ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 0
102 |
Гл. |
II. Структура классических групп |
Так как Я2 — 1 |
ф 0, то тем самым доказано, что всякий |
|
элемент подгруппы На является коммутантом в QnТаким образом, все условия для применения леммы 4
§ 2 выполнены, что и требовалось доказать. Оригинальное доказательство Тамагавы несколько от
лично от приведенного выше. Он. сразу рассматривает группу Q„, порожденную преобразованиями ра,ѵ в груп пе On{K,f), и непосредственно показывает, что группа PQn примитивна. Затем он доказывает, что Q'n — Qn, и заканчивает доказательство так же, как и выше. По скольку простота группы PSL^iK) при этом не исполь зуется, случай К — F3 не является для него исключи тельным нигде, кроме доказательства утверждения 13), которое в этом случае может быть проверено простым вычислением, использующим предположение, что п ^ 5.
В действительности проведенное нами доказательство позволяет утверждать, что всякий нормальный делитель
группы On (К, f) (п ^ 5, ѵ ^ |
1), не содерзтщийся в Zn, |
содержит (К, f). |
|
Заметим, наконец, что число элементов группы вра |
|
щений ОІ (Fg, f) равно |
1) qn- 4 . . . (q2 — 1) q |
(qn~ 1— 1) qn~ -(q n- 3— |
|
при нечетном n (в этом случае все ортогональные группы от п переменных над полем F, изоморфны) и при четном п = 2пг —
|
(q2m~1— eqm~l) (q*m~2— 1 )q3m~3 . . . |
{q°- — 1) q, |
|
||||
где |
s = |
1, если (— I)mA есть квадрат в |
поле |
Fg, и е = |
|||
= |
— 1 |
в противном случае (Диксон [1], стр. |
160). |
Так |
|||
как для конечного поля К индекс формы f всегда |
^ 1 |
||||||
при я 5* 3 и группа |
К*/К*2 состоит из |
2 |
элементов, то |
||||
£2n(Fg, f) — подгруппа |
индекса 2 в 0,t (F„, |
f) |
(см. § 8), |
||||
и при четном п группа Qn П Zn содержит |
2 |
или 1 |
эле |
||||
ментов в зависимости от того, является дискриминант Д квадратом в F? или нет.
§ 10. Группа Оп(К, Q)
(К — поле характеристики 2, форма Q не дефектна.)
Напомним, что п — 2т четно и группа On(K,Q) яв ляется подгруппой симплектической группы 5p2m(/C), cqt
§ 10. Группа O n ( K, Q) |
103 |
ответствующей билинейной форме /, ассоциированной с квадратичной формой Q (гл. I, § 16).
Централизатор группы 0„(К, Q) в ГЬп(К) находится так же, как в § 3 (с заменой отражений ортогональными сдвигами и изотропных векторов — особыми). Таким об разом устанавливается, что этот централизатор совпа дает с группой гомотетий Нп, за исключением следую щих двух случаев:
1°. п = 2, К = F4, ѵ = 1. В э т о м случае централи
затор содержит, помимо гомотетий, полулинейное пре образование, меняющее местами два особых вектора е\,
е2, таких, |
что f{eu е2) = |
1. |
случае On{K,Q) |
||
2°. п = |
2, |
К = F2, |
ѵ = і . В э т о м |
||
есть группа |
порядка |
2, |
совпадающая |
со своим центра |
|
лизатором. |
|
|
|
|
|
Таким образом, кроме этого последнего случая, центр группы Оп(К, Q) состоит лишь из единицы.
Каждой недефектной форме Q ставится в соответ ствие алгебра Клиффорда C(Q) (Арф [1], Шевалле [1]).
