ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
Приложение |
183 |
технично, причем наиболее труден случай, когда плос кость Р не изотропна. Свойство, на которое в конечном счете опирается автор, состоит в том, что регулярные плоские вращения с данной базисной плоскостью обра зуют коммутативную группу. Если для всякого подмно жества X с= А обозначить через С(Х) его централизатор в А, а через DH обозначить коммутант группы Н, то можно доказать, что для любого плоского вращения и при А ^ 2 группа DCDhC{u) коммутативна. Так как это
свойство чисто групповое, то тем |
же |
свойством |
обла |
|||
дает элемент о(и). В предположении, |
что я ^ 5, |
автор |
||||
выводит отсюда сначала, что а{и) |
есть вращение, под |
|||||
пространство неподвижных точек |
которого |
имеет |
раз |
|||
мерность, |
равную я — 2 |
или одному |
из чисел 0 , |
1 , 2 . |
||
Затем при |
помощи ряда |
довольно |
тонких |
геометриче |
||
ских рассуждений он исключает последние |
три случая |
|||||
(при я ^ 7 и я Ф 8 ) и доказывает, |
что определяемое ав |
|||||
томорфизмом а взаимно |
однозначное |
преобразование |
множества плоскостей пространства Кп обладает обыч ными свойствами инцидентности.
Этот метод интересен тем, что он применим во мно гих других случаях. Например, в ранней работе [2] О’Мира, используя сдвиги, определил при п ^ 3 авто морфизмы групп GLn(A) и SL,i(/l) для произвольного целостного кольца А. Данное в этой работе доказатель ство того, что всякий автоморфизм переводит сдвиги в сдвиги, было длинным и трудным. В работе [6] О’Мира
значительно упростил это доказательство, рассмотрев
упомянутые выше группы как подгруппы |
группы |
||
GLn(K) |
(где К — поле частных кольца А) |
и |
охаракте |
ризовав |
сдвиги, принадлежащие любой |
подгруппе |
|
Д czGLn(K), содержащей «достаточно много» |
сдвигов |
(в том смысле, что для всякой гиперплоскости Н и для
всякой прямой D e / / в группе А имеется |
сдвиг |
вдоль |
|
Н в направлении D), при помощи |
групп |
CDC(u) |
для |
некоторых элементов и е А. |
определить автомор |
||
Аналогичным способом можно |
физмы ортогональных групп над локальными или дедекиндовыми кольцами, а также их «конгруэнц-подгрупп» (О’Мира [5], О’Мира и Цассенхауз [1]) и автоморфизмы
184 |
Прилооісение |
унитарных групп |
над телом характеристики 2 (Джон |
сон [З]).
Упомянем, наконец, другое направление, использую щее гомологии групп и теорию групп Ли (Борель [1]), но охватывающее только подгруппы полупростых веще ственных групп Ли ').
') Абстрактные изоморфизмы изотропных простых алгебраиче ских групп над произвольными полями (в частности, классических групп, соответствующих формам индекса > 1 ) найдены Борелем и Титсом (Вогеі А., Tits J., Homomorfhismes «abstraits» de gronpes algébriques simples, Ann. Math., 97 (1973), 499—571).
Об изоморфизмах классических групп над целостными кольцами см. Hahn A. J., The isomorphisms oi certain subgroups of the isometry groups of reflexive spaces, /, Algebra, 27 (1973), 205—242.— Прим,
перед.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1
Эта библиография совершенно не претендует на полноту в от ношении работ, появившихся до 1935 г. Список этих работ читатель может найти в книге Ваи-дер-Вардеиа [1].
Абе (Abe М.)
1. Projective transformation groups over non-commutative fields, Sijo-Sugaku-Danwakai, 240 (1942).
Алберт (Albert A. A.)
1. Symmetric and alternate malrices in an arbitrary field, I, Trans. Amer. Math. Soc., 43 (1938), 386—436.
Аллен |
(Allen H. |
P.) |
|
1. |
Hermitian |
forms, Trans. Amer. Math. Soc., |
138 (1969), 199—210; |
|
A Algebrar, 10 (1968), 503—515. |
|
|
Анкочеа (Ancochea G.) |
|
||
1. |
Le théorème de von Staudt en géométrie projective quaternio- |
||
nienne, J. |
reine angew. Math., 184 (1942), |
193— 198. |
Артин (Artin E.)
1.The orders of the linear groups, Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955), 355—366;
2.The orders of the classical simple groups, Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955), 455—472.
