Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

(61, 62)— ортогональный базис пространства Е. Если поле

соответствующий преобразованию и). Заметим теперь, что имеется не более двух значений а, при которых век­

может, двух. Однако, если о не есть тождественный авто­ морфизм, то подгруппа элементов из К*, инвариантных относительно а, содержит не более половины всех эле­

ждественного автоморфизма. Для К = F3 следует разли­ чать два случая: f(eu 61) = f(e2, е2) и /( е ь еі) = —f(e2, е2).

В первом случае индекс ѵ формы f равен 0, изотропных векторов нет и, следовательно, и — гомотетия. Во втором случае, напротив, ѵ = 1 , оси координат суть единствен­ ные неизотропные прямые пространства Е и 0 2 (F3,f) яв­

ляется абелевой группой порядка 4 (прямым произведе­ нием двух циклических групп порядка 2 ), совпадающей

ческой плоскостью неизотропную плоскость, содержащую хотя бы один изотропный вектор. В любой гиперболиче­ ской плоскости существуют два изотропных вектора а, Ь, образующих базис этой плоскости и удовлетворяющих условию f ( a , b ) = 1. Если ІІп — ортогональная группа, то в такой плоскости имеется только две изотропные пря­ мые; в остальных случаях, напротив, имеется по меньшей мере три такие прямые, Мы будем называть преобразо­

месте все векторы (п — 2 ) -мерного подпространства, ор­

тогонального к некоторой гиперболической плоскости.

2 ) Если ѵ = I, то всякое преобразование из Un(K,f)

есть произведение гиперболических преобразований. Это очевидно при іі = 2. Если п > 2 и f — не знакоперемен­ ная форма, то достаточно заметить, что всякое квазиот­ ражение s относительно (неизотропной) гиперплоскости Н есть гиперболическое преобразование. В самом деле, пусть а — ненулевой вектор, ортогональный к Я. Суще­ ствует изотропный вектор Ь, не ортогональный к а (см. гл. I, § 11, п. 2)). Плоскость Р, натянутая на векторы а и Ь, гиперболическая, и преобразование s оставляет на ме­ сте все векторы из Р°. Тем самым s — гиперболическое преобразование. Что касается симплектической группы Spn{K), то для нее утверждение вытекает из того факта,

есть пересечение двух гиперболических плоскостей, кро­

держащая у и з, является гиперболической. Если Un — не ортогональная группа, то плоскость Q содержит хотя бы один изотропный вектор у', не коллинеарный ни у, ни z и, следовательно, не ортогональный к х. Плоскость Р', содержащая х и у', отлична от Р. Прямая, содержащая X, есть пересечение плоскостей Р и Р'. Если U„ — ортогональная группа, отличная от указанной выше исключительной группы, то всегда можно выбрать век­ тор з неизотропным, и далее рассуждать таким же способом.

§ 4. Структура группы Un(K,f)

(f есть Г-форма индекса ^ 1 ; ортогональные группы

не рассматриваются.)

72 Гл. И. Структура классических групп

I. Группа Тп(К, і)

При изучении структуры унитарных групп важно раз­ личать два случая: когда 1 и когда ѵ = 0 (см. § 1 2 ).

В этом и следующем параграфах мы будем всегда пред­ полагать, что ѵ ^ І . Поскольку мы исключаем ортого­ нальные группы, в группе Un{K,f) есть унитарные сдвиги. Мы будем считать форму f косоэрмитовой, что не приводит к ограничению общности (см. гл. I, § 6). При

этом предположении унитарный сдвиг имеет вид х - * х ф '+ aXf (а,х), где а — изотропный вектор и К— симметрич­ ный элемент тела К (гл. I, § 12). Обозначим через Tn(K,f) нормальный делитель группы Un(K,f), порож­ денный унитарными сдвигами. Для изучения структуры группы Тп (К, П используются следующие леммы.

1) Если тело К не коммутативно, то оно порождается множеством S симметричных элементов, за исключением того случая, когда К есть тело обобщенных кватернионов характеристики Ф 2, а S совпадает с его центром Z

(Дьёдонне [13]). Если К коммутативно и J Ф 1, то, оче­ видно, 5 есть такое подполе поля К, что К является его сепарабельным квадратичным расширением.

2) Если а и b — два неколлинеарных изотропных век­

ҢЬ, г ) Ф 0. Плоскость, натянутая на а и г, гиперболична и содержит изотропный вектор аь не коллинеариый век­ тору а и, следовательно, не ортогональный к Ь. Так как [ ( а , аі ) Ф0 и І(аі,Ь)Ф 0 , то доказательство сводится

к первому случаю.

