Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

126 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

Рис. 2.

исходя из данных элементов а, ß тела К, получить эле­ менты а + ß и aß как абсциссы точек прямой віК.

== + iltr и (Е'П)СТ= Істг)а. Иначе говоря, а — изомор­ физм тела К на тело К'. Далее, поскольку прямая, со­ единяющая точки еі| и е2£ в пространстве L, параллель­

на прямой, соединяющей точки <?і и <?2, то g(e

параллельно прямым е2 и ßi соответственно1). Следова­ тельно, g(eia + e2ß) = в\аа + e2ßai так что g — полули-*)

*) То есть прямым, проведенным через 0 и е2 и через 0 я ррответственно. — Прим, перев,

128 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

и W2r — различные р-мерные многообразия. Тогда

Ф(V)czWi П откуда и вытекает доказываемое утверж­

дение.

При Е = Е' предыдущие теоремы дают геометриче­ скую характеризацию коллинеаций пространства Е, т. е. элементов группы РГЬп(К). Они, очевидно, неверны при п = 2 1). В этом случае коллинеации (или корреляции) можно охарактеризовать как отображения, сохраняю­ щие двойные отношения, равные какому-либо элементу центра тела К, отличному от 0 и 1 и инвариантному от­ носительно соответствующего автоморфизма (или анти­ автоморфизма). См. по этому поводу Анкочеа [1], Хуа

[7], Бэр [3], стр. 78—93.

При п ^ З основная теорема дает также характери­ зацию корреляций, если взять в качестве Е' простран­ ство Е*, дуальное к Е.

§ 2 . П р е о б р а з о в а н и я , с о х р а н я ю щ и е « с о с е д с т в о »

I.Преобразования грассманианов

Вобозначениях § і пусть Gr(E) — множество г-мер- ных проективных линейных многообразий пространства

Р(Е) (0 ^ г ^ /1 — 1). Тогда Go(E) — Р (£ ); при г > О

множество Gr{E) называется грассманианом индекса г

пространства Е. Всякое биективное полулинейное ото­

деляет биективное отображение «г множества Gr(E) на

’) Точнее, теорема 1) неверна, а теорема 2) бессодержательна,—

Прим, перев.

ство, образованное линейными формами, обращаю­ щимися в 0 на W. Это левое векторное пространство над К, или правое векторное пространство над К0, размер­ ности п/2, Множество P(W') будет г-мерным проектив­

зацию отображений йти сог при г ф О, подобную той, ка­ кую дает основная теорема проективной геометрии для отображений й0. С этой целью вводится понятие откло­ нения двух многообразий Vi, Ѵг, принадлежащих Gr{E).

Ѵі и Ѵ2, имеет размерность г -j- t. Два г-мерных линей­ ных многообразия Ѵі, Ѵ2 называются соседними, если их

отклонение равно 1. Отклонение двух линейных много­ образий Ѵі е Gr(E), V2 е Gr(E) может быть определено

также как наименьшее целое число t, для которого су­

Это последнее замечание показывает, что если ср — биективное отображение множества GT(E) на GT{E'), то ф сохраняет отклонение любых двух многообразий тог­ да и только тогда, когда ср и qr1 преобразуют любые два соседних многообразия в соседние многообразия. Иско­ мая характеризация отображений йтдается следующей теоремой (Чоу [1]).

При п ^ З и 0 < г с п — 2 всякое биективное ото­ бражение ф множества Gr(E) на множество GT{E'), со­ храняющее отклонение любых двух многообразий, яв­ ляется отображением вида йг, где и — биективное полу­ линейное отображение пространства Е на пространство

бЖ . Дьёдонн«