3. Geometric algebra. |
Interscience Tracts |
n° 3, |
New |
York — Lon |
|
|
don, Interscience Publ., 1957. [Русский перевод: Артин Э., Гео |
||||
|
метрическая алгебра, «Наука», М., 1969.] |
|
|
||
Арф (АН С.) |
|
|
|
|
|
1. |
Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Cha |
||||
|
rakteristik 2, I, J. reine angew. Math., 183 |
(1941), 148— 167. |
|||
Асано, Накаяма (Asano К.., Nakayama T.) |
Math. |
Ann., |
|
||
1. |
Über halblineare |
Transformationen, |
115 (1937), |
||
|
87— 114. |
|
|
|
|
') Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.-?
Прим, перев.
186 |
Список литературы |
Бахман (Bachmann F.)
1.Eine Kennzeichnung der Gruppe der gebrochen-linearen Trans formationen, Math. Ann., 126 (1953), 79—92.
Беге. (Böge S.)
1.Schiefhermitesche Formen über Zahlkörpern und Quaternionenschierkörpern, I. reine angew. Math., 221 (1966), 85— 112.
Биркгоф, фон Нейман (Birkhof! G., von Neumann J.)
1. The logic of quantum mechanics, Ann. of Math., 37 (1936), 823—843.
Болт, Рум, Уолл (Bolt В., Room T. G., Wall G. E.)
1. On (he |
Clifford |
collineation |
transformation and similarity |
group, I, |
FI, J. Auslr. |
Math. Soc., |
2 (1961), 60—96. |
Борель (Borel A.)
1. On the automorphisms of certain subgroups оГ semi-simple Lie groups. Algebraic geometry (Papers presented at the Bombay Colloquium, 1968), Tata Institute оГ fundamental research, 43—73.
Бреннер (Brenner J.)
1. The linear homogeneous group, Ann. of Math., 39 (1938), 472—493.
2. The linear homogeneous group, II, Ann. of Math., 45 (1944), 100— 109.
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Algèbre, |
chap. |
If: Algèbre linéaire. Actual. Scient. et Ind., |
3e ed„ n° |
1236, |
Paris: Hermann, 1962. [Русский перевод: в кни |
ге Бурбаки Н„ |
Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная |
иполилинейная алгебра. Фнзматгиз. М., 1962.]
2.Algèbre, chap. VII: Modules sur les anneaux principaux. Ac tual. Scient. et Ind., n° 1179, Paris: Herman 1952. [Русский
перевод в книге |
Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, фор |
мы, «Наука», М, |
1966.) |
3.Algèbre, chap. IX, Actual. Scient. et Ind., n° 1272, Paris : Her mann, 1959. [Русский перевод там же.]
Бэр (Baer R.)
1.Free mobility and Orthogonality, Trans. Amer. Math. Soc., 68 (1951), 439—460
2.The group of motions of a two-dimensional elliptic geometry, Comp. Math., 9 (1951), 271—288.
3.Linear algebra and projective geometry, New York: Acad. Press, 19—52. [Русский перевод: Бэр P„ Линейная алгебра и про ективная геометрия, ИЛ, М„ 1955.]
Ван-дер-Варден (Van der Waerden В. L.)
1. Gruppen von linearen Transformationen, Berlin: Julius Sprin ger 1935.
Список литературы |
Г87 |
Ван-Дрооге (Van Drooge D. С.) |
forms, Koninkl. Ned. |
1. Spinor theory of quadratic quaternion |
|
Akad. Wetenschap. Proc., Ser. A, 70 (1967), |
487—523. |
Вань (Wan Z.-X., иное написание Wan C.-H.)
1. On the automorphisms of linear groups over a non-commutative
Euclidean |
ring of characteristic |
2, |
Sei. |
Rec., 1 |
(1957), |
5—8. |
|
2. On the commutator subgroup |
of |
the |
unitary |
group, |
Sei. Rec., |
||
4 |
(1960), |
343—348. |
|
|
|
|
|
Вань, Ban (Wan Z.-X., Wang Y.-X.)
1. On the automorphisms of symplectic groups over a field of characteristic 2, Sei. Sinica 12 (1963), 289—315.
Веблен, Яиг (Veblen О., Young J. W.)
1. Projective geometry. 2 vol., 2nd ed., Boston, 1918— 1938.
Вейль (Weil A.)
1. Algebras with involutions and the classical groups, I. Ind. Math. Soc., 24 (1961), 589—623. [Русский перевод: Вейль A.,
Алгебры с инволюциями и классические группы, в сб. «Мате матика», 7 : 4 (1963), 31—55.]
Витт (Witt Е.)
1.Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, I. reine angew. Math., 176 (1937), 31—44.
2.Uber eine Invariante quadratischer Formen mod. 2, J. reine
angew. Math., 193 |
(1954), |
119— |
120. |
|
3. Verschiedene Bemerkungen zur |
Theorie |
des quadratischen For |
||
men über einem |
Körper, |
Centre Beige |
Rech, math., Colloque |
d’Alg. sup. Bruxelles (1957), 245—250.
