Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Скачать файл (6,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8. Изоморфизмы классических групп

173

над К, соответствующее паре (—ajai, —af). Его можно рассматривать как 2-мерное правое векторное простран ство над Кі, базис которого составляют единица и такой элемент р, что р2 = —аі и £р = р£ для любого £ е Кі- Рассмотрим на пространстве 1% косоэрмитову форму

g(z,	z) = gfg0—			индекса 1, на этот раз относительно
инволюции J первого рода,					определенной			так,		чтобы
clP = —со, pJ =		р (инволюция типа I в классификации § 5
гл. II). В этих обозначениях имеется изоморфизм груп
пы Т2(Ь, g)/W2 на				группу PQ5(K,f), который строится
следующим образом. Пространство							рассматривает
ся как 4-мерное			векторное пространство F над Кі,								при
этом	если			— канонический базис пространства
Ld,	то векторы		е4, е2, вф,		е2р составляют				базис		про
странства F. Для				каждого	элемента		v ^ T 2(L,g),				рас
сматриваемого		как линейное преобразование							простран
ства	F, строится		матрица преобразования					еА2> в базисе
(еі)і<і<б пространства Е' бивекторов							над F,		составлен
ном из бивекторов
е ( =	е , Л е 2,	е'2= ех/\ е $ , е'г =				( е , Л е2р —		е ,р Л е2) / 2 ,
е4 =	еіР Л е2Р>	е 5 =		е г Л е 2Р>	eg =	( e j Л	е 2р +		е іР Л	е 2) / 2 .

Преобразование о(2> сохраняет подпространство, порож денное бивекторами е\ с номерами і ^ 5, которое ото ждествляется с пространством Е. Элементу ѵ сопостав ляется матрица ограничения преобразования Ы2) на под пространстве Е в базисе (еі)і<*<5- Затем производится

факторизация по центрам.

7)п — 4, f — форма индекса 2. В некотором базисе

пространства Е форма f записывается		в виде f(x,x) =
= 1іІ4 — Ыз = det (X), где	^	‘ Отождествив

пространство Е с пространством матриц 2-го порядка над

К, мы можем построить изоморфизм группы PSL2(K)y(

X PSL2(K) на группу PQ4(K,f)- Для этого каждой паре

(Ui, U2) унимодулярных матриц 2-го порядка на К поставим в соответствие линейное преобразование

174 t л. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп


X —>UiXU2 l			пространства		Е (см.		Дьёдонне [5]);				затем
профакторизуем по центрам.
8)	п =	4,	f — форма	индекса		1.	В	некотором			базисе
форма	f	записывается		в виде		f (х, х) =				— (а2\| \| +
+ а3£з),		где элемент —а3/а2, а				значит,			и дискриминант
А = —Огйз, не является				квадратом				в	К-	Пусть	/(, =
= / ( ( ] / д ) —			квадратичное		расширение					посредством
присоединения к К корня со многочлена а2Х2+ а3.											В этих

обозначениях имеется изоморфизм группы PSL2(Ki) . на

группу PQi(K,f), который строится следующим образом. Пространство К\ отождествляется с пространством


матриц 2-го порядка	над Кі,	и для	каждой матрицы
Ue=SL2(Ki) рассматривается линейное				преобразова
ние этого пространства,		определяемое		формулой
X -* иХ(РПР~1), где	^ =	а- і ] ’	а £ —*■£ — нетож

дественный /(-автоморфизм поля К|. Матрице U сопо ставляется тогда матрица этого линейного преобразо вания в базисе (е!)к (< 1 пространства К\, составленном из векторов

e't — е\> е2 = (сое2 +<?3)/2соа2, е' = (сое2 — е3)/2со, е' = е4,

где (ег)1<і<4— канонический базис этого пространства. Далее производится факторизация по центрам.

9)	п — 3,	f — форма индекса		I. Можно считать, что
в некотором базисе			пространства	Е	форма	/ записы
вается	в виде	f (х,	*) = £,£, — ^ =		det(X),	где Х =
= ( д	). Отождествив пространство				Е с пространством

V S3 52 /

симметричных матриц 2-го порядка над К, мы можем

построить	изоморфизм	группы PSL2(K) на группу
PQ3(K, f). Для этого каждой				матрице	U ^ S L 2(K)	по
ставим в	соответствие		линейное		преобразование
X -+ и Х 1Ь	пространства	Е,	а затем профакторизуем по
центрам.
Некоторые из изложенных				выше	результатов	для

размерностей 5 и 6 могут быть получены рассмотрением алгебр Клиффорда так же, как для размерностей '3 и 4

§ 8. Изоморфизмы классических групп

176

(Эйхлер [2], стр. 33—35, и Шевалле [1], стр. 102— 105).

Среди изоморфизмов, получаемых этими методами (и не указанных в § 9 гл. II) упомянем еще изоморфизм

между ортогональной группой Оз" (К, f), где f — форма индекса 0, и факторгруппой по группе гомотетий группы

прямых унитарных подобий GUz {К\, g), где К і— квад ратичное расширение поля К, а g — эрмитова форма ин декса 0 над Кі.

Для поля К характеристики 2 так же, как и выше, по

лучается гомоморфизм	группы К*	X G L i ( K ) на	группу
GOß (К, Q ) , где Q — недефектная		квадратичная	форма
индекса 3 (гл. I, § 16). Исходя из этого гомоморфизма,
метод Ван-дер-Вардена	с некоторыми естественными

модификациями (например, дискриминант заменяется на псевдодискриминант, определенный в § 10 гл. II) лег ко перенести на поля характеристики 2. Изоморфизмы, получаемые таким способом (для размерностей п — 4 и п = 6), полностью определены Охарой [1].

