ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
116 |
Гл. II. Структура классических групп |
|
в виде |
произведения отражении sa. (1 |
Затем |
ищется плоскость Р cz Кп, содержащая такие векторы Ьі,
что f(bi,bi) = f(ai,cii) при любом і. Отражения sö( и sbl
будут тогда сопряжены в группе Оп. Поэтому если обо значить через t' произведение отражений sb , то H ''e Q n,
и если t е Оп, то и t' е 0'п. |
Но t' можно рассматривать |
как вращение в плоскости Р, |
и доказательство сводится |
к первому случаю. Таким образом, остается доказать существование плоскости Р. С этой целью строится ква
дратичная форма g(tj, y) = |
f(al, я ,) К — örL>) |
в |
ПР°’ |
странстве К2, принимающая |
значения / (аг-, аг) |
(1 ^ |
і ^ |
^ m), для чего достаточно взять в качестве б норму эле мента X расширения L поля К, порожденного квадрат
ными корнями ]/7 (аг, |
cii)/f (аи |
а,)при 2 і ^ |
in. Далее, |
|
нужно показать, что в Кп существует плоскость Р, |
огра |
|||
ничение на которой |
формы f |
эквивалентно |
g. В |
силу |
принципа перехода от локального к глобальному это достаточно проверить над каждым из полей /<У Для не архимедовых нормирований ь это вытекает из предполо жения п ^ 5. Небольшое дополнительное рассуждение показывает, что это верно также и для архимедовых нормирований.
Доказательство теоремы С) намного сложнее. Оно со стоит из двух частей. Сначала для произвольного нор мального делителя N группы fin, не содержащегося в ее центре, доказывается, что
I) N содержит нормальный делитель группы Оп, не содержащийся в ее центре.
Сэтой целью доказывается, прежде всего, что
1)N содержит плоское вращение, отличное or 1. В са мом деле, пусть u ^ N — элемент, не лежащий в центре
группы fi„. |
Тогда существует |
такая плоскость Т, что |
|
и( Т) -- Т. Пусть t — вращение плоскости Т, |
принадлежа |
||
щее группе |
fin. Тогда преобразование ѵ = |
t~häu4 при |
|
надлежит N, отлично от 1 и оставляет неподвижными |
|||
векторы из |
подпространства |
V размерности ^ п — 4. |
|
Пусть х е V, у ортогонален к V и s — вращение плоско сти S = Кх -j- Ку, принадлежащее группе fin и такое, что s2^ 1. Тогда ш — s-'uso'1 будет искомым плоским вра щением.
§ 12. Унитарные и ортогональные группы |
117 |
Пусть W — плоскость вращения w. Предположим сна чала, что для всякого вещественного нормирования р
форма |
и ее ограничение на подпространстве W0, орто |
||||
гональном к W, либо |
обе имеют индексы 0, либо обе |
||||
имеют положительный |
индекс. Тогда теоремы А) и В), |
||||
примененные к W0 и к Кп, показывают, что |
On(K,f) — |
||||
— ß n (/С,/)On-2 (K,g), |
где g — ограничение формы f |
на |
|||
\Ѵа, и, |
значит, всякое |
преобразование |
вида |
sws~l, |
где |
s е 0„, |
представляется |
также в виде |
twt~\ |
где |
|
Отсюда следует, что нормальный делитель группы Оп, порожденный w, удовлетворяет требованиям предложе ния I.
Если вращение w не удовлетворяет предыдущему условию, то можно построить другое плоское вращение и е N, которое ему удовлетворяет. Для этого рассмотрим 3-мерное подпространство V, содержащее W. Пусть /г — ограничение формы f на V. Рассмотрим вещественные нормирования р, для которых форма fp имеет положи тельный индекс. Легко видеть, что для каждого такого нормирования в пространстве V <8 кКр, существует плос
кость Up, ортогональное дополнение U°p к которой в про
странстве Кр содержит изотропные векторы. Пусть Up — вращение плоскости Up, отличное от 1. Из простоты
группы Оз" (R, /гр) = йз(Я, hp) вытекает, что Up разла гается в произведение элементов вида sws~4w~lt~l, где s и t принадлежат Пз(Я,hp), поскольку эти произведения образуют нормальный делитель группы Q3(R, hp), не рав ный единице. Пусть р, ( 1 < л - < т ) — рассматриваемые вещественные нормирования. Тогда при любом і элемент Up. может быть представлен в виде
Up. = Si\WSTl'tnW~ltTll . . . SikWS~ktikW~'tTk,
с одним и тем оке k (поскольку всегда можно взять не сколько из элементов s^, іц равными 1), причем Sij и f,-j
принадлежат Q3 (R, /гі>г)при 1 ^ |
^ k. Затем можно ис |
|||
пользовать следующую аппроксимационную лемму. |
||||
2) |
Пусть заданы конечное |
число |
нормирований рг- |
|
(1 ^ |
і ^ ш) |
поля К и для каждого і элемент щ группы |
||
Оф(Дѵ fpj |
(соответственно Q„(A^, />)). |
Тогда суще |
||
118 |
Гл. II. Структура классических групп |
ствует |
последовательность (vW) элементов группы |
O t (К, f) (соответственно Q„ (/<, f)), которая при каждом і сходится к Ѵі в группе
Эта лемма легко выводится из обычной аппроксима ционной теоремы для поля К с помощью представления преобразований щ в виде произведения отражений.