Это факторалгебра тензорной алгебры Т(Е) по двусто роннему идеалу аь порожденному элементами вида х <8» <8>x — Q(x) (и содержащему идеал, порожденный эле ментами х ® у -\-у <&>x — f(x,y)). Алгебра C(Q) имеет размерность 22,п над К. Пространство Е может быть отождествлено с подпространством элементов первой сте
пени |
алгебры C(Q). При этом для любых г е £ , у ^ Е |
|||
имеем |
|
|
|
|
|
xy + yx = f (х, у), |
|
(14) |
|
|
|
x2 = Q(x). |
|
(15) |
В |
частности, если |
(е ;)к *<2т— симплектический |
ба |
|
зис |
пространства Е |
(относительно формы |
f), т. е. |
|
/(£,-, в]) = f(em+i, em+j) = 0 и f { ei, e m+j) = 5 ij |
при |
1 < |
||
&i&m+l “Ь |
+ — бі/ |
при 1 ^ г ^ m, 1 ^ ^ т. |
Центр алгебры C(Q) совпа |
дает с К. |
|
104 Гл. II. Структура классических групп
Линейные комбинации элементов <?н (определенные, как в § 7), соответствующих множествам Я, состоящим
из |
четного числа элементов |
(элементы четной степени |
||||
в C(Q)), образуют подалгебру O (Q ) размерности 22,П_І |
||||||
над |
/С Она порождается произведениями |
ег- ^ - ( 1 ^ г ^ |
||||
^ |
^ 2нг) и единицей. Центр Г алгебры |
C+(Q) |
двуме |
|||
рен; его базис составляют 1 и элемент |
|
|
||||
|
£ = £|£ш+1 е2ет+2 "Ь ••• |
+ вте2т, |
(17) |
|||
удовлетворяющий условию |
|
|
|
|
||
где |
£2 + £ = |
А (Q)> |
|
|
(18) |
|
А (Q) — Q (el) Q (em+l) + |
••• + |
Q (бш) Q ie2m)- |
(19) |
|||
|
||||||
Говорят, что A(Q) — псевдодискриминант формы Q
относительно симплектического базиса (ßi)!</<2m (Арф
[1], Кнезер [2]). Пусть и — симплектическое преобразова ние. Положим
|
|
m |
пі |
|
U {ßi) |
2 |
&i]@i |
2 |
+ |
|
/=1 |
1=1 |
|
|
|
|
m |
m |
|
u{ßm+d |
2 |
СИе, -f- 2 |
ді j&m+l • |
|
Обозначим через A(Qi) псевдодискриминаит формы Qi, определяемой равенством Qi(x) — Q(u(x)), относи тельно того же базиса (et). Тогда
|
A(Qi) = A(Q) + p(Q(H)), |
(20) |
|||
где J?(£) = £ + |
£2, |
а D(u) — инвариант Диксона преоб |
|||
разования и, определяемый формулой |
|
||||
Я(м) = |
2 |
( a ^ c ^ |
+ ß ^ ^ |
+ ^/Cf/), |
(21) |
в которой щ = |
Q(et), ßi = |
Q(em+i) |
(Диксон [1 ], стр. 206; |
||
Дьёдонне [20]). Если и — ортогональное преобразование,
то D (и) = 0 или D (и) = 1 . Кроме |
того, отображение |
â-+D(ü) является гомоморфизмом |
группы On(K,Q) |
в аддитивную группу поля К. Ортогональные преобразо вания и, для которых D(u) = 0 , образуют подгруппу ин
декса 2 в On(K,Q), называемую группой вращений и
§ 10. Группа On (К, Q) |
105 |
обозначаемую через On (К, Q). Для ортогонального
сдвига і всегда D(t) = 1 .
1) Всякое преобразование из On(K,Q) есть произве дение ортогональных сдвигов, кроме случая, когда К = = F2i п = 4 и V = 2 (Дьёдонне [4]; другое доказатель ство у Шевалле [1], стр. 20—21). Более того, можно по казать, что, за вышеупомянутым исключением, всякое ортогональное преобразование представляется в виде произведения не более чем п ортогональных сдвигов (Дьёдонне [19]). При этом вращения могут быть охарак теризованы как такие ортогональные преобразования, которые представляются в виде произведения четного числа ортогональных сдвигов. Замечания, сделанные в § 6 , о возможности преобразовать с помощью вращения
данное подпространство V в другое данное подпростран ство W (такое, что ограничения формы Q на V и W эквивалентны) сохраняют силу, если заменить слова «вполне изотропный» на «особый» (даже в указанном выше исключительном случае).
