Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

лежащий в R и не ортогональный к by, тогда с не орто­ гонален и к Ь, поскольку f(a,c) = 0 . Применяя дважды первую часть доказательства, находим такое преобра­

(и, тем более, PQn) действует точно на множестве С изотропных прямых пространства Е.

9) Группа PQn, рассматриваемая как группа пере­ становок множества С, примитивна.

Предположим противное, т. е. что С допускает не­ тривиальное разбиение, совместимое с действием группы PQn■Пусть М — одно из множеств такого разбиения и D, D' — два его различных элемента. Молено считать, что прямые D и D' не ортогональны. В самом деле, если бы они были ортогональны, то из 8) следовало бы, что М содержит все изотропные прямые, ортогональные к D или D'. Существует изотропная прямая D", ортогональ­ ная к D, но не ортогональная к D' (гл. I, п. 1, § 11). То­

гда D " e M , и пару (£>,£>') можно заменить на пару

(D",D').

Итак, предположим, что прямые D и D' не ортого­

этого ул{е следует, что М = С. Если ѵ > 1, то существует изотропная прямая Di, ортогональная к D, отличная от D и не ортогональная к D' (гл. I, п. 1, § 11). Согласно предыдущему, D \ ^ M . В силу 8) существует преобра­ зование из Qn, оставляющее на месте прямую D и пере­ водящее прямую Di в любую изотропную прямую, орто­ гональную к D и отличную от нее. Следовательно, М содержит все изотропные прямые, ортогональные к D, и, значит, М = С.

Покажем теперь, что к примитивной группе PQn при­ менима лемма 4 § 2, если определить подходящим обра­ зом группы Нх.

10) Пусть а — изотропный вектор, L — изотропная ги­

значно продолжается до ортогонального преобразования р0і у пространства Е.

Существование преобразования р0, у вытекает из тео­ ремы Витта, если проверить, что ta является ортогональ­ ным преобразованием гиперплоскости L; но это немед­ ленно следует из того, что f{a,z) = 0 для всех г е і . Для доказательства единственности рассмотрим изотроп­ ный вектор Ь, не ортогональный к а. Пусть Р — гипербо­ лическая плоскость, содержащая а и Ь. Если два орто­

100 Гл. II. Структура классических групп

то они совпадают с іа на подпространстве Р°. Преобра­ зование и 'і г 1 оставляет неподвижными все векторы из

Р° и, следовательно, сохраняет плоскость Р. Более того, и 'і г 1 оставляет на месте изотропный вектор я е Р. Сле­ довательно, и 'і г 1— тождественное преобразование.

11) В обозначениях п. 10)

В самом деле, для доказательства этих равенств до­ статочно проверить совпадение значений их членов на векторах из L или, для третьего равенства, из ѵ(Ь)\ но это очевидно.

Из соотношений 11) следует, что для данного изо­ тропного вектора а преобразования ра, ѵ, где у пробе­ гает L, образуют абелеву подгруппу На в группе 0„. При этом Нха = На, так что На зависит только от X = К а е

і= С. Образ группы На в РОп, очевидно, изоморфен На\

ляется нормальным делителем стационарной подгруппы точки X в РОп-

12) Группа PQn порождается своими подгруппами Нх,

х: е С .

Докажем вначале, что Нх е PQn при любом л е С . В обозначениях доказательства утверждения 10) до­ статочно показать, что ра>„ е й п для всех векторов у

некоторого ортогонального базиса пространства Р°. По­ этому можно ограничиться случаем, когда вектор у не

изотропен. При этом условии сдвиг іа совпадает с огра­ ничением на L произведения ss' отражений относительно гиперплоскостей, ортогональных к векторам у и у ' = у —

изведениями вида susu~\ где s — отражение относитель­ но неизотропнор гиперпдоскортр V, а и ^ О п (§ б, п. 4),

Пусть z — вектор, ортогональный к V. Если плоскость Р, определяемая векторами z и u(z), изотропна и а — изо­ тропный вектор этойплоскости (определенный одно­ значно с точностью до пропорциональности), то su sir1е е Я а в силу предыдущего вычисления. Предположим те­ перь, что плоскость Р неизотропна. Тогда существует 3-мерное неизотропное подпространство W, содержащее плоскость Р и изотропный вектор с. Это очевидно, если Р — гиперболическая плоскость: тогда можно взять с е е Р . В противном случае, поскольку изотропные векторы не могут лежать в одной гиперплоскости, существует изотропный вектор с ф Р , не ортогональный к Р; в этом случае в качестве W можно взять Р -{- Кс. (Действитель­ но, W = Р -f /(с не может содержать вполне изотропной плоскости, так как она имела бы изотропное пересече­ ние с Р; с другой стороны, в силу выбора с невозможно, чтобы W Г) W0 == Кс.) Обозначим через fі ограничение формы f на W. Согласно 3), коммутант группы 0 3(K,fі) прост. Следовательно, ограничение преобразования susu~] на W есть произведение ограничений на W преоб­ разований вида ра, у, где а к у принадлежат W (посколь­ ку в простой группе подгруппы, сопряженные к любой неединичной подгруппе, порождают всю группу)- Так как эти преобразования тождественны на W0, то и на всем пространстве Е преобразование susir1 есть произведение преобразований вида ра, у-

13) Группа PQn совпадает со своим коммутантом.

Достаточно показать, что каждая из подгрупп Нх со­ держится в коммутанте группы РQ„. Возьмем такое Xе е К, что X ф 0 и № ф \ . Пусть а, Ь— два изотропных вектора, причем f(a,b) — I. Обозначим через Р гипер­ болическую плоскость, определяемую этими векторами, и через V— вращение плоскости Р, для которого ѵ(а) = = Ха, v ( b ) = Х~'Ь. Мы знаем, что o2e Q n (§ 6, п. 4))-.

Из соотношений 11) следует, что для всякого вектора у, ортогонального к а,

02РвіВ0“2Рв.1» ==!Ра.(Ѵ-1)*1)-

1) Поскольку Ра , г/+ца ~ Ра, іи можно считать, что у ортогона­

да)! к 6; тогда ѵ(у) — у. — Прим., перев.