Возвращаясь к доказательству утверждения I, приме
ним лемму 2) |
к элементам s,-j и іц при каждом /. |
Тогда |
мы получим |
элемент u ^ N f]Q3(K,h), сколь |
угодно |
близкий к элементу щ в группе Q3 (R, /гР.) при 1 |
<; г ^ |
|
ш. Легко видеть, что при этом можно добиться того, чтобы элемент и удовлетворял нашим требованиям.
Таким образом, можно предполагать, что N — нор мальный делитель в группе Оп. Точнее, нужно доказать следующее утверждение.
II) Всякий нормальный делитель N группы Оп, не со держащийся в ее центре, но содержащийся в группе совпадает с Qn.
Говорят, что гиперплоскость Я пространства Кп уни версальна, если образы Я и Кп при отображении х —>■
—*f(x,x) одинаковы. В силу принципа перехода от ло кального к глобальному это условие при п ^ 5 равно
сильно тому, что если а — вектор, ортогональный |
к Я, то |
||
/у (а ,а )> 0 (соответственно < |
0) |
для всякого |
такого |
вещественного нормирования |
что сигнатура формы |
||
равна { п— 1, 1) (соответственно |
(I, п — 1)). Справед |
||
ливо следующее утверждение: |
|
|
|
3)Группа Qn порождается произведениями отраже
ний |
s t ' s |
s.s~l, для которых гиперплоскость, ортогоналъ- |
|
|
х |
у х у |
|
ная к X, универсальна. |
|||
Достаточно (§ 6, п. 4) показать, что всякое произведе |
|||
ние |
и = |
s~ltst~l |
(s и t — отражения) представляется в |
виде |
s~ls sxs~ \ |
где х удовлетворяет условию нашего ут |
|
верждения. Преобразование и является плоским враще нием. В его плоскости имеется вектор х, ортогональный к некоторой универсальной гиперплоскости. Это следует из предыдущей характеризации таких векторов и из ап проксимационной теоремы для поля К■ Тогда и = sxsz, причем можно считать, что f(x,x) — f(z,z), поскольку спинорная норма и равна 1. Пусть sv ~ отражение, пере
§ 12. Унитарные и ортогональные группы |
119 |
ставляющее х и z. Тогда и — s~[s sxs~ \ что и требова
лось доказать.
Таким образом, достаточно доказать, что образующие группы Йп, рассмотренные в лемме 3, принадлежат N. Это вытекает из следующей леммы:
4) Если а и b — два таких вектора пространства Кп, что a=/=±b, f(a,a) = f(b,b), и если гиперплоскость Н отражения, переставляющего а и Ь, универсальна, то су ществует такой элемент t е N, что t (a) — b.
Действительно, предположим, что эта лемма дока зана. В обозначениях леммы 3 ограничимся случаем,
когда |
эх( у ) ф ± у |
(иначе s~ls s xs~l = |
1), и применим |
лемму |
4 к векторам |
у и sx(y). Тогда |
получим sx(y) = |
— t (у) , где t^. N. |
Преобразование t~lsx = u перестано |
вочно С Sy, так ЧТО |
Sx'sySxSy 1= U ~ l (t~lSytSy ') и €= N. |
Лемма 4) будет вытекать из следующей леммы:
5) В предположениях леммы 4 существуют такие эле менты u ^ N и с ^ К п, что f(c,c) = f{a,a), f(a,c) = = f (b, с) = f (а, и (а)).
В |
самом деле, тогда в силу теоремы Витта сущест |
|||
вуют |
такие |
преобразования v, w из |
Оп, |
что ѵ(а) — а, |
ѵ(и(а)) = с, |
w( a) — b, w(u(a)) = c |
и |
элемент t — |
|
—(ошиН)-1 (vuv-]) удовлетворяет требованиям леммы 4). Доказательство самой леммы 5) разбивается на не
сколько этапов. |
преобразование ѵ е |
й „ , что |
6) Существует такое |
||
ѵ ( а ) ^ Н (т.е. f(a,v(a)) = |
f(b,v(a))) и ѵ(а) |
не лежит |
в плоскости Р — Ка \- КЬ. |
|
|
В силу предположения относительно Н существует
такой |
вектор е е Я , что |
f{e,e) = f(a,a), |
и по теореме |
|
Витта |
существует такое |
преобразование |
щ е |
Оп, что |
Ѵі(а) = |
е. Умножив Ѵ\ в случае необходимости |
на отра |
||
жение относительно Н, можно считать, что щ е Ot - Обо значим через g ограничение формы f на Я. Из предполо жения об универсальности Я вытекает, что группы спи норных норм для f и для g одинаковы. Следовательно, существует такое преобразование v2^ On-i(K,g), что ѵ2ѵ, е О ' ( Я , f) = Qn(K, f) (в силу теоремы В)), если рас
сматривать ѵ2 как элемент группы On(K,f), считая, что оно тождественно на векторах, ортогональных к Ң,