ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 0
$ 11. Группа 0„ (/(, Q) |
111 |
Доказательство Тамагавы для поля характеристики Ф 2 проходит здесь без изменений (если повсюду вместо изотропных векторов рассматривать особые), исключая доказательство леммы 13 § 9 в случае К = F2, когда тре буется небольшое специальное рассуждение, использую щее предположение п ^ 6 .
Это доказательство позволяет, кроме того, утверж
дать, что всякий нормальный делитель группы 0,t (К, Q) {n ^ 6 , 1 )содержит ее коммутант Qn(K, Q).
Заметим, наконец, что число элементов группы вра щений Ö2m(Fq, Q) = &2m(Fq, Q), ГДв <7= 2 \ рЭВНО
(qm— 1) (q2(m-1>— 1) q2('n-1) . . . |
(q2— 1) q2, |
если V = m и
(qm+ 1 ) (q2 f"1-» — 1 ) q2f"1-» . . . (q2— 1 ) q2,
если V = m — 1 (Диксон [1], стр. 206).
§ 11. Группа 0 „ ( K , Q)
{К — поле характеристики 2 , форма Q дефектна.)
Напомним (гл. I, § 16), что дефект d формы Q обла дает тем свойством, что п — d = 2р — четное число и что всегда можно рассматривать группу On(K,Q) как под группу симплектической группы Sp2p(K), образованную
такими преобразованиями и, что <3(«(л:))-}- Q( x) ^M, где М — подпространство поля К, рассматриваемого как векторное пространство над Д2; при этом можно предпо лагать, что М содержит единицу. Поэтому единственный случай, который нуждается в рассмотрении, — это когда
М Ф К , т.е. поле К несовершенно (и, значит, бесконеч но). Кроме того, ограничение Qi формы Q на 2р-мерном
подпространстве Е\ не дефектно, а условие ѵ ^ |
1 влечет |
за собой, что в Е\ существуют особые векторы |
ф 0. Так |
как группа 0 2p(K,Qi) является подгруппой |
группы |
On(K,Q), то центр группы Оч (Д, Q) состоит лишь из единицы (§ 1 0 ).
112 Гл. II. Структура классических групп
Вектор а ^ Е і называется полуособым, если Q (a)eM . Преобразования из группы On(K,Q) переводят полуосо бые векторы в полуособые. Ортогональный сдвиг (гл. I, § 16) в направлении полуособого вектора называется полуособым. Такой сдвиг х -* х + Xf (х, а) а характери зуется условием І е М (автоматически выполняющимся
при X = 1).
1 ) Всякое ортогональное преобразование является
произведением ортогональных сдвигов. Доказательство проводится так же, как в случае недефектных форм, при чем предположение о бесконечности К исключает все особые случаи (Дьёдонне [4], стр. 55).
2) При 2р 2 и V ^ 1 группа Qп{К, Q), порожденная полуособыми сдвигами, проста. Доказательство совер шенно аналогично доказательству простоты группы Tn (K,f), порожденной унитарными сдвигами (Дьёдонне
[4], стр. 55—58).
