.; |
«1,09. |
|
|
|
|
||
Ю. |
5 |
dx |
|
|
|
|
|
J |
- ^ - ( 6 ) |
|
|
|
|||
|
In |
X |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
-2,59. |
|
|
|
|
||
11. |
j |
У |
cos ? |
df |
(10) . |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«0,950. |
|
|
|
|
||
12. |
} |
V |
1 — |
0,1 |
sin- ъ d'i |
(6) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«1,53.. |
|
|
|
|
||
13. |
| |
- ! ^ L . r f . r ( i o ) |
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«0,985. |
|
|
|
|
||
, . |
Т |
sin X |
, |
. |
. „ . |
|
|
14. |
о |
— - — |
dx |
(10) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«1,371. |
|
|
|
|
||
1 5 - |
f - , s r ( 1 0 ' • |
|
|
||||
|
2 |
«1,118. |
|
|
|
|
|
Отв.: |
|
|
|
|
|||
16. |
j |
sin |
(х-) |
t/x |
(10) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: «0,157.