Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
і |
•*> |
A |
X I
0 |
0 |
0 |
U |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,25 |
0,0625 |
0,0039 |
1,0664 |
1,0327 |
0,9683 |
2 |
0,60 |
0,2500 |
0,0625 |
1,3125 |
1,1456 |
0,8729 |
3 |
0,75 |
0,5625 |
0,3164 |
1,8789 |
1,3707 |
0,7:196 |
4 |
1,00 |
1,0000 |
1,0000 |
3,0000 |
1,7321 |
0,5773 |
5 |
1,25 |
1,5625 |
2,4411 |
5,0039 |
2,2369 |
0,4470 |
6 |
1,50 |
2,:soo |
5,0625 |
8,3125 |
2,8*31 |
0,3468 |
7 |
1,75 |
3.0625 |
9,3789 |
13,4414 |
3,6662 |
0,2728 |
8 |
2,00 |
4,0000 |
16,0000 |
21,0000 |
4,5826 |
0.2182 |
Значение интеграла |
по формуле (7.14) равно |
|
1 |
б • 4 |
И + 0,2182 4- 2 (0,8729 4- |
,) V 1 + & + XІ |
|
|
+ 0,5773 4- 0,3468) + 4 (0,9683 4- 0,7296 4- 0,4470 + |
||
|
|
I |
+ |
0,2728)] = 1,2069 . |
|
Для оценки погрешности вычислим значение этого интегра
ла при удвоении |
шага: |
|
2 |
|
|
dx |
6 • 4 [1 4 0,2182 +-2 |
• 0,5773 |
V 1 4- хг |
||
4 |
4 (0,8729 4- 0,3468)] = 1,2086. |
|
Разность между полученными значениями |
1,2086—1,2069 = |
|
= 0,0017. Это означает, что погрешность полученного значения 1,2069 около 0,0001. Так что все знаки в числе 1,207 можно счи тать верными.
Пример 7.3. С помощью формулы парабол вычислить с
точностью до 0,001 значение интеграла j ех~ dx .
о
Р е ш е н и е . Поскольку в условии примера задана точность, то для ее обеспечения надо выбрать соответствующее число 2п
разбиения |
отрезка интегрирования [0; 1]. А так как, легко |
най |
ти / ! V (х), то для нахождения 2п по заданной погрешности |
вос |
|
пользуемся |
формулой (7.27), обладающей наибольшей |
точ |
ностью. Для этого продифференцируем последовательно четы
ре раза функцию y—f(x)—ex~ |
и получим |
|
|||||
yvi = |
4е-г |
( 4 j c i + |
12JC2 |
+ 3) . |
|
||
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
у" |
> о |
и |
і J/'V ; = |
(/'v , |
|
|
а также, что производная |
|
г/1У |
возрастает при 0 < |
х < 1 |
|||
и, следовательно, |
имеет наибольшее значение при х=\. |
Итак: |
|||||
max |
| / 1 V ( * ) I |
= |
У У ( 1 ) = 76е>, |
|
|||
•V e |0; 1| |
|
76 Є |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2880 «4 |
|
|
|
так как 6—а= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Если мы возьмем п = 5., то получим |
|
|
|||||
l |
^ ^ w V < |
0 - 0 0 0 1 2 - |
|
||||
Таким образом, погрешность, возникающая при пользова нии формулой парабол с 2п=10 для вычисления данного ин теграла, не превосходит 0,00012.
