Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 182

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

84 Гл. П. Структура классическій групп

пне двух неизотропных плоскостей. В силу леммы 1 § 3 то же самое справедливо в отношении изотропных пря­

мых. Следовательно, централизатором

группы

 

ОІ

в

П п

является

группа

гомотетий

Нп =

Zn,

п

откуда

и

вытекает доказываемое утверждение. Если

 

нечетно,

то группа Оп есть прямое произведение

группы

ОІ

и

центра Zn Г)

Оп группы 0„.

 

 

 

коммутативна.

 

3)

При п =

2 группа ОІ (К, f)

Более

точно, возможны два случая:

 

 

 

 

 

 

 

Е базис

а)

если

V =

1,

то, выбирая

в пространстве

из двух изотропных векторов, мы видим,

что преобразо-

вания

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

0

\

из Ог записываются

матрицами вида I

^

^_i I,

где

 

Следовательно,

группа

ОІ {К,

f)

в

этом

случае изоморфна К'',

 

 

 

 

 

 

 

Е ортого­

Ь)

если

V =

0, то выбрав в пространстве

нальный базис,

 

можно

предполагать,

что

f(x,x) —

= £ y -|-a|2,

где —а не является квадратом в К. Пусть

Кі =

К ( а ) — квадратичное

расширение

поля К, полу­

ченное присоединением

квадратного

корня

© из

—а.

Пространство Е может быть отождествлено с Кі таким

образом, что вектор ( 1 , 0 ) отождествляется с единицей

поля

Кі- Заметим, что если

£ = |

+ сог|,

то

£ =

£ — сот]

и ?? = I2 +

ат]2. Вращение ц е

ОІ {К,

f)

переводит еди­

ницу

поля К I в

элемент у>

норма

которого

равна 1 , и

поэтому совпадает с преобразованием

£ —і►у£

поля

Кі.

Таким образом,

в этом

случае

группа

ОІ (К,

f)

изо­

морфна группе элементов с нормой 1 поля Кі.

 

 

 

 

Обозначим через Qn(K,f)

коммутант ортогональной

группы On(K,f).

 

Qn(K,f)

порождается

произведениями

4)

Группа

s i s t e r 1) двух сопряженных отражений.

Она также по-

рождается квадратами элементов

группы Оп

 

(Диксон

[1], стр. 218; Дьёдонне [4], стр. 23). Чтобы доказать, что

всякий коммутатор иѵи~'ѵ~[ является произведением пре­

образований вида s(tosto_1),

где s — отражение, можно

рассуждать индукцией по числу отражений, в произве­

дение которых разлагается ѵ (§ 3 ). Тем же методом до­

казывается,

что всякий

квадрат

и2 принадлежит группе

§ 6. Группа On (К, f) : группа вращений и коммутант

85

Q„ '). Отсюда вытекает, что всякий отличный от 1

эле­

мент группы O n/Q n имеет период 2. Тем самым строение этой группы полностью определяется кардинальным чис­ лом ее элементов (которое может быть либо конечным вида 2\ либо бесконечным).

5)При п ^ 3 группа й„ является также коммутан­

том группы О*. Для доказательства достаточно исполь­ зовать свойство 1). Рассуждая как в п. 4), мы видим,

что коммутант группы On порождается квадратами ее элементов2)* . С другой стороны, легко доказать, что группа ß n порождается коммутаторами sts-4~l = (st)2

всевозможных пар отражений s, t. Следовательно, fin

содержится в коммутанте группы O t

и,

значит,

совпа­

дает с ним.

При п =

2

Й2 er О2 ,

однако,

равенства нет,

поскольку

группа О?,

как мы видели,

абелева.

 

Таким

образом,

при п ^ 3

мы

имеем следующий

нормальный ряд в группе On(K,f):

 

 

 

 

OnTDüt :=>Q„roQ„Г) Z„=3{1}.

(1)

Если п нечетно,

то,

как мы

видели,

группа

O t П

содержит только 1.