2 ) При я ^ 4 центр группы O t {К, Q) состоит лишь
из единицы. Доказательство может быть проведено так же, как в § 6, если заметить, что для всякой иеизотроп-
ной плоскости Р существует вращение (произведение двух ортогональных сдвигов в направлении векторов, лежащих в Р), подпространством неподвижных точек ко торого является Р°.
3) |
Группа O t (К, Q) |
коммутативна. |
Следует |
разли |
|||
чать два случая, в зависимости от индекса ѵ формы Q. |
|||||||
a) Если V = |
1, то в базисе, составленном из особых |
||||||
векторов, матрицы преобразований из |
ОІ |
имеют вид |
|||||
IX |
0 |
\ |
Х ^К *. |
Таким образом, |
в |
этом |
случае |
( q |
д_ і I, где |
||||||
группа |
O t (К, Q) изоморфна К*. |
|
|
Q (х) = |
|||
b) Если V == 0, то в симплектическом базисе |
|||||||
-f- |
-f аЩД гДе многочлен X2- f X + |
а неприводим |
|||||
над К. |
Пусть /Сі = /((со)— сепарабельное |
квадратичное |
|||||
*) Точнее, этого можно добиться, умножая форму Q на ска
ляр. — П р и м , пер ед .
106 Гл. II. Структура классических групп
расширение поля К, получаемое присоединением к К корня to этого многочлена. Отождествим пространство Е
с К\ так, чтобы вектор |
( 1 , 0 ) |
отождествлялся с единицей |
|||
поля Кь Если £ = |
£ + |
юті, |
то |= Е |
+ р + |
юг] и ££ = |
= £2 -f- gri + ар2. С |
другой |
стороны, |
легко |
видеть, что |
|
всякое вращение, оставляющее на месте единицу поля
Ки тождественно. Так как всякое вращение u ^ O t (К, Q) переводит единицу поля К\ в элемент у, равный 1 по
норме, то оно совпадает с преобразованием £ — Та
ким образом, в этом случае группа О } {К, Q) изоморфна группе элементов с нормой 1 в поле Кі-
Обозначим через Qn{K, Q) коммутант ортогональной группы Оп(К, Q).
4) Группа Qn{K,Q) порождается произведениями t(wtw-1) двух сопряженных ортогональных сдвигов. Она также порождается квадратами элементов группы Оп-
Доказательство такое же, |
как и п. 4) § 6, кроме особого |
|
случая К = Гг, |
п = 4, ѵ = |
2, который требует специаль |
ного изучения |
(Дьёдонне [4], стр. 45). |
|
В оставшейся части этого параграфа мы исключаем
из рассмотрения, если не будет |
оговорено противное, |
|
особый случай К = |
F2, п = 4, ѵ = |
2. |
5) При п ^ 4 |
группа Qn совпадает с коммутантом |
|
группы вращений |
Оп- Доказательство, данное в п. 5) |
|
§ 6, не проходит, но можно доказать это утверждение
непосредственно, проверив, что коммутатор sis~4~l про извольных ортогональных сдвигов s, t содержится в ком
мутанте группы Оп-
Центр группы Q« сводится к единице (и тем самым равен Qn Г) Zn) при п = 4. Доказательство совершенно аналогично данному в § 6 для полей характеристики ^=2 .
Правда, здесь имеется особый случай К = F2. В этом случае рассматриваются эллиптические плоскости, т. е.
такие плоскости, ограничение |
формы Q(x) на |
которых |
||
в |
симплектическом базисе |
записывается |
в |
виде |
I? + |
Ііі2 + Щ- Доказывается, |
что всякая неособая |
пря |
|
мая является пересечением двух эллиптических плоско
стей |
(исключая случай, когда п — 4, ѵ = 2). |
|
6 ) |
Для |
всякого ортогонального преобразования и е |
е О л (К, Q) |
существует такой обратимый элемент эц щ. |
|