ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 0
66 Гл. II. Структура классических групп
делителем в Sx и такую, что сопряоісенные к ней под группы sHxs~l (s е Г) порождают Г.
Тогда группа Г проста.
В самом деле, пусть N — нормальный делитель груп
пы Г, отличный от {е}. Всякий элемент s |
e |
/ 1 может быть |
|||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
представлен в виде |
Ц s ^ s ” 1, где /і, е |
|
и, |
согласно |
|||
леммам" 2) |
и 3), Si = |
1= 1 |
|
|
|
|
|
tiUit где U ^ N , U i ^ S x. Пользуясь |
|||||||
тем, |
что |
Нх — нормальный |
делитель |
в |
Sx, |
получаем |
|
s = |
t'IT, где t' е. N и IT е Нх. |
Таким образом, |
Г = NHX. |
||||
Так как N — нормальный делитель, а группа Нх абелева, то отсюда легко выводится, что коммутант группы Г со держится в N и, следовательно, N — Г, что и доказывает утверждение леммы.
Чтобы применить эти леммы, заметим, что группа
PSLn (К) по меньшей мере дважды транзитивна (в дей ствительности, в точности дважды транзитивна, если только п > 2 ) в проективном пространстве Рп-і(К) при п ^ 2 , поскольку две пары различных прямых в Кп все
гда могут быть преобразованы одна в другую преобразо ванием из группы SLn(K). Согласно 1), отсюда следует, что группа PSLn(K) примитивна, и остается проверить условия а) и Ь) леммы 4). Займемся вначале условием Ь). Пусть г е Pn-i (^() и а е ^ " — вектор, канонический образ которого есть z. Возьмем в качестве Нг канониче
ский |
образ |
подгруппы |
сдвигов вида х -> х + |
ар (х). Так |
как |
tHzt~l = |
Нц2) для |
всякого t ^ PS L„ ( K) |
и группа |
PSLn транзитивна, то |
Hz удовлетворяет условиям Ь). |
|||
(Напомним, |
что по определению группа SLn(K) порож |
|||
дается сдвигами.) Остается доказать, что группа SLn(K) в рассматриваемых случаях совпадает со своим комму тантом. Для этого достаточно проверить, что всякий сдвиг является коммутатором в группе SLn(K). Более того, поскольку любые два сдвига сопряжены в группе GLn{K), а группа SLn(K) является нормальным делите лем в группе GLn(K), достаточно проверить, что ка кой-нибудь один сдвиг t является коммутатором в
SLn(K). Если |
п ^ З , возьмем |
в |
качестве t сдвиг вдоль |
гиперплоскости |
Н — 2 еіК |
в |
направлении вектора |
іФ 3
а= е1 — в2, нормированный так, чтобы Де3) = е3 + а
$ 2. Структура группы SL„(K) |
67 |
(здесь (е,-)— базис пространства Кп). Пусть тогда |
t\ — |
сдвиг вдоль гиперплоскости Н в направлении вектора е\, нормированный так, чтобы і\(е3) = е3 + е\, и s — преоб
разование из SLn(/(), определяемое равенствами s(eі) =
= е2. s(e2) = |
— в\ и s(ej) = б; при і ^ |
3. |
Непосредствен |
||||||||
но проверяется, |
что t = |
Если п = |
2 , достаточно |
||||||||
рассмотреть |
матрицу |
В12(Х) |
при |
К ф 0. |
Пусть |
А = |
|||||
= (о |
! , ) • |
|
Тогда АВ12(\)А-'В12( - \ ) |
= |
Ві2( ^ - \ ) . |
||||||
Единственными |
телами, в |
которых |
ц2 = |
1 |
при |
всех |
|||||
ц е /(*, |
являются F2 и F3. |
|
|
К = |
|
|
|
|
|||
Остается |
изучить |
особые |
случаи |
F2 |
и /С = F3. |
||||||
Вообще, порядок группы GL(F?) равен |
|
|
|
|
|||||||
|
|
(<7n — 1) (qn— <7) . . . |
— qn~x). |
|
|
|
|||||
В самом деле, это есть число базисов пространства F^. Группа GLn/SLn, изоморфная FJ, содержит q — 1 эле ментов; отсюда следует, что порядок группы SLn(F4) ра вен
{qn— \){qn — q ) . . . [q' — q '- 2) qn~K
Центр группы SL„(F4), изоморфный подгруппе груп пы FJ, образованной корнями п-й степени из единицы, есть циклическая группа порядка d, где d — наибольший общий делитель чисел q — Іи п. Следовательно, порядок группы PSLn(Fq) равен
(qn— 1 ) (qn— q) ... {qn— qn~-) qn~]/d.
В частности, P5L2(F2) |
есть |
группа порядка 6 и |
||
PSL2(F 3 ) — группа порядка |
12. |
Обе |
эти |
группы разре |
шимы (см. также гл. IV § 8 ). За этими двумя исключе |
||||
ниями, группы PSLn{F7) образуют |
последовательность |
|||
(зависящую от двух параметров п, |
q, |
где q — степень |
||
простого числа) простых конечных групп |
(см. Диксон [1], |
|||
стр. 309—310).
