Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 10. Группа Оп (К, Q)

107

e C (Q ), определенный с точностью до скалярного мно­ жителя, что a(x) = suxs~] при любом х ^ Е . Преобра­

зование и является вращением тогда и только тогда, ко­ гда su — элемент четной степени. Обратно, для всякого обратимого элемента s, такого, что sEs~l = Е, преобра­ зование X—►sa's-1 пространства Е принадлежит группе

Оп{К, Q).

Доказательство проводится так же, как в § 7, п. 3) и 4), с заменой отражений ортогональными сдвигами.

Далее, как и в § 7, для всякого вращения и ^ О І определяется спинорная норма Ѳ(и) е К*ІК*2- Образом

группы 0,1 при гомоморфизме Ѳ является подгруппа группы К*/К*2, порожденная классами произведений

Q(x)Q(y), а его ядро 0'п (К,

Q) =

Ѳ_і (1) содержит груп­

пу Qn (K,Q).

Заметим, что

если

поле

К совершенно

(в частности,

если оно конечно), то

0 „ =

0 „.

Назовем гиперболической плоскостью всякую неизо­ тропную плоскость, содержащую особую прямую (и, зна­ чит, содержащую ровно две такие прямые). Назовем так­ же гиперболическим преобразованием (соответственно гиперболическим вращением) всякое ортогональное пре­ образование (соответственно вращение), оставляющее неподвижными все элементы ортогонального дополнения

кгиперболической плоскости.

7)Пусть Р — гиперболическая плоскость. Всякое ор­ тогональное преобразование (соответственно всякое

вращение) может быть представлено в виде и = sv, где s — гиперболическое преобразование (соответственно ги­ перболическое вращение), связанное с плоскостью Р, а

Vе Qn- Если Р' — вторая гиперболическая плоскость,

то

существует такое преобразование

что w(P)

=

= P'. Доказательство (для ортогональных преобразова­

ний) проводится так же, как в § 8 , п. 2 ),

если заметить,

что ортогональный сдвиг является гиперболическим пре­ образованием. Далее, если и — вращение и u = sv, где Vе Qn, то s также должно быть вращением. Вторая часть утверждения доказывается так же, как в § 8, п. 3).

8 ) Если п ^ 2 «

1

(особый случай /С =

F2, /г =

= 4 , ѵ = 2 исключается),

то спинорная норма

есть го­

моморфизм группы Оп на группу К*/К*2, ядром которого

108

Гл. II. Структура классических групп

 

является коммутант й„. Факторгруппа

тем самым

изоморфна группе К*/К*2.

 

Доказательство проводится так же, как в § 8 .

Изучение алгебры Клиффорда при п = 4, как и в § 9,

позволяет определить структуру групп

0 4(К, Q). Пусть

(е‘) к г <4 — симплектический

базис, т.

е.

f{eu e3) =

— f(e2,e4) =

1 и

= 0

для

любой другой пары

индексов.

Положим

Q(е,) =

сс, Q(e2) = ß ,

Q(e3) = y ,

Q(e4) = б. Центр Т алгебры C+(Q)

есть прямая сумма К

и КІ, где £ =

е,е3 +

е2е4. При этом

£2 +

£ = А, где А =

= ау + ßö — псевдодискриминант

формы Q. В зави­

симости

от того, имеет А вид р(р)

при

р е Х

или нет,

алгебра Т есть либо сумма двух полей, изоморфных К, либо сепарабельное квадратичное расширение поля К. По теореме Витта при ѵ == 2 всегда имеет место первый

случай (и можно считать,

что a = ß = y =

6 = 0 );

при

V =

1 всегда имеет место второй случай (и можно

счи­

тать,

что ß = б = 0, а ау

не имеет

вида

f (р)).

При

V =

0 могут представиться оба случая.

 

 

 

Определим инволюцию

J алгебры

C(Q),

как в § 7.

Имеет место следующий критерий, доказываемый так же, как в случае характеристики ф 2 (§ 9, п. 4)).

9)Для того чтобы обратимый элемент t алгебры

C+(Q)

был элементом вида su, где w e О4", необходимо

и достаточно, чтобы

элемент N{t) — ttJ принадлежал

полю К.

 

что группа 0'4 {К, Q)

изоморфна

Из

этого вытекает,

группе

обратимых элементов алгебры C+(Q)

с нормой

N(t), равной 1 .

 

 

Рассмотрим отдельно несколько случаев.

 

I.

ѵ= 2. Тогда алгебра C+ (Q) является прямой суммой

двух простых алгебр с центрами (1 +£)/<С и t,K соответ­

ственно. Базис первой составляют элементы

1 + £, еіе2,

е3е4 и

/ =

е,е2е3е4, базис второй — элементы

ete4, е2еэ,

еіе3£ =

/ +

е,е3 и e2e4t, = / + ^264- Легко видеть, что каж­

дая из этих двух алгебр изоморфна алгебре матриц по­

рядка 2 над К и при отождествлении ее с этой алгеб­

рой1)

норма N (t) совпадает с определителем. Отсюда

получаем

*) Причем ее центр отождествляется с К- — П р и м , п ер ев .