3) Группа ün{K,Q) (при 2р ^ 2, ѵ ^ І ) является коммутантом группы On(K,Q). Доказательство, имею щееся у Дьёдонне [4], стр. 59—60, не применимо в случае 2/7 = 4, V = 2. Чтобы исследовать и этот случай, доста
точно (см. там же) доказать, что если Р, Р' — две гипер болические плоскости в подпространстве Еі, то сущест
вует |
преобразование из группы Qn, |
преобразующее Р |
в Р'. |
Используя предположение ѵ = |
2, можно доказать |
это утверждение, следуя, с небольшой модификацией, методу, примененному в работе Дьёдонне [13], стр. 380— 382, для унитарной группы. Модификация состоит в сле дующем. Пусть (ег )к і< 4 — симплектический базис про
странства Еи образованный особыми векторами, удовле
творяющими условиям: / (еі, ег) = f (ез, 64) = |
1 и f(e,, е/) = |
= 0 для остальных пар индексов (і< [/). |
Доказывается, |
что произведение и трех (а не двух) |
ортогональных сдви |
|||||
гов в направлении векторов й/( = |
Х^вч + p,fte3 сохраняет |
|||||
(в целом) плоскости в\К + егК и е2К + |
СаК и что и(в\) = |
|||||
= е\ + еза, |
где |
а ф 0. |
Для этого |
достаточно заметить, |
||
что в поле |
К |
можно |
найти |
шесть |
элементов Хи, цл |
|
(1 5gl k sg: 3), таких, что |
|
|
|
|
||
“Ь ^2 + . |
— 0, щ + Ц2 Ң- Цз = |
0, Яі(.ц |
Я2/12 + Мрз Ф О |
|||
§ 12. Унитарные и ортогональные группы |
113 |
§ 1 2 . У н и т а р н ы е и о р т о г о н а л ь н ы е г р у п п ы ,
с о о т в е т с т в у ю щ и е а н и з о т р о п н ы м ф о р м а м
Большая часть полученных в § 4— 11 результатов о строении ортогональных и унитарных групп перестает быть справедливой, когда рассматриваемые квадратич ные или полулинейные формы анизотропны.
Рассмотрим, например, рациональное р-адическое поле Qр. Пусть f — невырожденная симметричная били нейная форма индекса 0 от п = 3 или 4 переменных над Qр. Тогда можно найти такой ортогональный базис про странства Е, что всякое преобразование из On(Qp, f) за писывается в этом базисе матрицей, все элементы кото рой— целые р-адические числа (Эйхлер [2], стр. 57).
Пусть Gk — множество преобразований і / е О л, матрица которых имеет вид 1 -\-phV, где V — матрица с целыми р-адическими элементами. Предыдущее замечание пока зывает, что Gk — нормальный делитель группы Оп. Легко доказывается, что GiJGk+i — абелева /7-группа, не рав
ная единице, и что пересечение подгрупп Gh содержит только единичный элемент группы 0„ (Дьёдонне [11]). Сравнение с § 9 показывает, что этот случай в некотором
роде противоположен случаю |
1 . |
Аналогичные примеры можно |
привести для ортого |
нальных групп Оп (/(,/) от произвольного числа перемен ных, так же как и для ортогональных групп On(K,Q) над полем характеристики 2 и для унитарных групп
Un{K,f) (Дьёдонне [4]). Результаты § 8 о группах 0 £/й „
и Q-г П Zn также перестают быть справедливыми для ани зотропных форм. Например, при К = R (поле действи
тельных чисел) для положительно определенной формы f имеем Q,n — 0 ^", хотя группа R7R*2 состоит из 2 элемен
тов. Можно привести пример анизотропной симметричной билинейной формы / от 4 переменных над полем Q ра циональных чисел, дискриминант которой есть квадрат, но для которой симметрия х- * — х не принадлежит ком мутанту Qn (Дьёдонне [9], стр. 93). Можно также приве сти пример унитарной группы Un(K,f) от 2 переменных
над полем Q (]/2), д л я которой группа Ut не совпа
дает со своим коммутантом, в противоположность ре зультатам § 5 (Дьёдонне [10], стр. 948).
114 |
Гл. //. Структура классических групп |
Предыдущие примеры строились для специальных по лей К. Легко устанавливается, что строение, например, группы Оп(/<, /) для анизотропной формы f существенно зависит от основного поля К. Так, хорошо известно, что
группа |
On (R, /), |
где / — анизотропная форма, проста |
при /1 > |
3 и /і ^ |
4, в то время как строение ортогональ |
ных групп от 3 переменных над р-адическими полями, как было показано выше, совершенно иное.