Рассматривая другие типы полуинволюций в группе rOe(K,f), (где / — форма индекса 3), тем же методом можно получить изоморфизмы для унитарных групп над


обобщенным телом			кватернионов. Пусть L — такое тело
(характеристики ¥=2),				Z — его центр (обязательно бес
конечный) , J — его единственная					инволюция,	множество
инвариантов		которой		совпадает	с Z. Пусть	со — какой-
либо элемент		тела	L,	удовлетворяющий условию coJ =
= —со;	тогда со2 е		Z. Обозначим через К поле Z(co). Из
вестно,	что в L существует такой элемент р, что pJ =

-— р , сор = —рсо, р2 = у е Z. Тело L можно рассмат

ривать как правое векторное пространство над К', при этом элементы 1, р составляют его базис. Для любого

^ е і ( имеем р-1£ р = І	(где \| —>-\|— единственный не
тождественный Z-автоморфизм поля К). Пусть			теперь
Е есть правое я-мерное векторное		пространство	над L
и f — невырожденная	косоэрмитова	форма на	Еу_Е.

Форма f может быть представлена в виде

f (х, У) = fo (х, «о (У)) + pfo (х, у),

где /о — невырожденная симметричная билинейная фор ма на пространстве Е, рассматриваемом как 2/г-мерное

176 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

векторное пространство над К, а и0— полулинейное пре

образование этого пространства (относительно автомор

физма	определяемое равенством u0	(x)	= хр, так
что и^(х) =	ух] при этом fa (u0 (х), иа (у) )	=	—yf0(х, у) .

Группа Un(L,f) интерпретируется тогда как подгруппа группы C>2n(K,fo), образованная преобразованиями,

коммутирующими с ц0 (гл. I,	§ 13). При п = 3 и п = 2
это дает изоморфизмы групп	Un(L,f) на другие класси

ческие группы (Дьёдонне [17]). Ограничимся случаем, когда f — форма индекса 1 , и укажем получаемые при

этом изоморфизмы для групп Tn(L,f) (см. § 4 гл. II).

10)	п = 3. Можно предполагать, что в некотором ба
зисе (ca) 1 < ä < 3		пространства Е (над L) форма / записы
вается	в виде	f{z, z) =	— V2(£(©£, + £ ^ 3 — £&*). Рас
смотрим в пространстве			К1‘ косоэрмитову форму
	g (х,	х) = І 1І2 — І2І1 — ®(ІЗІЗ — ѴІ4І4)

индекса 1. Имеется изоморфизм группы P U t (К, g) на группу Ti (L,f)IWz> который строится следующим обра

зом. Каждому элементу v ^ U t (К , g) ставится в соответ

ствие матрица преобразования о<2> в базисе (е[) про странства бивекторов над К4, определяемом формулами

	е\ = (е, Л е2)/со,		е' = е, Л е3,			е'э =	е, Л е4,
	е 4 ~	e 3 А е 4 ’	е 5 ~ е 2 Л				е 2 ^	е 3>
где		— канонический		базис		пространства			/С4.
При	отождествлении		базиса	(е[)	с	базисом		простран
ства	Е над К, образованном			векторами			c;t и	C/tp (1	^
^ й ^ З ) ,		полученная матрица			естественным			образом

интерпретируется как матрица из ортогональной груп пы, соответствующей форме fо, ассоциированной с фор

мой f указанным выше способом.	Далее производится
факторизация по центрам.
11) п = 2. В некотором базисе пространства Е (над
L) форма f представляется в виде	f(z, z) — — lj2(^ 4 —
— £^£2).Если обозначить через f'	(соответственно через

Е') форму, обозначавшуюся в 10) через / (соответствен но через Е), то группа I/2 (L ,/) может рассматриваться

§ 8. Изоморфизмы классических групп

177

как подгруппа группы Us(L,f'), сохраняющая подпро


странство,	задаваемое уравнением					=	0. Используя го
моморфизм,		описанный		в	1 0 ),	преобразования			из
U2(L,f) можно			отождествить с преобразованиями вида
ци<2) (где	V е		GUi(I\, g ) ) ,		сохраняющими			бивекторы
е\ Л е2, въ Л е,і;			это означает, что			в	пространстве		КА
преобразование			ѵ сохраняет		плоскости		Р' =	Keі -j- Ке2
и Р" = Ке3-)- Ke!t. Пусть				ѵ'	и и" — ограничения преоб
разования V на эти плоскости. Можно доказать, что									в
качестве ѵ'		можно взять		любой элемент из				GL2(Z),	и

тогда преобразование и" должно иметь такой же опреде


литель,	как и ѵ', и принадлежать группе GUt {К, g") (где
g" —	ограничение		формы	g	на Р"),	изоморфной
мультипликативной группе L* отличных от 0 кватернио
нов. Окончательно мы видим, что группа						U2(L,f) изо
морфна факторгруппе подгруппы Г группы L* X							GL2 (Z),
образованной		парами (q,v'), для			которых qqJ =		det(u'),
по подгруппе (изоморфной группе Z*), образованной па
рами	(А, А.),	где	Ä eZ * .	При	таком	представлении

группа T2(L,f) отождествляется с группой PSL2(Z), и ясно, что факторгруппа UzjT2 не коммутативна (выби

рая подходящим образом тело L, можно добиться того, чтобы композиционный ряд группы и 2/Т2 содержал не

коммутативные простые факторы).

Упомянем, наконец, что те же методы позволяют по лучить изоморфизмы для некоторых групп PUi(L,f). В самом деле, такая группа интерпретируется как под

группа группы POg (К,	fQ). Изоморфизмы,	о которых
идет речь, получаются в случае, когда группа		POg (К, /0)
допускает особые автоморфизмы (см. § 7).		Если ср —
такой автоморфизм, он	преобразует группу	PUk{L,f)