Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

130 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

Мы ограничимся тем, что наметим в общих чертах доказательство этой теоремы.

a) В Gr(E) рассматриваются максимальные подмно­ жества, состоящие из попарно соседних многообразий. Доказывается, что всякое такое множество состоит либо из всех /'-мерных линейных многообразий, содержащих некоторое (г — 1)-мерное линейное многообразие (мно­ жество первого типа), либо из всех /'-мерных линейных многообразий, содержащихся в некотором (г + ^-мер­ ном линейном многообразии (множество второго типа).

b) Образ при отображении ф максимального множе­ ства первого типа есть максимальное множество в Gr(E'), которое априори может быть первого или вто­ рого типа. Но если для какого-нибудь одного макси­ мального множества ЭЛ первого типа ф(9Л) есть множе­

ство первого типа, то образ при отображении ф любого другого максимального множества ЭЛі первого типа есть также множество первого типа. Доказательство этого утверждения сводится к случаю, когда ЭЛ и ЭЛі соответ­

ствуют соседним ( г — 1)-мерным линейным многообра­ зиям. В этом случае достаточно заметить, что пересече­ ние ЭЛ П 9Лі содержит только один элемент, в то время

как пересечение максимального множества первого типа и максимального множества второго типа, если оно не пусто, содержит не менее двух элементов.

c)Ввиду описания максимальных множеств, данного

вп. а), из п. Ь) получаем биективное отображение фі

ных) линейных многообразия являются соседними тог­ да и только тогда, когда соответствующие им макси­ мальные множества имеют общий элемент, то отображе­ ния ф, и ф]-1 преобразуют соседние многообразия в со­

ных линейных многообразий не превосходит г, в то время как два (г + 1)-мерных линейных многообразия могут иметь отклонение г + 1 . Аналогично, если

132 Гл. III. Геометрическая характеризация классических_ групп

тивное преобразование cp мнозісества Nr(E), обладающее тем свойством, что ср и ср-1 преобразуют любые два сосед­ них многообразия в соседние, имеет вид йт, где и — не­ которое полуподобие.

Свойства вполне изотропных подпространств (гл. I, §11) позволяют, прежде всего, доказать следующие две леммы.

a) Пусть Ѵі, Ѵ2— два вполне изотропных многообра­

зия одинаковой размерности s <1 г. Тогда существуют два вполне изотропных многообразия U?i, W2 макси­ мальной размерности г, такие, что VtciW7,, Ѵ2а W2 и

W, П W 2 = 1/, fl Ѵъ

b) Пусть Ѵі, Уг — Два вполне изотропных многообра­ зия одинаковой размерности s ^ г, и пусть s — і — раз­

мерность их пересечения. Тогда существует такая конеч­ ная последовательность (Wk)l<k<t+i вполне изотропных многообразий размерности s, что Wi = 1Л, Wt+l = Ѵ2 и

многообразия IT's, 1Т’А+( являются соседними при 1 г£С

<k ^ t.

Далее, как и в § 2 , рассматриваются максимальные

множества попарно соседних г-мерных вполне изотроп­ ных многообразий. Последовательно проверяются сле­ дующие свойства:

c) Всякое максимальное множество есть множество всех вполне изотропных многообразий, содержащих не­ которое вполне изотропное многообразие размерности

Г — 1 .

с1).Так как преобразование ср, а также <р-1 переводит всякое максимальное множество в максимальное мно­ жество, то, ввиду с),' возникает биективное преобразо­ вание фі множества ЛД-1 (£) вполне изотропных многооб­

разий размерности г — 1. Используя а), можно показать, что ф, и ф,~1 переводят любые два соседних многообра­

зия в соседние и что (г — 1)-мерные вполне изотроп­ ные многообразия, содержащиеся в г-мерном вполне изотропном многообразии V, при преобразовании фі переходят в (г — 1)-мерные, вполне изотропные много­ образия, содержащиеся в ф(У).

биективное преобразование g — ср7 множества Мо(Е)

изотропных точек пространства Р(Е). Это преобразова­

г ^ 2 позволяет тогда применить основную теорему проективной геометрии (§1) . Это дает следующее свой­ ство преобразования g: если V = P(W) есть г-мерное вполне изотропное многообразие и ср(К) = P(W'), то ограничение g на V имеет вид âw, где uw — биективное

полулинейное отображение пространства W на простран­ ство W. Кроме того, для всех V е NT{E) автоморфизм тела К, соответствующий отображению uw, один и тот же с точностью до внутреннего автоморфизма и, следо­

них многообразий ІЛ, Кг, а затем применяется Ь). Если п четно и форма f знакопеременная, то No{E) =

= Р{Е) и g есть тогда биективное преобразование пространства Р(Е), преобразующее любые две ортого­

разована точками, ортогональными к одной из ее точек, то преобразование g переводит гиперплоскости в гипер­ плоскости. Основная теорема проективной геометрии показывает тогда, что g = Гі, где и — полулинейное пре­ образование пространства Е. Выбрав в Е симплектический базис и записав условие того, что и преобразует ортогональные векторы в ортогональные, легко пока­

нейное многообразие, которое ими порождается. Можно показать, что существует такое биективное полулиней­ ное отображение ѵо пространства 1К0.на (2т -f 2) -мерное

134 Гл. Ul. Геометрическая характеризация классических групп

зуется тот факт, что изотропная, но не вполне изотроп­ ная прямая характеризуется тем, что она содержит только одну изотропную точку и, следовательно, перехо­ дит при преобразовании й в прямую того же типа.

же размерности, что и Е, и /' — эрмитова или косоэрми­ това невырожденная полуторалинейная форма на Е'У^Е', имеющая тот же индекс г + 1, что и /. Вместо сохраняющих соседство биективных отображений мно­

странств Е, Е' изоморфны и что ф = йт, где и — такое биективное полулинейное отображение пространства Е

2) Предыдущие рассуждения легко распространяют­ ся на случай, когда характеристика тела К равна 2, а в пространстве Е задана недефектная квадратичная фор­ ма Q индекса г + 1 ^ 1 . Будем называть особыми про­