При п = 2 пространство Е есть гиперболическая пло­ скость. В качестве ее базиса можно выбрать два изо­

симметричность элемента aß-1. Сдвиг В 12(—aß-1) преоб­ разует такой вектор х в вектор, коллинеарный е2. Следо­ вательно, всякий сдвиг в направлении вектора х при

Эти леммы позволяют, прежде всего, установить, что

центр группы Тп есть ее пересечение Wn = Тп П Zn с цен­ тром группы GLn(K). Действительно, преобразование из Тп, перестановочное с любым сдвигом из Тп, сохраняет каждую изотропную прямую и, следовательно, каждую гиперболическую плоскость. Ввиду леммы 3 из § 3 от­

а принадлежит центру тела К, за исключением, быть мо­ жет, случая, когда К есть тело обобщенных кватернионов характеристики Ф 2, а множество 5 совпадает с центром Z тела К. Но в этом последнем случае элементы матриц В\2{X) и # 2і (ц) лежат в Z и в силу леммы 3 элементы всех матриц из Т2 также лежат в Z; в частности, c te Z ,

откуда и следует в этом случае доказываемое утвер­ ждение.

Структура группы Tn/Wn выясняется следующими теоремами (Дьёдонне [13]; см. также Хуа [10]).

А) Если группа T2/W2 проста, то группа Тп (К, f)/Wn

проста при я > 3 (для всякой Г-формы f индекса ѵ ^ 1). Заметим, что унитарные сдвиги, вообще говоря, не яв­ ляются попарно сопряженными в группе Т„. Однако из)*

*) При А = 1 получаем, что а = (сс ' ) } и, значит, аХ = Ха для любого симметричного элемента X. — Прим, перев.

74 Гл. II. Структура классических групп

леммы 2 следует, что если нормальный делитель G груп­ пы Тп содержит все сдвиги, соответствующие какомулибо одному вектору а, то он содержит вообще все сдвиги и, следовательно, совпадает с Тп. Поэтому доста­ точно проверить, что этим свойством обладает произволь­ ный нормальный делитель G группы Тп, не содержащий­ ся в \Ѵп. Пусть и e G , и ф Wn. Существует такой изо­ тропный вектор х ^ Е , что х и и(х) не коллинеарны (иначе в силу леммы 3 § 3 преобразование и было бы гомотетией). Предположим сначала, что f(x,u(x)) —0. Существует вектор z, ортогональный к и(х), но не орто­ гональный к X. Плоскость Р, содержащая х и z, будет

гиперболической. В ней имеется изотропный вектор у, не коллинеарный х. Лемма 2 показывает, что существует сдвиг и, преобразующий х в уХ, причем вектор этого сдвига содержится в плоскости Р. Тогда ѵ(и(х)) = и(х), так что преобразование и\ = v ir lv~lu, принадлежащее G, переводит х в уХ. Следовательно, можно ограничиться случаем, когда f(x,u(x) ) ф 0. Если тогда w — сдвиг в на­ правлении вектора х, то uwir' — сдвиг в направлении вектора и(х), не коммутирующий с w (см. § 1). Обозна­ чим через Q гиперболическую плоскость, определяемую векторами х и и(х). Преобразование и2 = w~hmir{ при­

надлежит G и оставляет на месте каждый вектор под­ пространства Q0, ортогонального к плоскости Q. Его мо­ жно рассматривать как элемент группы U2(K,f1). где fі—

ограничение формы f на Q. С другой стороны, будучи произведением двух сдвигов из С/2 (/С, fі), оно принадле­ жит группе T2(K,fі), но не лежит в центре этой группы,

поскольку не коммутирует с до. В силу сделанного пред­ положения отсюда следует, что G содержит все преобра­ зования из Т2(К, fi) и, в частности, все сдвиги в направ­

лении вектора х. Тем самым теорема доказана.

В) Если тело К содержит более 25 элементов, то группа T2(K.,f)IW2 проста (для всякой Г-формы f ин­

декса ѵ ^ І ) . Доказательство аналогично доказатель­ ству простоты группы PSL2(K), данному в § 2. Группу T2/W2 следует рассмотреть как группу подстановок мно­

жества С изотропных прямых. Лемма 2 показывает, что эта группа транзитивна; для того чтобы доказать, что