Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Из теоремы Уолла, в частности, выводится следую­ щее утверждение:

2)Если V ^ 2 , то группа Tn(K,f) совпадает с ком­

мутантом группы ип {К, f) 1) .

В самом деле, в этом случае очевидно, что Q = К*2). Ван [2] определил во всех случаях коммутант груп­

пы U2{K, f) при V = 1 .

Предположим теперь, что К — тело конечной размер­ ности пі2 над своим центром Z. Можно показать, что

тогда для инволюции J возможны три случая:

I. J оставляет на месте все элементы из Z, и размер­ ность (над Z) пространства S симметричных элементов равна m(m + 1 )/2 .

II. J оставляет на месте все элементы из Z, и раз­ мерность (над Z) пространства 5 симметричных элемен­ тов равна пг(пг— I)/2 .

III. Ограничение J на Z не тождественно, симметрич­ ные элементы из Z образуют такое подполе Z0, что Z яв­ ляется его сепарабельным квадратичным расширением; пространство 5 имеет размерность пг2 над Z0.

В случаях I и II говорят, что J — инволюция первого

(Дьёдонне [13], стр. 379). Это относится, в частности, к

симплектическим группам (J = 1 ). Таким образом, про­

ективная группа PSpn(K), факторгруппа группы Spn(K) по ее центру (состоящему из одного или двух элементов в зависимости от того, равна или не равна 2 характери­

(Диксон [1 ]). Кроме того, всякое симплектическое преоб­

Можно показать, что число множителей при этом может быть сделано не превосходящим n - j - 1 , причем эта

оценка является точной (Дьёдонне [19]).

Уолл [1] вывел из своей теоремы такое следствие:

му /, которая, в частности, может быть индекса 0) нор­

мальный делитель группы Un(K,f), образованный пре­ образованиями, определитель которых (см. § 1 ) равен

1 , и через PUn (К, f) — образ Ut (К, f) в PGLn(K) при

каноническом отображении. Если тело К конечномерно

дуцированный /, тождествен1). Напротив, если / — ин­ волюция типа III, то всегда U t Ф Un (Дьёдонне [13],

стр. 384). Если К не коммутативно, строение группы U t в этом случае не известно2). Для коммутативного тела К

К= F*.

Вособом случае Д^/Гз есть группа порядка 4, про­ изведение двух циклических групп порядка 2 .

2) Для глобальных полей Z (в частности, для полей алгебраи­ ческих чисел) Платонов и Янчевский [1*] доказали, что в этом слу­

чае Ut = Т п . — Прим■перев.

§ 6. Группа On(K,f) (характеристика К не равна 2 ):

группа вращений и коммутант

Отображение и —*-det(u) есть гомоморфизм группы On{K,f) на группу {— I, + 1}, так что ортогональные преобразования с определителем 1 образуют нормаль­

ный делитель индекса 2 в Оп(К, f). Этот нормальный де­

литель обозначается через On (К, f) и называется груп­ пой вращений. Элементы группы Оп, не принадлежащие

On, называются переворачиваниями. Вращение (соот­ ветственно переворачивание) является произведением четного (соответственно нечетного) числа отражений, причем это число всегда можно сделать ^.п. Поэтому, если п нечетно (соответственно четно), всякое вращение (соответственно переворачивание) оставляет на месте хотя бы один вектор ФО.

Для подпространства V пространства Е всегда суще­ ствуют ортогональные преобразования с определителем

— 1 , сохраняющие V (в целом), за исключением случая, когда іі = 2 т , ѵ = т и V есть m-мериое вполне изо­

тропное подпространство. Ввиду теоремы Витта отсюда

изотропные подпространства размерности п/2. Что ка­

два таких подпространства, то для любого отражения s имеем dim (V П s (W) ) = dim (V П W) ± 1 , так что V и W

принадлежат к одному классу тогда и только тогда,

когда dim ( V f| W) имеет ту же четность, что п/2.

Инволюция типа (п — 2,2) в группе On(K,f) назы­ вается инверсией. Очевидно, что инверсия является вра­

версия, преобразующая х в —х. Если и — произвольное

и(х) + X, то существует ортогональная к нему неизотроп­

ная плоскость Р, содержащая вектор и(х)—х\ инверсия, для которой Р служит отрицательным подпространст­ вом, переводит тогда х в и(х). Если вектор и(х)—х не­ изотропен, то аналогично строится инверсия, переводя­ щая X в —и(х), и затем применяется инверсия, перево­ дящая —и(х) в и(х). Таким образом, всегда можно свести доказательство к случаю, когда и оставляет на месте неизотропный вектор х. Рассматривая ограничение преобразования и на гиперплоскости, ортогональной к х, путем индуктивного рассуждения доказательство приво­ дится к случаю п = 3. В этом случае, поскольку вся­ кое вращение из группы 02 есть произведение не более чем двух отражений, всякое вращение из группы 0 3,

оставляющее на месте некоторый неизотропный вектор, есть произведение не более чем двух инверсий.

2 ) При 0 3 центр группы ОІ (К, f) состоит лишь

из единицы, если п нечетно, и из единицы и преобразо­ вания X —» —X, если п четно. Действительно, полулиней­

ное преобразование, перестановочное со всеми инвер­ сиями, сохраняет все неизотропные плоскости. Но оче­ видно, что всякая неизотропная прямая есть пересече-