ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 0
§ 3. Преобразования, сохраняющие <соседство» |
135 |
|||
ективные линейные |
многообразия |
V — P(W) простран |
||
ства. Р(Е), |
для которых W — особое подпространство |
в |
||
Е (относительно формы Q). Обозначим через NS(E) |
||||
множество |
особых |
многообразий |
размерности s ^ |
г. |
Тогда теорема, сформулированная в начале этого па раграфа, остается справедливой, а ее доказательство — неизменным, с точностью до того, что нужно повсюду
заменить вполне |
изотропные |
многообразия на особые |
||||||||
(Дьёдонне [8]). |
доказанная выше при условии г ^ |
2, не |
||||||||
3) |
Теорема, |
|||||||||
верна |
при |
г = |
0, поскольку |
тогда |
любые два |
элемента |
||||
из |
Nr(E) |
будут |
соседними. |
Она |
также неверна |
при |
||||
г = |
1, |
п — 4, |
когда К |
коммутативно и / — симметрич |
||||||
ная |
билинейная |
форма. |
Это следует из того, |
что |
мно |
|||||
жество NT (Е) |
является тогда объединением двух таких |
|||||||||
подмножеств N t |
и N7, что два многообразия, |
принадле |
||||||||
жащие одному из них, никогда не являются соседними,
в |
то время как многообразие из |
Nt и |
многообразие |
||
из |
N7 — всегда соседние |
(классические свойства |
«пря |
||
молинейных образующих» |
квадрик; |
см. § |
6 гл. II |
и § 4 |
|
этой главы). Всякое преобразование ср, переставляющее произвольным образом элементы множества Nt , с од
ной стороны, и элементы множества N7 — с другой, удовлетворяет условию теоремы. Неизвестно, справед лива ли теорема в других случаях, когда г = 1.
4) Из результатов Чоу вытекают как частные случаи многочисленные теоремы, доказанные ранее Хуа [1], [2], [4], [6] и выраженные на языке теории матриц. Рассмот рим, например, случай, когда пространство Е имеет чет ную размерность 2т, а форма f знакопеременна (и, зна чит, тело К коммутативно).- Пусть (ег)1<г<2т— симп-
лектический базис пространства Е относительно формы /. Используя обозначения Хуа, сопоставим каждому век тору пространства Е строку из его 2т координат в ба зисе (ер). Для т векторов Zi, . . . , zm матрицу, составлен
ную из |
соответствующих |
им строк, |
запишем в виде |
||
(X, У), |
где X и У — квадратные матрицы |
порядка т. |
|||
Если г\, . . . , |
z'm— другие |
т векторов |
и (X', Y') — соот |
||
ветствующая |
матрица, то |
непосредственно |
проверяется, |
||
136 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
что матрица |
(f(zp z')) |
равна |
|
|
||
F(X, |
У, |
X', Y') = |
(X, |
У)( |
° |
|
|
|
|
|
\ |
* m |
|
Следовательно, |
условие |
«f(zuZj) = 0 для всех |
і, /» мо |
|||
жет быть записано в виде |
|
|
|
|||
|
|
F (X, |
Y, X, У) = |
0. |
(1) |
|
При этом, для |
того чтобы |
вполне |
изотропное |
подпро |
||
странство W, порожденное векторами Zu имело размер ность пг, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы (X, К) равнялся /п. Пару (X, Y) квадратных матриц по рядка пг, удовлетворяющую этим условиям, Хуа назы вает симметричной парой. Это название объясняется тем, что если, например, матрица У обратима, то усло
вие (1) |
может |
быть записано в |
виде (У_1Х) = ((У-*Х) |
||
и означает, таким образом, что матрица Z = |
У~*Х сим |
||||
метрична. Для |
того чтобы |
две |
симметричные пары |
||
(X, У) и |
(Хі, У[) определяли |
одно и то же вполне изо |
|||
тропное |
подпространство W, |
необходимо и |
достаточно, |
||
чтобы существовала такая обратимая квадратная мат
рица Q порядка пг, что (Хь Уі) = Q ( X , У). В |
случае |
||
когда |
матрицы |
У и Уі обратимы, это означает, что |
|
УГІХі = |
У~ІХ. |
Множество Nm-i(E) может быть, |
таким |
образом, отождествлено с множеством классов симмет ричных пар относительно указанного выше отношения эквивалентности или с множеством симметричных мат риц порядка пг, пополненным «бесконечно удаленными» элементами (соответствующими симметричным парам, в которых матрица У необратима). Далее, показывает
ся, |
что |
отклонение двух многообразий |
V = |
P(W), |
|||
Vi = |
P(W1), |
соответствующих |
симметричным |
парам |
|||
(X, У), |
(Хь Уі), равно |
рангу |
квадратной |
матрицы |
|||
F(X, У, Хи Уі) |
(или, в случае когда матрицы |
У и У, об |
|||||
ратимы, |
рангу |
разности |
Zi — Z |
соответствующих сим |
|||
метричных матриц). В этих терминах легко интерпрети ровать теорему Чоу. Интересно отметить, что преобразо
вание ср записывается в |
«неоднородных координатах» |
в виде |
|
Z -* а (AZ0+ |
В) (CZ° + £>)"', |
§ 4. Преобразования, сохраняющие <гсоседство» |
137 |
где а е /(, а квадратные матрицы А, В, С, D удовлетво ряют условиям
А - ‘В = В - ‘А, С •'£> = £>-'C, A ' D — B ■ІС = І.