 

§ 10. Группа О п (К, Q)

 

 

109

на

10) Если V = 2 , К Ф Гг, т о группа Q4(/<", Q)

изоморф­

прямому произведению SL2(K)Xi SÈ2(K)

(каждый

множитель которого является простой

группой

(§ 2 )).

 

В исключительном случае, когда ѵ =

2, К — F2, груп­

па

О ?1) изоморфна группе элементов ^ eC +(Q )

с нор­

мой N(t), равной 1 , и, значит, изоморфна прямому про­ изведению SL2 (F2)X SL2 (F2), множители которого суть разрешимые группы порядка 6 . Группа &4, порожденная

произведениями пар сдвигов (Дьёдонне [4], стр. 45), яв­ ляется в данном случае подгруппой индекса 2 в Оt , а коммутант группы Ot является подгруппой индекса 2 в

Q4. Эта последняя подгруппа есть прямое произведение двух циклических групп порядка 3.

II. V = 1. Центр Т алгебры C+(Q) является в данном случае сепарабельным квадратичным расширением поля

К. Элементы 1, еіе2, е3е4 и / =

еіе2е3е4 образуют базис ал­

гебры C+(Q) над Т. Легко

видеть, что алгебра C+(Q)

изоморфна алгебре матриц порядка 2 над Т, и при отож­ дествлении ее с этой алгеброй норма N (/) совпадет с определителем. Отсюда получаем

11) Если у — I, то группа Qi(K, Q) изоморфна группе

SL2(T) и, значит, проста (поскольку Т содержит не менее

4элементов; см. § 2).

III. V = 0. Как указывалось выше, здесь могут быть два случая.

а)

Д = {р (р ), где р е / ( . Тогда C+(Q)

изоморфна пря­

мой сумме двух простых алгебр с центрами

(р + ^)К и

(1 +

р + £) К соответственно (если А =

0 ,

то возьмем

р= 1). Первая из них имеет в качестве базиса элементы

Р+ L (р + £)еіе2. (р + £)£зе4, (Р + £)еіе2езб4- Она изо­

морфна алгебре кватернионов А\ над К с таблицей умно­

жения

 

 

i\ =

 

і2г, =

і, i2+ p.

 

і\ =

aß,

уб,

 

Вторая имеет

в

качестве

базиса

элементы

р '+ ^ + К

(Р + ^ + П еіе4,

( р + ? + 1 )е2е3 и

( р - К + 1 ) (eie3+ e ie 2e3e4) и

изоморфна алгебре

кватернионов А2 над К с

таблицей

умножения

 

 

 

 

 

/ іі2-ф р •

 

/]

 

^5,

ßy,

/2/j =

 

■) Совпадающая с о [ . — П р и м , п е р е в .

п о

Гл. II.

Структура классических групп

 

Из предположения ѵ = 0 следует, что обе эти алгебры

являются телами.

В самом деле, норма элемента х =

=

х0+ -Vjij + х2і2+

х$і\І2 алгебры А\ представляется

квадратичной формой

 

+ р-ѵ'з +

aßyöx^ + aß.vj + p,v,x2 - f ybx°~,

которая с точностью до множителя эквивалентна форме

Q (z) = az\ + ZjZ3 + y z l +

ßz* +

z 2z 4 +

öz

4

 

 

 

 

где z = 2 ziei-

Эквивалентность осуществляется под-

i=l

 

 

 

 

становкой

 

 

 

 

2 i = x04 - аулг3,

z2 = cue, -f 6*2,

z3 =

арх3,

z4 = px2.

Так же исследуется алгебра А2. Таким образом, если обозначить через ІѴі (соответственно N2) группу элемен­ тов алгебры А\ (соответственно А2) с нормой 1, то группа Н4(К, Q) изоморфна прямому произведению N\ X N2.

b) А не представляется в виде f (р). Тогда Т есть се­ парабельное квадратичное расширение поля К, и алгебра C+(Q) является алгеброй кватернионов над Т, имеющей в качестве базиса элементы 1, ще2, е3е4 и еіе2е3е4. Таб­

лица умножения этой алгебры такая же, как у А\, с за­ меной р на 1 + £, а норма с точностью до множителя эк­

вивалентна форме Q(z), рассматриваемой как квадра­

тичная форма над Т.

Из

предположения

ѵ =

0 следует

так же, как и в случае характеристики ф 2 ,

что форма

Q (z)

имеет

индекс

0 над Т. Действительно, пусть

<2(* +

&/) =

0.

Тогда

Q{x) = kQ{y)

и

Q(y) = f{x,y).

Пользуясь определением псоевдодискриминанта А, от­

сюда легко вывести, что в плоскости, ортогональной к

хК + уК, имеется особый

вектор =£0.

Таким образом,

C+(Q)— тело кватернионов над Т и группа Q4(/C, Q) изо­

морфна группе его элементов с нормой 1 .

 

 

Для я ^5 6

имеется

следующая теорема (Диксон [1],

Дьёдонне [4]):

 

и ѵ > 1 , то группа

Qn{K,Q) проста.

1 2 )

Если я > 6

(Напомним,

что форма Q не дефектна).

 

 

Смотрите также файлы