Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
Учитывая, что
Л2 г/0 = |
Лг/, — Д / / 0 = |
; / 2 |
— |
2г/, |
+ //„ , |
|
||
перепишем формулу |
(7.17) в виде: |
|
|
|
|
|||
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
/(x)dx^-j- |
(у, |
і |
4//, |
+ |
;,2 ) . |
(7.18) |
||
Наконец, разобьем отрезок [о; 6] на п равных частей и при |
||||||||
меним к каждой части формулы |
(7.15) |
или (7.16), в |
результа |
|||||
те суммирования |
получим |
формулу |
прямоугольников (7.4) |
|||||
или формулу трапеций (7.8). |
|
|
|
|
|
|
||
Разбив отрезок [а; Ь] на отрезки |
|
|
|
|
||||
[х0 ; |
х2 |, |
[х,; х4] , . . . , \х<,п-2\ |
х.2п\ |
|
||||
с длинами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2А = |
|
|
, |
|
|
|
применим к каждому из этих отрезков |
формулу (7.18), в ре |
|||||||
зультате суммирования получим |
формулу |
парабол |
(7.14). |
|||||
§ 7.5. О Ц Е Н К А П О Г Р Е Ш Н О С Т И |
Ф О Р М У Л |
|
|
|
||||
П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К О В И Т Р А П Е Ц И И
Поскольку выводы оценок погрешностей формул прямо угольников, трапеций и парабол аналогичны, то сообщим со ответствующие результаты для формул прямоугольников и па рабол без доказательства, а доказательство подробно прове дем в § 6 для формулы парабол как образец.
Оценкой погрешности формулы прямоугольников (7.4) служит неравенство
k « | . < ( о ~ а ) - |
max |
f"{x)\, |
(7.19) |
list II |
х є [а; |
Ь\ |
|
го чаще пользуются менее точной, но зато более простой в вы числениях формулой
; г 0 | < ( Ь ? „ а У |
max . / ' ( * ) : • |
(7-20) |
Однако формулы (7.19) и (7.20) нельзя применять, если неизвестно аналитическое задание функции у=){х). Тогда приходится пользоваться заведомо грубой оценкой погреш ности (7.6).
Погрешность формулы трапеций (7.8) оценивается по фор муле
I ' . K - ^ r |
r ^ - |
™ х |
(7.21) |
1^ |
И |
х є [a; ft] |
|
Если функция определена опытным путем, то для оценки погрешности формулы трапеций применяют формулу
\гЛ< |
Ь ТТ-> а |
m a x |
Iх ' Ук I • |
(7.22) |
|
М |
ь |
|
|
Иногда довольно хорошую оценку погрешности формулы (7.8) можно получить, применяя правило: если г, — ] У — У.,„ \ и оба приближенных значения У„ и У.,„ отклоняются от истин ного значения
|
|
J |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
= |
Г / |
( Х ) rfjc |
|
|
|
||
в одну и ту же сторону, то |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
г, |
< |
- L | j |
n _ |
Л„ j , |
|
(7.23) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У„ — результат формулы |
(7.8) |
при разбиении |
отрезка |
||||||
[а; Ь] на п частей; |
|
|
|
|
|
||||
Ля — результат той же формулы |
при разбиении отрезка |
||||||||
[а; Ь] на 2п частей. |
|
|
|
|
|
||||
S 7.6. О Ц Е Н К А |
П О Г Р Е Ш Н О С Т И Ф О Р М У Л Ы |
П А Р А Б О Л |
|
|
|||||
Оценку погрешности формулы парабол (7.18) получим, -по |
|||||||||
ложив в формуле (7.3) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
о |
|
|
|
а + |
b |
' |
|
|
г, < |
М |
(х |
— |
о)[х |
f!~^-\(x~b) |
|
dx=* |
||
3 ! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
Ma |
= |
max |
| / " ' (JC) |
І |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
л € |о; ft] |
|
|
|
|
|
Поскольку формула (7.14) получается суммированием п формул вида (7.18), то погрешность формулы (7.14) оценится величиной
. |
Л13 { b — а |
У |
(Ь — а)1 - |
. |
. ч |
о с . |
Используя другие |
рассуждения, покажем, что формула па |
|||||
рабол имеет более высокую точность, чем дает формула |
(7.25). |
|||||
Л именно, хотя формула |
(7.14) содержит только разности вто |
|||||
рого порядка, ее погрешность выражается через разности чет
вертого |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
доказательства |
этого |
предположим, |
что на |
отрезке |
||||||||||
[х0; Хі] — [й\ |
b] функция |
может |
быть с достаточной точностью |
||||||||||||
представлена |
интерполяционным |
полиномом |
Ньютона |
(5.12) |
|||||||||||
четвертой |
степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
/ ( * ) |
^ |
Я 4 |
(х) |
= |
Р,_ (*) |
+ |
- |
С - ^ Н * - ? ) - |
дз у{} |
+ |
|||||
|
|
|
|
t |
( t |
- \ ) ( l - 2 ) |
(t.- |
3) |
|
|
|
|
|||
Проинтегрируем |
это приближенное |
равенство |
на |
отрезке |
|||||||||||
[хо; х2]. |
Интеграл |
от Р^{х) |
даст |
выражение |
(7.18), следова |
||||||||||
тельно, |
интегралы |
от остальных |
членов могут |
служить-для |
|||||||||||
оценки |
погрешности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Простые вычисления |
дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (і —\) |
(t— |
2) (t - |
3) |
\4ytlhdt-= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
і |
|
|
|
|
^ - Д 4 / |
/ 0 |
А . |
|||
. " (Для вычисления |
пределов |
переменной t |
напомним, |
что |
|||||||||||
связь между переменными х и / дается |
формулой |
|
|
||||||||||||
і = 2 bХ — а
Величина
1
служит для оценки погрешности формул (7.17) и (7.18).
