Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

§ 4. Структура группы Un (К, f)

75

бые случаи)

группа T2/W2 совпадает со своим комму­

тантом. Из сделанного относительно К предположения

вытекает в силу леммы

1, что 5

содержит хотя бы один

элемент, отличный от 0

и ± 1 . Элементарное вычисление

с матрицами

(Ван [1]) показывает, что всякая матрица

ВІ2(К),

где ^ e S, принадлежит

коммутанту

группы Т2,

что завершает доказательство.

С)

Предположим, что К

коммутативно. Если J = I,

то всякий элемент поля К симметричен. Согласно лем­

ме 3, группа

T2(K,f) порождается матрицами В\2(Х) и

В2\ (р.), где

Я е /< , ц е /С , и, следовательно,

совпадает

с унимодулярной группой SL2(K). Если J ф

1, то мно­

группа

T2(K,f)

совпадает

с унимодулярной

группой

S L 2( K o)-

Из этих

замечаний

и результатов § 2

следует,

чаях:

/ =

1,

К =

F2

F3;

a )

и л и

b)

J ф 1,

К =

Еі

или

Fg.

В силу

теоремы

А) мы получаем, что, за исключе­

нием

этих

четырех

случаев, группа Tn/Wn проста при

п ^ 2 .

В особых случаях рассуждение, проведенное при

подстановок

не будет дважды транзитивна, если h ^

4

(поскольку

поле К конечно и,

следовательно, ѵ

2

(гл. I, § 8 )). Однако таким же методом, что в §

9,

леммы 7, 8

и 9, можно установить,

что она примитивна.

76

Гл.

II.

Структура классических групп

Тем самым все сводится к тому, чтобы посмотреть, совпа­

дает ли группа Ту/Wh со своим коммутантом Г.

а)

/

=

1

(симплектические группы). Заметим, что в

этом случае

Tn(K,f) = Spn(K,f)

(см. §

5). Если К =

F3,

то можно

взять

h — 4.

В

самом

деле,

специальное

преобразование и (см. гл. I, § 12), соответствующее ма­

трице 5 =

есть произведение двух сопряженных

сдвигов и, следовательно, является коммутатором. То же

самое

относится к специальному

преобразованию, соот-

ветствующему

матрице

S' =

/ - 1 1\

поскольку

эта

l

j

j )>

матрица эквивалентна матрице S

(см. гл. I, § 12). Сле­

довательно, коммутант Г группы Т4 содержит спе­

циальное

преобразование,

соответствующее матрице

S — S ' =

( - 1

-

1 \

эквивалентна

q K и, так как последняя

матрице

S"=

О - 1

, то и специальное преобразо­

- 1

- 1

вание,

соответствующее

матрице

S' +

S" —

Значит Г =

Т4.

Если К =

F2i то группа 7уЦ74 содержит простую под­

группу индекса 2 (см. гл. IV,

§ 8 ). В этом случае можно

взять

/г = 6 .

Действительно,

специальное

преобразова-

/ 1

о <п

ние и,

соответствующее матрице 5 =

0 1 0 , яв-

\ 0

О О/

1

1

0 \

1

0

1 \

1

О О J и S2— 0 0 0 .

0

0

0 і

1

0

0 1

§ 4. Структура группы Un (К, f)

77

Следовательно, Г содержит также

специальное

преоб­

разование, соответствующее матрице

/ °

1

S' = S, + 52= 1 0

° 1 ’

0

0 /

а также эквивалентной ей матрице

I( °

1

0>\

S" = 1 1

0

0

Ѵо

0

0 /

разование,

соответствующее

матрице

S + 5",

которое

является сдвигом.

Ь)

/ ф 1 (унитарные группы). Если

исключить слу­

чай К =

F4

и

п =

3,

то Тп{К,

f) =

Un

{К,

f)

(см. § 5).

Если

К =

Fg,

то

можно взять Іі =

3.

Действительно,

пусть

t — унитарный

сдвиг. Тогда

<3 =

I,

и

достаточно

найти такой

элемент s ^ U t ,

что

sts~1

= t~l,

поскольку

тогда

sis~4~l =

С2 =

t, и тем

самым

будет

доказано,

что ( е Г .

Пусть (еь <?2, е3) —

базис пространства Е, об­

разованный не ортогональными друг другу изотропными

векторами еи е2 и вектором

е3х ортогональным

к гипер­

болической

плоскости

Р = віК +

ezK■ Можно

считать,

что і

есть сдвиг в направлении вектора

еі,

так

что его

(В ,2W

0 \

матрица имеет вид (

^

^ I- Существует такой эле­

мент а е

К,

что aaJ = — 1.

Автоморфизм

s

простран­

н а

0

0

\

ства Е, матрица которого есть

0

— а

0

,

удовлет-

воряет нужным условиям.

\

0

0

а 2 У

Наконец,

при К — F4 группа T3(Fi)

имеет нормаль­

ный

ряд

Тз тэ Т'ъ =э W3о {1},

где

группа

Тз/Т3 изо­

морфна симметрической группе ©3, а группа T3IW3 цик­

лическая порядка 3. В этом случае можно

взять h — 4.

В самом

деле,

специальное

преобразование

и,

соответ­

ствующее

эрмитовой

матрице

О

является

I

Г

§ 5. Структура группы U„ (К, /)

79

Пусть а ф 0 — вектор пространства Е.

Обозначим

через

подгруппу группы К*, порожденную

элементами

для

которых существует такой вектор х ^ Е , ор­

тогональный

к а, что f(x,x) =

K — KJ. Положим

Га =

= S [/(*, Па]- Легко видеть, что

Па

и Га — нормальные

делители группы К*,

причем І с 7

а с

Па.

Определим

следующим

образом

гомоморфизм

Na:

Un(K, f ) -* К*/Га

(норму Уолла). Для

всякого и е

Un

обозначим

через

зом эндоморфизма х - +х — и(х).

Если dim(l/ и) =

г, то

преобразование

и

может

быть

представлено

в

виде

и — s{s2.. .sr, где

Si^U n,

dim (Es.) = 1 и Vu есть

пря­

мая сумма Vs.-

Каждое из преобразований $і

является

квазиотражением

или

сдвигом и записывается

в

виде

Si(x) =

х — a^if (ah х),

для случая

Po — Е. В

общем случае

рассматривается

подгруппа

Un

группы

Un,

образованная

гиперболиче­

скими преобразованиями, соответствующими плоскости

Р0. Доказывается, что ограничение N на U°n

сюръектив­

но, и завершается доказательство при помощи следую­

щей леммы

(использующей

частный

случай теоремы

при п =

2 ).

1 )

Если Р1 и Р%— две гиперболические плоскости, то

существует такое преобразование w ^ T n, что ш(7>1) =

= Р2 (случай,

когда п = 3

и К — F*,

исключается).