Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Глава II

СТРУКТУРА КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

§ 1. Центр и коммутант группы GLn(K)

Рассмотрим /г-мерное векторное пространство Е над К. Всякая коллинеация и пространства Е, пере­ становочная со всеми линейными преобразованиями, перестановочна, в частности (при /г > 1), со сдвигами (гл. I, § 2), и, следовательно, каждая прямая простран­ ства Е инвариантна относительно нее. Выбрав какойнибудь базис пространства Е, легко доказать, что и — гомотетия. Это показывает, что централизатор группы GLn(K) в ГЬп(К) совпадает с группой Нп гомотетий. При п = 1 это утверждение тривиально.

При п ^ 2 специальной линейной группой, или уни­ модулярной группой (от п переменных над телом К) называют подгруппу SL„(K) группы GLn(K), порож­ денную сдвигами. Очевидно, что это нормальный дели­ тель. Группа SLn(K) совпадает с коммутантом группы GLn(K), кроме случая, когда п = 2 и тело К есть поле

F2 из двух элементов (Дьёдонне [1]). Доказательство

этого факта проводится в несколько этапов.

а) Отождествляя группу GLn(K) с группой обрати­ мых матриц порядка п, начнем с того, что представим всякую матрицу А в виде произведения сдвигов и рас­ тяжения. Для этого обозначим через / единичную мат­ рицу и через E{j — матрицу, у которой все элементы,

рицей растяжения. Матрица ВІЗ(Х)А получается из А прибавлением к і-й строке /-й строки, умноженной слева на К. Если Рц = B,j(l)Bji(— 1)ВІЗ-(1), то матрица РІЗА

получается из А заменой і-й строки на j-ю и /-й строки на t-ю, умноженную на — 1. Используя эти замечания,

§ 1. Центр и коммуіант группы GLn (K) бЗ

легко представить всякую обратимую матрицу А в виде

разложение, конечно, неоднозначно; см. Диксон [1]). За­ метим мимоходом, что если тело К коммутативно, то минимальное число членов в разложении произвольного преобразования из SLn(K) в произведение сдвигов равно п, если данное преобразование не есть гомотетия, и n - f 1 в противном случае (Дьёдонне [19]).

b) Покажем, далее, что группа SLn(K) в любом слу­ чае содержит коммутант группы GLn(K), т. е. что груп­ па GLn/SLn абелева. Как легко видеть, для любой мат­ рицы В, являющейся произведением некоторого числа матриц Bij(X), имеет место равенство D(p)ß = 0'Д(р,), где В' е SLn. Поэтому из а) следует, что достаточно

что два растяжения, принадлежащие к одному классу со­ пряженности (гл. I, § 2), сопряжены в группе SLn(K).

Это легко выводится из следующих двух замечаний:

1°. Для любых двух ненулевых векторов а, b про­ странства Е существует линейное преобразование, яв­ ляющееся сдвигом или произведением двух сдвигов .и переводящее а в Ь.

2°. Для любых двух гиперплоскостей Ни Н2 и для любого вектора а, не принадлежащего ни Н\, ни # 2, су­ ществует сдвиг, оставляющий на месте а и переводя­ щий Н\ в Н2.

c) Поскольку любые два сдвига сопряжены в группе GLn(K), всякий гомоморфизм Ѳ этой группы на абелеву

§ 2) и, следовательно, содержащую более двух элемен­ тов. Рассматривая в этом случае образ при гомомор­ физме 0 произведения двух сдвигов из Т(Н), отличных от единицы, получаем опять-таки, что о2 = а. Случай,

но, GL2 (F2) = SL2 (F2) ; группа GL2 (F2) изоморфна сим­

метрической группе ©з и, будучи разрешимой, не сов­ падает со своим коммутантом.

Если тело К коммутативно и содержит по меньшей мере 4 элемента, то всякое преобразование u e SLn(K) является коммутатором vwv~'w~l двух элементов этой

изоморфна абелевой группе К*/С (Дьёдонне [1]). В слу­ чае когда К коммутативно, эта теорема немедленно сле­ дует из существования определителя, осуществляющего гомоморфизм группы GLn(K) на К*. В общем случае поступают так же, определяя для всякой обратимой матрицы А порядка п элемент det (Л) группы К*/С, на­ зываемый по-прежнему определителем матрицы А, та­ ким образом, что отображение А —>det(/4) является го­ моморфизмом группы GLn(K) на К*ІС с ядром SLn(K)-

получаемую из А вычитанием из строк с номерами j ф і подходящих кратных і-той строки таким образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме аг1, стали рав­

ными 0. Положим det (Л)=ф((— 1)І+І ап) det (Лл), где А'ц—

матрица, получаемая из А' вычеркиванием первого столбца и і-той строки. Индукцией по п доказывается, что это определение не зависит от выбора индекса і (такого, что а,і ф 0), что значение det (Л) не изменяется при переходе от Л к 0 ,ДА,)Л и, наконец, что det (Л)

умножается на ф(ц) при умножении какой-либо строки матрицы Л слева на р, (подробное доказательство см. у Артина [3]). Для матрицы А — BD{p), где В — произ­ ведение матриц Bij(X), из этих свойств определителя следует, что беі(Л) = ф(р). Отсюда в свою очередь не­ медленно следует, что отображение А —* det (А) является гомоморфизмом на К*/С с ядром SLn(K).