Переходим к вычислению интеграла. По формуле (7.14>
при п — 5, |
h = |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е* |
d x ~ |
~W~ |
^" |
+ |
Уі" 4 |
4 |
(Уі |
+ У з + |
У:' 4 У і + |
+ |
сі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
+ |
У * |
+ |
г/і; + |
. |
|
Пользуясь таблицей |
значений |
показательной |
функции |
|||||||
(табл. |
7.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
і |
Xl |
|
і |
|
|
|
Уі |
; |
Уі |
||
0 |
0 |
|
|
1,0000 |
6 |
0,6 |
1,4333 |
|
1 |
0,1 |
|
|
1,0101 |
7 |
0,7 |
1,6323 |
|
2 |
0,2 |
|
|
1.04Q8 |
8 |
0,8 |
1,8965 |
|
3 ' |
0,3 |
' |
|
1,0942 |
9 |
0,9 |
2,2478 |
|
4 |
0,4 |
|
|
1,1735 |
10 |
1 |
2,7183 |
|
5 |
0,5 |
|
|
1,2840 |
|
|
|
|
н ax-едим |
|
|
|
|
|
|
|
|
J" е*г dx |
|
- j j — |
[1 + |
2,71,83 -Ь 4 (1,0101 - f 1,0942 + |
||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
-f 1,2840 + |
1.6323 + |
2,2478) + 2 (1,0408 + 1.1735 -h |
||||||
+ |
1,4333 + |
1,8965)] |
1,46267 ~ 1,463 . |
|
||||
Мы уже установили, что погрешность вследствие |
примене |
|||||||
ния приближенной |
формулы парабол |
не превышает 0,00012. |
||||||
Однако нельзя |
еще утверждать, что найденное значение инте- |
|||||||
.грала удовлетворяет |
условию примера, т. е. отличается от ис |
|||||||
тинного менее, чем на 0,001. Дело |
в том, что использованные |
|||||||
нами значения уи |
1/2, |
• • •, У\о являются |
не точными, |
а прибли |
||||
женными значениями соответствующих величин (значение у0 является точным). И требуется еще показать, что возникшая вследствие этого погрешность в сумме с погрешносіью форму лы парабол не превысит заданной точности.
Сделаем это.
Каждое из указанных значений взято нами с четырьмя де сятичными знаками, т. е. отличается от соответствующего ис тинного значения у не более, чем на 0,00005. Поэтому ошибка, сделанная при вычислении суммы, заключенной в квадратных скобках, не превосходит 29 • 0,00005. Поскольку перед этой сум-
мои стоит множитель-go", то ошибка, возникающая в результа те округления чисел, включая и погрешность из-за округле ния результата деления числа 43,8805 на 30 (эта погрешность < 0,00033), не превосходит величины
А = 29 • 0,00005 + 0,00033 < 0,00038 .
9. Зак. 428. |
, |
129 |
Таким образом, найденное значение интеграла отличается от истинного его значения не более, чем на величину
А -}- | ги < 0,00038 + 0,00012 == 0,0005 < 0,001 .
Итак, полученный результат 1,463 удовлетворяет условию задачи.
Пример 7.4. Вычислить.
о,н
dx
1 4- хг
взяв п = 8, по формулам: прямоугольников (7.4) и (7.5), трапе ций (7.8), парабол (7.14). Погрешность оценить двумя спосо бами:
1)сравнением с точным значением интеграла;
2)вычислением по формуле (7.6) прямоугольников, с по мощью оценки (7.23) для формулы трапеций и оценки по грешности формулы парабол (7.28).
Р е ш е н и е . Для оценки погрешности формул трапеций и парабол вычисления придется проводить дважды: с шагом
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , 8 ^ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и с шагом, в два |
раза |
большим |
|
h2 |
= 2h\ = 0,2. Точно |
вычислим |
||||||||||||||
данный в условии |
интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
Г — 4 ^ 4 - |
^ |
arctg х |
I = |
arctg 0,8 |
= |
38°39'35"= 0,67473.' |
|||||||||||||
)о |
l+x- |
|
|
|
* |
|
Jо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Угол определили по таблицам и выразили его в радианах.) |
||||||||||||||||||||
Запишем расчетные формулы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Формула прямоугольников: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
. |
У, •= |
0,1 |
(г/0 |
+ |
yt |
+ |
у2 + |
yt |
+ |
уІ |
+ |
г/, + |
ук |
+ |
У7) |
|
||||
|
/ 2 |
:= |
0,1 |
(г/, |
- f |
у, |
+ |
Ул+ |
|
yt |
+ |
ys |
+ |
уа |
+ |
У, |
+ |
уь) |
• |
|
Формула трапеций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
•Л = |
0,1 \J±±M^ |
|
|
+ |
У і |
+ |
у2 |
|
+- У і |
+ |
yt |
+ |
у5 |
+ l |
h + |
у, |
||||
Ji = |
о,2 [J» |
+ У* |
+ |
уг |
+ |
у, |
|
f |
у, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
130