124
Так как суммирование п формул вида (7.18) приводит к формуле (7.14'), то погрешность формулы (7.14) оценивается величиной
- ~ - |
max |
Д< /А | Ип = |
Ь]т"'~ |
max | A1 yk \ , |
(7.26) |
где max'A''(/k | |
берется по |
всем |
рассматриваемым |
табличным |
|
и |
|
|
|
|
|
разностям |
четвертого порядка. |
|
|
||
Формула (7.26) показывает, что формула парабол дает до статочную точность, когда достаточно малы четвертые разнос ти, так что произведения
,., b — а
не превосходят допустимой поі решности расчета. |
||
Но при этих условиях практически |
V . |
|
max | А4 ук \ = |
/г1 max | / , v |
(х) \ , |
к |
х |
|
и потому погрешность формулы парабол можно также оцени вать по формуле
( ^ W ^ |
m a x |
l / ' V |
W |
> |
|
|
m a x |
/ ' V |
W l > |
(7.27) |
18U |
xe[a;b\ |
|
|
2 o » ( J П* |
л є | я ; * | |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
b — a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
h = |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы |
(7.25) |
и |
(7.27) |
для |
практического |
применения |
||||
почти бесполезны, поскольку найти и оценить |
|
|
|
|||||||
|
|
max |
/ " ' |
(х) , |
и |
max |
[ / I V (х) |
\ |
|
|
чаще всего трудно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В свою очередь недостаток формулы (7.26), несмотря |
на ее |
|||||||||
применимость к функциям, полученным эмпирическим путем, заключается в том, что вычисление всех разностей функции до четвертого порядка является трудоемкой работой.
Гораздо более простым и надежным является прием, со стоящий в удвоении шага.
При удвоении шага (для этого следует брать п не только четным, некратным четырем) погрешность (7.26) возрастает в 16 раз. Поэтому погрешность результата, вычисленного с ша гом к, примерно в 15 раз меньше, чем разность между этим ре зультатом и результатом, вычисленным с шагом 2h. Следова тельно, если'
J —• J-in I = rv |
т о |
|
I J — Л ! — is Г, И |
|
||
\ J - J , n \ ~ |
r |
, < |
- |
\ b |
\ J n - J 2 n \ . |
(7.28) |
Здесь^через / обозначено точное значение искомого инте |
||||||
грала |
|
|
|
|
|
|
J |
|
* |
|
(х) |
dx , |
|
= |
j ' |
/ |
|
|||
|
|
а |
|
|
|
|
через Л я — результат |
формулы |
(7.14) при разбиении |
отрез |
|||
ка на 2п частей с длинами |
|
|
|
|
|
|
через J„— результат при разбиении отрезка на п частей с дли нами
|
|
п |
|
Результат |
выражения |
(7.28) обычно формулируют в виде |
|
следующего правила: в интеграле J2n |
верных знаков на один |
||
больше, чем совпадающих знаков в Jп |
и /,„. |
||
§ 7.7. Р Е Ш Е Н И Е |
Т И П И Ч Н Ы Х |
П Р И М Е Р О В |
|
Пример 7.2. Вычислить |
с помощью |
формулы (7.14) значе |
|
ние интеграла |
|
|
# |
|
|
dx |
|
|
J V |
1 + Xі + Xі |
|
|
о |
|
|
разбивая отрезок интегрирования на 8 частей, и оценить по грешность, используя формулу (7.28).
Р е ш е н и е . Значения функции вычисляем по табл. 7,1.