Заметим, что рассуждения, проведенные в этом пара графе, показывают также, что всякий нормальный дели тель группы GLn(K), не содержащийся в ее центре Zn, содероюит унимодулярную группу SL„(K), кроме, может быть, тех случаев, когда группа PSLn(K) не проста. Заметим также, что при п ^ 3 любые два сдвига
3*
68 |
Гл. II. Структура классических групп |
сопряжены в группе SLn(K). В самом деле, они сопря жены в GLn(K), и легко видеть, что для любого сдвига и существует преобразование из GLn, перестановочное с и и имеющее произвольный определитель (см. гл. I, § 2). Напротив, при п — 2 не всякие два сдвига сопряжены в SL2(K). М о ж н о показать, что классы сопряженных сдви гов в SL2(K) взаимно однозначно соответствуют элемен там группы К*/К*2, где К*2 обозначает мультипликатив
ную группу, порожденную квадратами элементов груп пы К*.
§3. Образующие и центр унитарной группы
Вдальнейшем, когда будет идти речь об унитарных группах Un(K,f), симплектические и ортогональные группы (последние — над полем характеристики ф 2 )
будут подразумеваться как частные случаи, если не ого
ворено противное. |
Всегда будем предполагать, |
что п ^ 2 |
|
и, в случае когда |
характеристика К равна 2 , |
что / есть |
|
Г-форма. |
|
|
|
Если унитарная группа Un(K,f) |
не является симплек- |
||
тической группой |
(иными словами, |
если f — не знакопе |
|
ременная форма),то она порождается квазиотражениями
(гл. |
I, § |
1 2 ), за исключением группы |
U2(F4) (Дьёдонне |
[16]). |
Доказательство проводится |
индукцией по п. |
|
При |
и е |
ІІп для любого неизотропного вектора |
|
хотя бы один из векторов и(х) — х, и(х)-\-х (если харак теристика К не равна 2 ) неизотропен, и существует ква
зиотражение относительно гиперплоскости, ортогональ ной этому вектору, преобразующее л: в и(х) или —и(х). Во втором случае другое квазиотражение преобразует
—и(х) в и(х). Таким образом, всегда существует такое произведение s квазиотражений, что преобразование s_I и оставляет на месте вектор х и поэтому может рассматри ваться как унитарное преобразование в гиперплоскости, ортогональной х. Применяя предположение индукции, по лучаем требуемое утверждение. Случай, когда характе ристика тела К равна 2 , требует более тонкого исследо
вания. Можно, далее, показать, что всякий элемент орто гональной группы Оп{К, /) ость произведение не более
§ 3. Образующие и центр унитарной группы |
69 |
чем п отражений (Э. Картам [2], Дьёдонне [4], Шерк [1]); всякий элемент произвольной группы Un(K,f), за исклю чением, само собой разумеется, группы L/2 (F4), есть про
изведение не более чем п + 1 квазиотражений (Дьёдон
не [19]), причем эта оценка является точной. |
(в це |
Коммутант С группы /(*, очевидно, инвариантен |
|
лом) относительно антиавтоморфизма J тела К, |
и тем |
самым J индуцирует инволютивный автоморфизм |
(кото |
рый мы также будем обозначать через /) фактор группы К*/С. Из предыдущего результата легко вывести, что определитель (см. § 1 ) всякого преобразования из
унитарной группы, не являющейся ортогональной, имеет вид yJy~l, где у е К * /С ‘). Что касается ортогональных групп, то легко видеть, что определитель любого преоб разования из этих групп равен + 1 или — 1 .
Всякое преобразование из П п(К), принадлежащее централизатору унитарной группы Un{K,f), перестано вочно, в частности, со всеми квазиотражениями и, следо вательно, сохраняет (в целом) всякую неизотропную гиперплоскость. Оно перестановочно также со всеми уни тарными сдвигами, если такие сдвиги существуют, и со храняет всякую изотропную прямую. Отсюда вытекает, что если группа Un не является ортогональной, то ее цен трализатор совпадает с группой гомотетий Нп, а ее центр есть группа Ѵп П Z„, состоящая из центральных гомоте тий х —*ху, для которых yJy = 1 .
Что касается ортогональной группы On(K,f), то ее централизатор также совпадает с Нп при п ^ 3. Это вы текает из изложенных выше соображений и из следую щей леммы:
I)При п ^ 3 всякая изотропная прямая пространства
Еявляется пересечением двух неизотропных плоскостей.
Всамом деле, если х — изотропный вектор, у — век тор, ортогональный к х и не коллинеарный ему, и z — не изотропный вектор, не ортогональный к х, то плоскость, натянутая на векторы х и z, и плоскость, натянутая на векторы X и у + z, удовлетворяют поставленным требо-'
ваииям.
’) В частности, определитель всякого преобразования из сим.П' арктической группы равен 1 (см. § 5). — Прим, цереу,