Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

140 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

рассматривать биективные аналитические преобразо­ вания. Доказательство проводится аналогично, с за­ меной полных линейных систем на классы гомологий

(Чоу [1]).

§ 5. Другие характеризации классических групп

Пусть К — поле характеристики Ф2, Е — векторное пространство размерности п ^ 2 над К, f(x,y) — невы­ рожденная симметричная билинейная форма на Е. Для того чтобы элемент f(x,x) был квадратом в К при лю­ бом X е Е, необходимо и достаточно, чтобы поле К было

пифагоровым (т. е. чтобы сумма двух квадратов была квадратом) и чтобы существовал такой ортогональный

была квадратом в К, т. е. чтобы поле К было упорядочи­ ваемым. Обычная евклидова геометрия над полем дей­ ствительных чисел служит типичным примером, когда эти условия выполнены. Из этих условий вытекает свойство «свободной подвижности» в пространстве Е, которое можно сформулировать следующим образом.

Пусть К упорядочено. Будем называть і-мерной цепью инцидентных полупространств последовательность определенную, исходя из линейно независи­

торых последний коэффициент Хм неотрицателен. Свой­ ство «свободной подвижности» состоит в том, что при перечисленных выше условиях для любых двух п-мер- ных цепей инцидентных полупространств существует единственное преобразование из группы Оп(Д, /), пре^

образующее первую из этих цепей во вторую. «Пробле­ ма Гельмгольца» заключается в том, чтобы найти все подгруппы группы GL„(K), обладающие свойством сво­ бодной подвижности. Эта проблема неоднократно иссле-

довелась для поля действительных чисел, большей частью инфинитезимальными методами (см. библиогра­ фию у Пиккерта [1]). В наиболее общем виде она была решена Бэром [1], который в предположении, что К — упорядоченное, но не обязательно коммутативное тело, доказал следующую теорему:

Если подгруппа G группы GLn(K) (при п ^ 3) обла­ дает свойством свободной подвижности, то тело К ком­ мутативно и пифагорово, а G есть ортогональная группа Оп(К,П относительно такой анизотропной симметрич­ ной билинейной формы f(x,y), что элемент f(x,x) яв­ ляется квадратом в К при любом

Идея доказательства состоит в том, чтобы, исполь­ зуя свойство свободной подвижности, доказать, что для всякого подпространства 1 / с £ существует единствен­ ная инволюция и е G, для которой V служит положи­ тельным подпространством. Ставя в соответствие под­ пространству V отрицательное подпространство этой ин­ волюции, получаем «отношение ортогональности» между подпространствами пространства Е, которое определяет, в частности, биективное отображение множества прямых

дуальное к Е). Так как это отображение переводит пря­ мые пространства Р(Е) в прямые пространства Р(Е*}, то применима основная теорема проективной геометрии, показывающая, что определенная выше «ортогональ­ ность» совпадает с ортогональностью относительно не­ которой рефлексивной полуторалинейной формы f(x,y) на Е. Эта форма должна быть анизотропной. Кроме того, из свойства свободной подвижности довольно лег­ ко выводится, что любые две прямые пространства Е могут быть преобразованы одна в другую произведе­ нием инволюций, принадлежащих группе G. Более тон­ кое рассуждение показывает, что форма f симметрична и, следовательно, тело К коммутативно и пифагорово. Доказательство заканчивается замечанием, что инволю­ ции из группы О являются ортогональными преобразо­ ваниями относительно формы /'.

142 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

Теорема остается справедливой при п — 2, если предположить, что К — евклидово упорядоченное поле, т. е. что всякий неотрицательный элемент является квад­ ратом в К (Бэр [1]).

Кроме того, Бэр [1] доказал, что свойство, аналогич­

ных групп Оп(К, /), обладающих свойством свободной подвижности. Пример Пиккерта [1], стр. 498, показывает, что это перестает быть верным при п = 2.

Рассматривая проективную группу PGL2(K) над по­ лем К как группу перестановок проективной прямой Рі(/<), Тите [1] получил характеризацию этих групп по­ средством свойств транзитивности. Эти группы трижды транзитивны в том смысле, что для любых двух троек (а, Ь, с) и (a', b', c') различных точек проективной пря­ мой Рі(К) существует ровно одно преобразование из группы, которое переводит а в a', b в b' и с в с'. Одного этого условия недостаточно для характеризации групп PGL2(K), однако в той же работе Титса указаны раз­ личные дополнительные условия, которые вместе с ус­ ловием троекратной транзитивности позволяют ут­ верждать, что рассматриваемая группа изоморфна груп­ пе PGL2(K). Эти условия подсказаны классическими определениями и построениями проективной геометрии. Например, трижды транзитивная группа G перестано­ вок множества Е изоморфна группе PGL2{K), если для всякой пары различных элементов а, b множества Е группа преобразований из G, оставляющих а и Ь на месте, коммутативна. Помимо этого, методы Титса по­ зволили ему найти все конечные трижды транзитивные группы (см. там же). Он распространил затем свои ре­ зультаты на проективные группы PGLn(K) от любого числа переменных над полем К (Тите [2]). Группа G пе­ рестановок множества Е называется почти п-кратно транзитивной, если в множестве Е выделены так назы­ ваемые «реперы», состоящие из п точек и обладающие

изучение этого понятия позволило Титсу охарактеризо­

ся на том факте, что всякий элемент такой группы яв­ ляется произведением двух инволюций. Это немедленно

ман показал, как можно охарактеризовать группы PGLz(K) среди групп, обладающих указанным выше свойством, четырьмя дополнительными условиями, в формулировке которых участвуют только инволюции и их произведения и свойство такого произведения быть или не быть инволюцией. Шмидт [1] и Бахман [1] дали

аналогичные характеризации групп Оз" (К, /), где К — поле характеристики Ф2 и f — форма индекса 0. (Эти группы можно рассматривать как группы движений эллиптической неевклидовой геометрии.) Бэр [2] охарак­ теризовал эти группы множеством других систем усло­ вий, также использующих инволюции. Наиболее замеча­ тельная из них, несомненно, следующая. Каждой группе G поставим в соответствие два множества: Р (множе­ ство «точек») и Н (множество «гиперплоскостей»), каж­ дое из которых находится во взаимно однозначном соот­ ветствии с множеством инволюций в группе G. Далее определяется отношение «точка р принадлежит гипер­ плоскости /г» условием, что ph — инволюция в G (здесь р и h отождествляются с соответствующими элементами группы G). Это позволяет определить понятие «линейной зависимости» в Р: точка р линейно зависит от множе­ ства точек S, если она принадлежит всякой гиперплос­ кости, содержащей все точки из S. Затем определяются «линейные многообразия» в Р как такие подмножества

') Помимо этого свойства, множество «реперов» должно, ко­ нечно, обладать некоторыми свойствами, обеспечивающими его «обильность». — П р и м , ч е р е з .