Тем более,

й„ П Zn = {1}. В любом

случае группа й„ П Zn совпадает с центром группы £2„.

В самом деле, полулинейное преобразование и, ком­

мутирующее

со всеми элементами из Q„, коммутирует,

в частности,

с квадратами ѵ2 преобразований ѵ, остав­

ляющих на месте все элементы какого-либо неизотроп­ ного (п — 2 )-мерного подпространства Q. Эти преоб­ разования можно рассматривать как ортогональные преобразования плоскости Q0, ортогональной к Q. За ис­

ключением случая,

когда

К =

F3 и Q0 — гиперболиче­

ская

плоскость, существуют преобразования ѵ такого

вида,

для которых ѵ2 Ф 1.

Следовательно, все неизотроп­

ные

(п — 2 ) -мерные

подпространства и, значит, все не­

изотропные прямые

должны

быть инвариантны отно­

*)

Обратно, если 0~п — группа,

порожденная квадратами, то

факторгруппа 0,,/^п абелева,

поскольку в ней квадраты всех эле­

ментов равны 1. Следовательно,

0 п2 ~ э П. — П р и м , п е р е в .

2) Это верно для любой группы, порожденной элементами пе­

риода 2. — П р и м , п е ре в .

86

Гл. II. Структура классических групп

сительно и. Как и в п. 3), отсюда вытекает, что и — гомотетия. Если К — F3, то и должно сохранять все эл­ липтические плоскости (в которых ограничение формы f(x,x) в некотором ортогональном базисе записывается в виде I, -f- Щ. При п ^ 4 всякая неизотропная пря­

мая есть пересечение двух эллиптических плоскостей, откуда и следует в этом случае доказываемое утверж­ дение. Наконец, при п = 3 в пространстве Е суще­ ствует такой базис, что три координатные плоскости, и только они, являются эллиптическими. Преобразование и должно либо оставлять без изменения, либо умно­ жать на — 1 каждый из векторов этого базиса. Легко видеть, что среди таких преобразований только тожде­ ственное коммутирует со всеми преобразованиями из П3.

Через РОІ (К, f),

PQn(K, f)

обозначаются канони­

ческие

образы групп ОІ {К, /),

Q« (/(,/) в PGLn{K).

Они

изоморфны

факторгруппам Onl{On[)Z„) и

Qn/(Пп П 2„) соответственно.

В последующих параграфах мы изложим известные результаты о факторах описанного выше нормального ряда ортогональной группы.

§ 7. Алгебра Клиффорда квадратичной формы (К — поле характеристики Ф2.)

Как и выше, мы обозначаем через f(x,y) невырож­ денную симметричную билинейную форму на /г-мерном векторном пространстве Е над полем К. Рассмотрим в тензорной алгебре Т(Е) над Е двусторонний идеал а, порожденный элементами вида х <8>у — у ® х — 2}(х,у).

Факторалгебра C(f) = Т(Е)/а называется алгеброй Клиффорда формы f (Клиффорд [1], [2], Липшиц [1]).

Пусть — ортогональный базис пространства Е. Обозначим через е, класс элемента йі по модулю а, рас­

сматриваемый

как

элемент

алгебры

C(f). Для вся­

кого подмножества

Н множества чисел 1,2, . . . , п по­

ложим ен =

е.е.

.. . е. , где

(г)

— последователь-

П

*1 ‘2

І р

4 «Л

 

ность всех элементов из Я, расположенных в возра­ стающем порядке (если Н пусто, то еы — 1). Можно до­

§ 7. Алгебра Клиффорда квадратичной формы

87

казать .(Шевалле [1 ], Бурбаки

13]),

что 2'1 элементов вн

образуют базис алгебры

С([)

над

К с таблицей

умно­

жения

 

 

 

 

е А е в ~

Ѵл, в е А д в>

(2)

где А Д В обозначает сумму в булевой алгебре подмно­

жеств множества чисел 1 ,

2 ,

п (иначе

говоря,

ха­

рактеристическая функция

подмножества

А Д В

есть

сумма по модулю 2 характеристических функций под­

множеств А и В). При этом

Ѵд,д = ( - 1 )Р<ЛВ>

П

f(at,

at),

(3)

 

 

 

П в А П В

 

 

 

 

где р(А,В) есть

«число

инверсий»

в

последователь­

ности, полученной

приписыванием

В к А. Если обозна­

чить через р(Л ,/)

число элементов из А,

больших /,

то

Р(Л,

В ) = 2

Рі а ,

і).