Витт, Клингенберг (Witt E., Klingenberg W.)
1. Uber die Arfsche Invariante quadratischer Formen mod. 2.
J. reine angew. Math., 193 (1954), 121— 122.
Вольфхардт (Wolffhardt K.)
1.Uber eine Charakterisierung der Determinante, Math. Z., 103 (1968), 259—267.
Воиенбургер |
(Wonenburger M.) |
|||
1. |
Study |
of |
a |
semi-involutive similitude, Rev. Mat. Hisp. Am., |
|
Ser. 4, |
20, |
n° 1 |
(1960). |
2. |
The Clifford |
algebra and the group of similitudes, Catiad. J. |
||
|
Math., |
14 |
(1962), 45—59. |
|
3. |
Study |
of |
certain similitudes, Canad. J. Math., 14 (1962), 60—68. |
4.The automorphisms of the group of simiitudes and some related groups, Amer. J. Math., 84 (1963), 600—614.
5. The automorphisms of P O £ (Q) and P S £ (Q), Amer. J. Math.,
84 (1963), 635—641.
6. The automorphisms of the group of rotations and its projective group corresponding to quadratic forms of any index, Canad. 1. Math., 15 (1963), 302—303.
188 |
Список литературы |
Гётцки (üötzky М.)
1.Über die Erzeugenden der engeren unitären Gruppen, Arch, d. Math., 19 (1968), 383—389.
2.Unverkürztere Produkte und Relationen in unitären Gruppen, Math. 1., 104 (1968), 1— 15.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Pseudo-linear transformations, Ann. of Math., 38 (1937), 484— 507.
2.Normal semi-linear transformations, Amer. J. Math., 61 (1939), 45—58.
3.Theory of rings, Math. Surveys, n°2, New York, 1943. [Русский
|
перевод: |
Джекобсон HL, |
Теория колец, ШТ, |
М., |
1947.] |
|
||
4*. A note on hermilian forms, Bull. Amer. Math. Soc., 46 |
(1950), |
|||||||
|
265—268. |
|
|
|
|
|
|
|
Джонсон (Johnson A. A.) |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Integral |
representations |
of |
hermitian |
forms |
over |
local |
fields, |
|
Bull. Amer. Math. Soc., 72 |
(І966), 118— 121. |
|
|
|
|||
2. |
Integral |
representations |
of |
hermitian |
forms |
over |
local |
fields, |
J.reine angew. Math., 229 (1968), 57—80.
3.The automorphisms of unitary groups over a field of characte ristic 2, Amer. J. Math., 93 (1971), 367—384.
Диксон (Dickson L. E.) |
|
|
|
|
|
|||
1. |
Linear groups, Leipzig: B. G. Teubner, 1901. |
Amer. |
||||||
2. |
Theory of linear groups in an |
arbitrary field, Trans. |
||||||
|
Math. Soc., 2 (1901), 363—394. |
Proc. |
Lond. Math. Soc., 34 |
|||||
3. |
Linear groups in infinite field, |
|||||||
|
(1902), |
185—205. |
|
|
|
|
|
|
Дьёдонне |
(Dieudonné J.) |
|
|
|
|
|||
1. Les |
déterminants |
sur |
un corps |
non |
commutatif, Bull. |
Soc. |
||
|
Math. France, 71 |
(1943), |
27—45. |
|
|
|
2.Compléments â trois articles antcrieurs, Bull. Soc. Math. Fran ce, 74 (1946), 59—68.
3.Sur la réduction canonique des couples de matrices, Bull. Soc.
|
Math. France, 74 (1946), 130— 146. |
|
|
|
|
|
4. |
Sur les groupes classiques, Actual. Scient. et Ind., |
n°1040, |
Pa |
|||
|
ris: Hermann, 1948. |
|
|
|
|
|
5. |
Sur une generalisation du groupe orthogonal |
â |
quatre vari |
|||
|
ables, |
Arch. d. Math., 1 (1949), 282—287. ‘ |
|
|
|
|
6. |
Sur les systèmes maximaux d’involutions conjuguées et per- |
|||||
|
tables dans les groupes projectifs, Summa |
Bras. |
Math., |
2, |
||
7. |
(1950) |
59—94; |
|
|
|
|
On the automorphisms of the classical groups, Memoirs Amer. |
||||||
|
Math. Soc., n°2 (1951), 1—95. |
|
|
|
|
|
8. |
Algebraic homogeneous spaces over fields of |
characterististic |
||||
|
two, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951), 295—304. |
|
|
Ann. |
of |
|
9. |
On the orthogonal groups over the rational |
field, |
||||
|
Math., 54 (1951), 85—93. |
|
|
|
|