§ 4. Преобразования, сохраняющие «соседство»
II. Преобразования пространств изотропных многообразий (продолжение)
В обозначениях § 3 предположим, что К — поле ха
рактеристики Ф2, |
f — симметричная билинейная форма, |
п четно и г равно |
своему максимальному возможному |
значению (л — 2)/2. В § 6 гл. II было указано, что мно жество Nr(E) распадается тогда на два класса тран
зитивности Nr |
(Е), |
N7 {Е) относительно группы |
вра |
|
щений On (К, /) |
(или, точнее, ее образа в проективной |
|||
группе). |
При |
этом |
многообразия Vi ^ N r{E), |
Ѵ2 ^ |
е Nr{E) |
принадлежат одному классу транзитивности |
|||
тогда и только тогда, когда dim(Kt П Ѵ2) = г — 2k (k целое). В этом случае будем говорить, что многооб
разия Ѵі и Ѵі |
соседние, если k = |
1, т. е. dim(Ki П Ѵ2) = |
|
= г — 2. При |
таком определении справедлива следую |
||
щая теорема |
(Чоу [1]): |
|
|
При г ^ |
4 всякое биективное преобразование ср мно |
||
жества N t (Е), |
такое, что ср и ср-1 преобразуют любые |
||
два соседних |
многообразия в соседние, имеет вид йг, |
||
где и — полуподобие. |
|
||
Для доказательства так-же, как и выше, рассматри |
|||
ваются максимальные множества |
попарно соседних ли |
||
нейных многообразий в N t (Е). Последовательно уста навливаются следующие свойства:
а) Всякое максимальное множество образовано либо многообразиями из Nt (Е), имеющими ( г — 1)-мерное
пересечение с некоторым многообразием из N7 {Е) (множество первого типа), либо многообразиями из
Nt (Е), содержащими некоторое (г — 3)-мерное вполне изотропное многообразие (множество второго типа).
138 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
b) Максимальное множество первого типа при пре образовании ер переходит в максимальное множество, которое априори может быть либо первого, либо вто рого типа. Однако если для какого-нибудь одного мак симального множества Ші первого типа ф(9Л) есть мно
жество первого типа, то это верно и для любого дру гого максимального множества первого типа.
c) Если г ^ 4, то образ максимального множества первого типа не может быть множеством второго типа. Отсюда выводится, что преобразование ф может быть
продолжено до преобразования всего множества Nr(E), удовлетворяющего условиям теоремы § 3. Применение этой теоремы завершает доказательство.
Следующие соображения позволяют описать полуподобия и, для которых йг сохраняет множество Nt (Е). Легко видеть, что если V е N t (Е), то существует полуподобие V с тем же множителем и автоморфизмом, что и и, относительного которого V инвариантно. Тогда ѵ~1и есть ортогональное преобразование, переводящее V в
другое многообразие из N t (Е) и, значит, являющееся
вращением.
Замечания. 1) Предыдущий результат можно распро странить на случай, когда рассматриваются два различ
ных пространства Е, |
Е' и отображение |
ф множества |
|
N t (Е) |
на множество |
N t (E') (см. § 3). |
Q — недефект- |
2) |
Если К — поле |
характеристики 2, |
|
иая квадратичная форма максимального индекса на Е,
то множество Nr(E) |
также |
распадается на два |
класса |
транзитивности |
(Е), N t |
(Е) относительно |
группы |
вращений Ot (К, Q) (гл. II, § 10). Предыдущие резуль таты переносятся без изменений на преобразования мно
жества |
Nt {Е). |
и г — 2 теорема Чоу неверна, |
|
3) При /■= 1 |
посколь |
||
ку тогда |
любые |
два многообразия из N t (Е) |
соседние. |
Случай г — 3 также исключительный. В этом случае из теории «тройственности» (Шевалле [1], гл. IV) вытекает
существование биективного отображения |
множества |
N7 (Е) на множество N0(E), преобразующего любые два |
|
соседних многообразия в две ортогональные |
изотропные |
§ 4. Преобразования, сохраняющие «соседство* |
139 |
точки. При помощи этого отображения определяется би ективное преобразование фо множества N3 (Е), перево
дящее всякое максимальное множество первого типа в максимальное множество второго типа. Отсюда немед ленно вытекает, что всякое преобразование ф, удовлет воряющее условиям теоремы, есть либо преобразование вида «г, либо преобразование вида ф0«г.
4) Переводя теорему этого параграфа на язык мат риц, получаем на этот раз теорему о множестве косо симметричных матриц, пополненном подходящим обра зом бесконечно удаленными элементами.
5) Если К — поле характеристики ф2, то грассманианы Gr(E), пространства Nt (Е) при п — 2г + 2 в
случае симметричной формы f и пространства Nr(E) во всех остальных случаях являются неособыми неприво димыми алгебраическими многообразиями, которые мо гут быть погружены в проективное пространство S. Чоу
[1] доказал, что все бирегулярные бирациональные пре образования этих многообразий индуцируются преобра
зованиями из GL(E), за исключением Nt (Е). Идея до казательства состоит в том, чтобы перевести понятия «соседства», введенные в § 2—4, на язык геометрии пространства S. А именно, две точки из Gr(E) или Nr{E) будут соседними тогда и только тогда, когда пря мая, соединяющая их в пространстве S, целиком лежит в Gr(E) (соответственно в Nr(E))\ две точки из N' (Е) будут соседними тогда и только тогда, когда они лежат на плоской кривой 2-го порядка, содержащейся в Nt (Е). После этого все сводится к доказательству
того, что всякое бирегулярное бирациональное преобра зование рассматриваемого многообразия переводит прямую в прямую (соответственно плоскую кривую 2-го порядка — в плоскую кривую 2-го порядка). По следнее проводится при помощи изучения полных ли нейных систем без базисной точки на этих многообра зиях и, в частности, системы, порожденной гиперплос кими сечениями.
В случае когда К — поле комплексных чисел, можно вместо бирегулярных бирациональных преобразований