Единственными типами полей, которые хорошо изу чены с этой точки зрения, являются локально компакт ные нормированные поля (характеристики ф 2 ) и поля
алгебраических чисел. Что касается первых, то описан ная выше ситуация, имеющая место для р-адических по лей, является общей для этого типа полей (Дьёдонне [11], Эйхлер [2], стр. 57). Для р-адических и ф-адических полей встречаются только случаи п = 3 и п — 4, поскольку при nPpzb всякая симметричная билинейная форма над та ким полем имеет индекс ^ 1 (Витт [1], стр. 40).
Изучение ортогональных групп над полем алгебраиче ских чисел К тесно связано с теорией эквивалентности квадратичных форм над таким полем (гл. I, § 8). Не
входя в детали этой теории, укажем, что она основана на изучении квадратичных форм / Р, получаемых из формы /
расширением поля К до каждого из его локальных полей Кр (где 1) — архимедово или неархимедово нормирование
поля К). Ее главные результаты выражаются удивитель нейшим образом в виде принципа «перехода от локаль ного к глобальному» '). Например, для того чтобы форма / имела индекс ^ 1 , необходимо и достаточно, чтобы она
обладала этим свойством над каждым из полей Кр*2)- Это приводит к предположению, что аналогичный прин цип должен управлять строением ортогональных групп. Это предположение частично подтверждается работами Кнезера [1], основной результат которых (улучшающий
результаты, полученные ранее Дьёдонне [9], [10], [12] ме
*) Этот принцип называют иногда «принципом Хассе». —П р и м ,
пе р е в .
2)То есть чтобы этим свойством обладала каждая ' из форм
(у- — П р и м , п е р е в -
|
§ |
12. Унитарные и ортогональные группы |
115 |
||
нее |
мощным |
методом) |
состоит в |
доказательстве |
(при |
V = |
0 ) следующих трех теорем: |
|
|
||
|
A) Пусть pi (1 |
г ) — вещественные нормирова |
|||
ния поля К, |
для которых форма fp |
имеет индекс 0. То |
|||
гда при / г ^ З спинорная норма определяет изоморфизм группы Оп/о'п на подгруппу группы К*/К*2, образован ную классами чисел поля К, положительных в каждом из полей Kh.
B) При я ^ |
2 и п Ф 4 имеем 0'п— Q,,. |
|
||
C) При я ^ |
5 группа РQn = Q„/ (Q„ П Zn) проста. |
|||
Для доказательства |
теоремы А) заметим, что образ |
|||
пространства |
Кр при |
отображении x —>fp(x,x) |
есть |
|
все К\> для любого |
нормирования р поля К, отличного |
|||
от нормирований р/ |
и |
(при я = 3) от конечного |
числа |
|
неархимедовых нормирований q;., для которых форма f
имеет индекс 0. Для каждого } образ пространства K«j
при отображении x —>fq (х, х) |
есть дополнение к классу |
|||||||
|
*2 |
^ |
б П у с т ь |
теперь у е К таково, |
||||
по модулю Kuj элемента |
||||||||
что у > |
0 в каждом |
из полей |
К$г |
Существует элемент |
||||
а е К, |
представляемый |
при |
любом і |
формой |
fp |
и не |
||
принадлежащий ни |
при |
каком j |
ни |
классу |
6/, |
ни |
||
классу уб/ по модулю /<"Ч/. Элементы а и ß = a_Iy
представляются тогда формой fp при любом р и, значит,
формой / в силу принципа перехода от локального
кглобальному. Отсюда следует, что класс у по
модулю К |
является |
спинорной нормой |
произведения |
|
двух отражений. Тем |
самым теорема |
А) |
доказана. |
|
Для доказательства теоремы В) рассмотрим сначала |
||||
случай я < 3 . |
Всякое преобразование t e . O+ |
представ |
||
ляется тогда в виде произведения двух отражений sa и Sb относительно гиперплоскостей, ортогональных к век
торам а к b |
соответственно. При t е Огп можно считать, |
|
что f(a,a) = |
f(b,b), и из теоремы Витта |
следует тогда, |
что Sa и Sb сопряжены в группе Оп и, |
значит, t е Q„. |
|
Пусть теперь я > 5. Элемент t ^ O n |
представляется |
|