Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

над полем К в векторное пространство К над полем К2 относительно изоморфизма *-£2. Следовательно, ядро F отображения h есть <7-мерное подпространство про­

странства Е°, где q ^ n — 2р, а его образ M = h(E°) есть подпространство пространства К (над К2) размер­

ное к Е° в Е, и V есть d-мерное подпространство, до­

называется дефектной (что всегда имеет место, если про­ странство Е нечетномерно). Начиная с этого места, мы будем предполагать, что форма Q невырожденная Ее ограничение на любом подпространстве U, дополнитель­ ном к Е°, недефектно.

Q(x)=T^0 для любого ненулевого вектора из Е°, то для

дополнительном к Е°. В силу формулы (34) V вполне изотропно по отношению к форме f и, следовательно,

ная размерность ѵ особых подпространств пространства

жащее особое подпространство максимальной размер­ ности V. Предположим отныне, что такое подпростран­

ство Е! выбрано раз и навсегда; ортогональность в Еі будет всегда пониматься в смысле знакопеременной формы f. Имеет место лемма, аналогичная первой лем­ ме § 11: для всякого особого вектора а ^ Е \ и неизо­ тропной плоскости Р, содержащей а, в плоскости Р су­

Из этой леммы следует, что утверждения 1) и 2) § 11 будут справедливы, если заменить Е на Е\ и слова «изо­ тропный» и «вполне изотропный» — на «особый». Заме­ тим также, что если Ѵс^Ех— особое подпространство

иW — особое подпространство, содержащееся в 1/0

(ортогональном дополнении к V в Et), то V + W — также особое подпространство; следовательно, если V имеет максимальную размерность ѵ, то всякий особый

квадратичной формой. Говорят, что эта форма полу­ чается перенесением формы Q посредством изоморфиз­ ма и. Соответствующая знакопеременная форма полу­ чается перенесением формы / посредством и. Две квад­ ратичные формы называются эквивалентными, если они получаются одна из другой перенесением; в этом слу­ чае они имеют одинаковый ранг и индекс, а ассоцииро­ ванные с ними знакопеременные формы имеют одинако­ вый ранг.

Проблема эквивалентности решена лишь в неболь­ шом числе случаев. Мы ограничимся рассмотрением не­ вырожденных форм. Если поле К алгебраически замк­ нуто, то р = V, поскольку квадратное уравнение всегда

имеет решение в К. Кроме того, d = 0 или 1. Поэтому

ответственно.

О других результатах по проблеме эквивалентности см. Арф [1].

Ортогональным полуподобием относительно квадра­ тичной формы Q называется коллинеация и простран­ ства Е, удовлетворяющая условию

с тем же множителем. Ортогональные полуподобия об­ разуют подгруппу в группе ГЬп(К), обозначаемую че­ рез r O n(K,Q). Преобразования, принадлежащие нор­ мальному делителю GOn(K.,Q)= ÈOn(K,Q)C\ GLn(K),

делитель On(K,Q) в группе GOn(K,Q), называемый ортогональной группой (относительно Q). Отображение аи является гомоморфизмом группы r O n{K,Q) на подгруппу группы автоморфизмов поля К\ ядром этого' гомоморфизма служит группа GOn(K,Q). Отображение

на подгруппу мультипликативной группы К*', его ядром служит группа On(K,Q). Очевидно, что Zn = Hn a czGOn(K,Q), причем множитель гомотетии *->л:у .ра­

следовательно, группа Оп изоморфна проективной груп­ пе РОп, являющейся ее образом в РГЬп.

Ортогональные группы, соответствующие двум

нием на Е При х ^ Е х положим и ( х ) = их(х)-\-и2(х), где П |(л:)еД ь u2(x)^È °. Ясно, что преобразование щ должно принадлежать симплектической группе Sp2p(K)\

дает этими двумя свойствами, то существует единствен­ ное отображение и2, для которого щ + и2^ Оп (К, Q)

(Дьёдонне [4], стр. 53—54). Группа On(K,Q) может рассматриваться, таким образом, как подгруппа группы

Sp2p(K), образованная такими преобразованиями ѵ, что Q (ѵ (х) ) Q {х) <= М при всех х<=Ех. Если форма Q

недефектна, то это последнее условие сводится, оче­ видно, к тому, что Q ( v ( x ) ) = Q(x).

нечетно. В последнем случае группа On(K,Q) совпа­ дает с симплектической группой Sp2p(K).

Для случая, когда форма Q недефектна, Арф [1] полу­ чил следующее обобщение теоремы Витта:

Для того чтобы существовало такое ортогональное