 

(4)

 

 

 

/sB

 

 

 

 

 

В частности, е;е3- =

—

при / ф

і и е2.= f(ai,

при

любом і.

Множество Lp линейных комбинаций элементов ен, соответствующих множествам Н, содержащим не более р элементов (Os^ps^n), есть подпространство алге­ бры С {f), не зависящее от выбора базиса (а,-). В частно­ сти, пространство Е может быть отождествлено с под­ пространством элементов алгебры C(f), являющихся линейными комбинациями элементов е*. При этом вектор йі отождествляется с е*. Для каждой пары эле­

ментов X, у пространства Е в алгебре

C(f)

имеет место

равенство

ух = 2/ {х,

у)

 

 

ху +

 

(5)

и, в частности,

 

 

 

 

 

x2= f(x, х).

 

 

(6)

Очевидно, что элементы

ег-

вместе

с

единицей порооіс-

дают алгебру C(f).

 

совпадает с К,

если п четно,

1 ) Центр алгебры C(f)

и равен К -j- Кехе-і. .. еп,

если п нечетно. Действительно,

88 Гл. П. Структура классических групп

если записать

условие, что элемент 2

= 2

УлеА

пере-

становочен с

ві, то получится что

А

0 для

всех

уд =

множеств А, содержащих нечетное число элементов, от­ личных от і. Отсюда и вытекает сформулированное ут­ верждение.

Линейные комбинации элементов ея, соответствую­ щих подмножествам Я, содержащим четное число эле­ ментов, образуют подалгебру C+(f) алгебры C(f), не за­ висящую от выбора базиса (й,). Ее размерность над К равна 2П_1. Как алгебра она порождается произведе­ ниями вів] (і < j) и единицей. Линейные комбинации элементов ея, соответствующих подмножествам Я, со­ держащим нечетное число элементов, образуют подпро­

странство C~(f)

алгебры C(f), дополнительное к C+(f)

и не зависящее

от

выбора

базиса (йі). Д ля

краткости

элементы из C+(f)

называют

элементами

четной

сте­

пени, а элементы из C~(f)

— элементами

нечетной сте­

пени.

 

 

 

 

 

 

 

2 ) Центр алгебры C+{f)

совпадает с К,

если п нечет­

но, и равен К +

Кеі ... е„, если п четно. В предыдущих

обозначениях, если записать, что элемент г е C+(f)

ком­

мутирует с efej,

то

получится,

что уА = 0

для всех та­

ких множеств А,

что / е А, но

i^ä A. Отсюда

и

полу­

чается сформулированный результат.

 

 

 

Более глубокое алгебраическое исследование алгебры Клиффорда и описание ее связи со «спинорным пред­ ставлением» ортогональной группы On(K,f) читатель может найти в работах Шевалле [1 ] и Эйхлера [2].

Для целей приложения алгебры С([) к изучению струк­ туры группы On(K,f) мы используем элементарный ме­ тод, не требующий этих результатов. Мы будем следо­ вать в основном изложению Эйхлера [2].

3) Для

всякого ортогонального преобразования

u<=On(K,f)

существует обратимый элемент su ^ C ( f ) ,

удовлетворяющий одному из следующих условий-.

сте­

а) если

и — вращение,

то su — элемент четной

пени и

и (x) =

sax s - ]

(7)

 

для любого к е Е\

Смотрите также файлы