Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

178 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

группы 21„. Эти изоморфизмы, открытые Жорданом [1] и Диксоном [1], суть следующие:

1) группа PSL2(F2) изоморфна симметрической груп­

пе <53;

2)группа PSL2(F3) изоморфна знакопеременной

группе !Л4;

3)группы PSL2 (F4) и PSL2(F3) обе изоморфны зна­

копеременной группе Sb;

4)группы P5Z.2 (F7) и PSL3(F2) суть изоморфные

простые группы порядка 168;

5)группа PSL2(F9) изоморфна знакопеременной

группе Л6;

6 ) группа PSLi(F2) изоморфна знакопеременной

простые группы порядка 25920.

Метод, при помощи которого Жордан и Диксон уста­ новили эти изоморфизмы, состоит в том, что в рассмат­ риваемых конечных группах, изоморфизм которых дока­ зывается, выбираются системы образующих, содержащие одинаковое количество элементов и удовлетворяющие одинаковым соотношениям. Можно, однако, получить эти особые изоморфизмы другими методами, которые больше учитывают геометричесую природу рассматри­ ваемых групп (Дьёдонне [18], Эдж [1, 2, 3]).

§ 9. Изоморфизмы классических групп (продолжение)

Естественно поставить вопрос, существуют ли изо­ морфизмы (типовые или особые) между классическими группами, кроме тех, которые описаны в § 8 . Этот во­

прос еще не решен каким-либо определенным образом. Мы укажем здесь основные результаты, полученные в этом направлении.

Прежде всего группы PSLn(K) и PSLm(K') (п ^ 2,

пг ^ 2 ) могут быть изоморфны только при п = ш, за исключением групп PSL2(F7) и PSL3(F2); кроме того, при п — m > 2 изоморфизм возможен, только если тела

К и К' изоморфны или антиизоморфны. Это же верно

Это утверждение было доказано в несколько этапов. Вначале Шрейер и Ван-дер-Варден [1] доказали его для

произвольных тел К и К', за исключением нескольких случаев, которые были разобраны Хуа и Ванем [1].

Следует различать два случая в зависимости от того, конечны тела К и К' или бесконечны. В первом случае метод Шрейера и Ван-дер-Вардена состоит в доказа­ тельстве того, что при п ^ 3 сдвиги могут быть охарак­ теризованы как элементы, отличные от единицы, цент­ рализатор которых имеет максимальный порядок. Метод,

PSLm(K') определяет полулинейное отображение про­ странства Кп на пространство К'т или дуальное к нему; отсюда и получается требуемое заключение. Остается исследовать случай, когда одно из чисел п, т равно 2 .

В этом случае используется тот факт, что в группе PSLZ(K) над конечным полем К централизатор любого элемента, отличного от единицы, разрешим; далее рас­ сматриваются порядки конечных групп, встречающихся

врассуждении.

Вслучае когда оба тела К, К' бесконечны, общим методом является изучение инволюций в рассматривае­ мых группах. Прежде всего тела К и К' должны иметь характеристику, равную 2 или не равную 2 одновремен­

но. Это следует из того, что если характеристика тела К равна 2 , то в группе PSLn(K) существуют бесконечные

системы коммутирующих сопряженных инволюций, в

противоположность случаю, когда характеристика не равна 2. Предположим, что характеристика тел К и К' не равна 2. Рассматривая число элементов в максималь­ ных системах коммутирующих сопряженных инволюций в группе PSLn(K), можно тогда, вообще говоря, дока­ зать, что т = п. Для малых значений т и п в некото­ рых случаях требуются дополнительные рассуждения; наиболее трудный случай, разобранный Хуа и Ванем

7’

180 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп.

[1], — это когда п —2, m = 3. После того как установ­ лено равенство m = п, методы § 6 позволяют при пг —

рассуждения. Наиболее трудные случаи, соответствую­ щие парам (2, 3) и (4, 5), разобраны Хуа и Ванем (см. там ж е).

Что касается симплектических групп, можно дока­ зать, что группы PSp2m(K) и PSp2n(K') могут быть изо­

(Дьёдонпе [7], стр. 39—41). Для доказательства так же, как и выше, изучаются централизаторы инволюций в рассматриваемых группах.

Возможные изоморфизмы между классической груп­

найдены. Однако это может быть сделано полностью в случае конечного поля /(. При помощи арифметического изучения формул для порядков классических групп над конечными полями Артин [!, 2] показал, что конечные

различные порядки, за исключением пар, для которых

порядков заметил Диксон [1], который доказал, что две такие группы не изоморфны (см. там же); другое дока­ зательство см. у Дьёдонпе [7], стр. 73—-74. Таким обра­ зом, между рассматриваемыми простыми конечными

группами нет никаких изоморфизмов, кроме изоморфиз­ мов (типовых и особых), указанных в § 8 . Можно так­

же заключить, что для групп вида PQn(K,f), где f —

форма индекса > [(« — 2 )/2], и PUt (К, f), где f — фор­ ма индекса [п/2], нет других типовых изоморфизмов, кроме указанных в § 8 , поскольку такой изоморфизм

должен был бы тогда существовать и для конечных групп этих типов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Методы, использовавшиеся в § 1—7 гл. IV, основы­ ваются главным образом на изучении инволюций в рас­ сматриваемых группах; это предполагает, с одной сторо­ ны, что в группе имеется «достаточно много» инволюций и, с другой стороны, что известно их явное описание. В 1967 г. О’Мира [4] придумал совершенно новый метод, не использующий инволюций и позволяющий разрешать многочисленные вопросы, не поддававшиеся решению прежними методами. А именно, в работе [4] О’Мира на­

для некоторых полей может случиться, что в группе Q„ нет ни одной инволюции, отличной от 1 , так что его

результат не может быть получен прежними мето­ дами.

Основная идея этой работы состоит в рассмотрении

образование из группы Д, подпространство Р неподвиж­ ных точек которого имеет размерность п — 2 , причем мо­

жет быть изотропным; вращение называется регуляр­ ным, если это подпространство не изотропно; в любом случае плоскость R, ортогональная к Р, называется ба­ зисной плоскостью вращения. Цель состоит в том, что­ бы доказать, что автоморфизм а группы Д индуцирует перестановку плоскостей пространства Кп с обычными свойствами инцидентности, позволяющими применить, как в § 1—7, основную теорему проективной геометрии. Для этого доказывается, что всякая плоскость R яв­ ляется базисной плоскостью некоторого плоского враще­ ния, принадлежащего группе А и преобразуемого авто­ морфизмом о в плоское вращение. Доказательство очень