Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

§ 9. Структура группы O n (K,f)

93

вание X -> —х

принадлежало группе

0'п

(даже если

ѵ =

0 ).

§ 9.

Структура группы 0„(K,f)

(К — поле характеристики ф 2 , / — форма индекса

и.)

П. Структура группы Qn/Sin f\Zn =

РІІп (К,і)

Особое строение алгебр Клиффорда при п — 3 и п =

=

4 дает важные сведения о структуре соответствующих

ортогональных групп (см. также гл. IV, §

8 ), и мы нач­

нулю.)

А) п = 3. Пусть (ег)1 < г < 3 — ортогональный

базис

г’і = е2ез>

h =

e3e\>

h =

азеіе2

(12)

с таблицей умножения

і\і2 — h>

hJk=

Lkhi

при

h Ф k,

*1 =

ß,.

a =

ßa.

if ------ Pißa.

(13)

где an — f (ßfc, eu) ,

ßi = —a2a3,

ß2 =

—а 3аі. Таким

об­

разом, C+(f) — это

обобщенная алгебра

кватернионов

над К, соответствующая элементам

ßi е

К, ß2 е К.

Ре­

зультаты § 7 уточняются следующим образом:

чистых

кватернионов.

Из

того что

N (t) = ttJ =

tJt е К

для любого кватерниона t,

легко следует, что если z —

чистый

кватернион и t — любой обратимый кватернион,

то tzt~' — чистый кватернион. Для любого х е £

теперь

ixt- 1* =

так

что

tx t- '^ E ,

откуда и вытекает

доказываемое утверждение

(см. п. 4)

§ 7) ').

лентна форме

f с точностью до множителя и что,

если

N (z) = 0 для

какого-то кватерниона z Ф 0, существует

чистый кватернион z'

ф 0,

для

которого N (z') = 0.

Сле­

довательно, если V =

0, то C+(f) — тело. Напротив, если

ѵ = 1, то в C+(f)

имеются делители нуля; в этом случае

СМ/)

= К(2) где /С(2)— алгебра матриц порядка 2 над К.

Группа С+* в этом случае изоморфна группе GL2{K).

Отсюда получаем

(см. § 2):

3)

Если V = 1 , то группа Оз (К, /) изоморфна проек­

тивной группе PGL2(K),

а

ее

коммутант

Й3 (/С, f) —

группе PSL2(K)\ группа

Q3(/(, f)

проста, если только

К Ф F3.

0 и К — не диадическое

ло­

Для случая

когда

ѵ =

кальное поле, Поллак [3]

нашел

все нормальные дели­

тели группы Q3(K,f).

‘)

Элементы

х <= Е могут

быть при п ^ 4 охарактеризованы

как такие элементы из С~(/),

что х1 =

х. Этим можно воспользо­

ваться

для более

непосредственного

доказательства

того,

что

1 е

Е. — Прим, перед.

§ 9. Структура группы 0„( K, f )

95

В) п =

4. В этом случае центр Т алгебры C+(f) есть

прямая сумма К и Кеуе2еъе^, где (ег) 1 < г < 4

— ортогональ­

ный базис

пространства Е. Кроме того,

(ßie2e3e4) 2 — А,

где Д — дискриминант формы f в базисе

(е*). В зависи­

при V =

2 всегда имеет место первый

случай,

при ѵ =

=

1 — второй случай; при ѵ =

0 могут представиться

оба случая.

Элементы г'л, определенные

равенствами

(12), поро­

ждают подалгебру L в алгебре С+([),

являющуюся обоб­

щенной

алгеброй кватернионов

над

К.

Поскольку Т Л

Л L = К и всякий элемент из

Т коммутирует

со всеми

элементами из L, алгебра С+(/)

может быть отождеств­

лена с тензорным произведением T & L

(над К). Поло­

жим / =

ßie2e3<?4;

тогда

/г', =

— Сегеде,,, /У2= — а3а,е2е4,

/г3= а,а2а3е3е4.

Для

t — Л3

X\ii -j- Х2І2“Ь ^зг'з ^ E+ (f),

где

Х^ e T,

имеем tJ = X0— Xlil — Я2г2 — А3г3, поскольку

J оставляет

на

месте все элементы из

Т.

Отсюда

получается, что

N (/) = ttJ = А* -

Щ ~ Х% +

A2ß,ß2 е

Т.

вида su, где и е О ь

тогда и только тогда, когда N (t) е

е К (Эйхлер [2]).

su, то

Действительно, в § 7 мы видели, что если і =

N(t)<=K.

Обратно,

пусть N ( t ) ^ K . Тогда

у =

t x t 1 =

= txtJ/N(t) для всякого х е È, так что yJ =

у. С другой

стороны,

ясно, что

y<=C~(f). Следовательно,

у ^ Е .

Ввиду утверждения 4)

§ 7 этого достаточно для доказа­

тельства.

что группа

f) изо­

Из предыдущего следует,

0 4 (/(,

морфна факторгруппе

группы кватернионов

t е

Г ® L,

удовлетворяющих условию

N (t) = 1,

по

подгруппе

96

Гл. II. Структура классических групп

ОІ(К,

f) изоморфна группе Оз (ЛГ(]/Д),

Если ин­

ненулевых вектора х, у, что f (х-|- Ѵ&У> х + V

у) =

0 >

то X и у должны были бы быть ортогональны друг другу

и имело бы место равенство f{x,x) = —Af{y,y).

Но

из

ВІІ)

А является квадратом в К\ скажем, А =

со2,

где

и е і ( .

Пусть с' =

У2(1 + со-1/),

с" = У2(1 — от1;),

то­

гда

с' и с" — два

ортогональных

идемпотента в

С+ (/),

так

что

алгебра С+(/) есть прямая сумма двух

алгебр

Условие N(t) е

К означает, что N (а) — N(b);

при этом

N(t) = N(a) = N(b).

В

частности,

тогда

и

только тогда, когда N (а) = N(b)

=

1.

Учитывая,

что

Oif\Zi состоит из двух

элементов

(см.

§

7),

получаем,

что группа

0'd(0\(\Zi)

изоморфна

прямому произведе­

нию

0'3[К,

f,) X

О3 (AT, /,).

В частности,

6 )

Если

V =

2,

то

группа Q4/(Q 4 0 Z 4)

изоморфна

прямому произведению PSL2(K) X PSL2(K)

(множители

которого просты, если К ф

F3).

Эти результаты можно уточнить следующим образом.

Для

всякого х е £

имеем

х / = —/х, так

что

с'х =

хс",

с''х =

хс'. Если

/ =

ас' +

bс" (а е

L,

b ^ L ) ,

то

ігх=

= атхс' 4 - b~lc" и

tx t'] =

с' (axb~ l) + c"(bxa~l).

Предположим для простоты, что /(е 4, е4)

=

1

(этого все­

гда можно

добиться, умножив форму

/

на

константу).