Файл: Гусаров А.А. Балансировка гибких роторов с распределенной массой.pdf

реакций в опорах в результате балансировки.

С учетом граничных условий получена система уравнений, решение которой по методу начальных параметров дает значения произвольных постоянных, входящих в уравнения упругой ли­ нии, и определяет величины статических моментов Ъ корректи­ рующих грузов, полностью устраняющих реакции во всех опорах на данной скорости.

Показано далее, что ротор с любым распределением масс и дисбаланса, опирающийся на Ъ подшипников, при помощи п = Ь + к грузов можно полностью отбалансировать на всех ско­ ростях вращения по к формам колебаний, и при заданной скоро­ сти со о устранить динамические реакции во всех опорах.

Рассмотрен также случай, когда после балансировки /с низ­ ших собственных форм в к сечениях многоопориого ротора дина­ мические реакции от высших форм превышают допустимые.

Для повышения качества балансировки необходимо увеличить количество корректирующих грузов с к до п (п > к). При этом возможны два принципиально различных пути использования дополнительных грузов: 1) увеличить число полностью отбаланси­ рованных форм дисбаланса до ?г, 2) не увеличивая числа отбалан­ сированных гармоник, наложить на N = п — к грузов дополни­ тельные условия устранения динамических реакций на' N опорах при некоторой скорости вращения и 0-

Статические моменты N корректирующих грузов определяют­ ся с помощью метода начальных параметров из системы уравнений

рость реакции изменятся, однако если системы уравнений (5.4) и (5.6) удовлетворены, то реакции, обращенные в нуль при со = w0, практически будут малыми в достаточно широком диапазоне скоростей.

Изложенный метод приводит к тем же основным результатам, что и метод Ден-Гартога, однако, в отличие от последнего, он не содержит никаких упрощающих предположений.

104

При решении задачи балансировки гибких многоопорных рото­ ров важную роль играет изучение их изгибных колебаний при критических скоростях. Этой теме посвящена работа X. Томаса [46]. Рассматривая простейший двухмассовый трехопорный ро­ тор без демпфирования, автор показал, что в зависимости от мес­ та расположения дисбаланса, соотношений масс собственных частот н коэффициентов влияния разные критические скорости представляют разную опасность.

В отличие от одномассовых систем опасность критических ско­ ростей многоопорного ротора определяется не только порядком этих скоростей, но и рядом других параметров системы и, в част­ ности, расположением и параметрами наиболее неуравновешен­ ного ротора системы. Это обстоятельство дает возможность на основании анализа частотных характеристик и упругих линий ротора оценить необходимое количество корректирующих грузов, мест измерений вибраций и наметить программу балансировки.

Ни в одной из приведенных выше работ не исследовалась сов­ местность системы уравнений, определяющих уравновешенность гибкого многоопорного ротора. Указывалось лишь, что при ра­ венстве нулю определителя система не имеет решений. Причем не выяснялись причины, приводящие к этому случаю. Решение сис­ темы уравнений зависит не только от равенства нулю ее опреде­ лителя, но и от ряда других факторов. Вопросы совместности ре­ шения системы уравнений, определяющих уравновешенность, и устойчивости решения этой системы исследованы в кандидатской диссертации С. И. Микуниса [47].

Требование равенства нулю векторов колебаний М подшип­ ников (А2, . . ., Ад/) в результате балансировки грузами, уста­

новленными в N сечениях при скорости вращения сор, приводит к системе из М линейных векторных уравнений, связывающих N

іі=і

где амп — коэффициенты влияния, определяющие вектор коле­ баний М-го подшипника при установке единичного груза в ?г-м сечении на скорости сор. В матричной форме эта система будет

105

Решение уравнения (5.7) или (5.8), определяющее величины необходимых корректирующих грузов, в матричной форме имеет

.вид (5.2). Основным оператором уравнения (5.2) является обрат­ ная матрица коэффициентов влияния [а]-1. При балансировке возможны три случая:

Из теории определителей известно, что в первом случае могут быть три варианта. При равенстве нулю определителя матрицы [а] и всех ее миноров порядка р (р < N) система неопределенная и имеет множество решений. Если а = 0, но хотя бы один из ми­ норов матрицы [а] не равен нулю, то система несовместна и решений не имеет. Если | а | =/= 0, то система имеет единственное решение. Во втором случае ранг гь расширенной матрицы системы [5] больше ранга га матрицы [а], система несовместна и решений не имеет. В третьем случае система совместна, но имеет множество решений.

В связи с ограниченностью числа доступных для установки грузов плоскостей у турбоагрегатов и ряда других машин наи­ более распространенным является третий случай (М > N). Мож­ но уменьшить количество уравнений М до величины N, однако это ухудшит качество балансировки, так как при этом не все условия полного уравновешивания будут выполнены. Увеличе­ ние количества корректирующих грузов до числа М потребует увеличения пусков с пробными грузами, что в случае необходимо­ сти выемки роторов из статоров может резко снизить общую эко­ номичность балансировки.

Случай второй легко приводится к третьему путем состав­ ления дополнительных к уравнений (к = N — М), получаемых из условия равенства нулю колебаний тех же N опор на других скоростях вращения (Щ, . . ., сщ, или из условия равенства нулю колебаний в к дополнительных сечениях при той же скорости Юр, или из комбинаций этих требований.

Решение (5.2) для случая третьего имеет ограничение, свя­ занное с требованием, чтобы определитель матрицы [ос] не был равен нулю. Математически это выражается в том, что опреде­ литель не должен содержать тех строк или столбцов, все элемен­ ты которых равны нулю или пропорциональны соответствующим элементам других строк (столбцов). С учетом этих математических признаков технология балансировки должна содержать некото­ рые общие рекомендации, использование которых до начала ба­ лансировки или при определении коэффициентов влияния обес­ печило бы выполнение условия | а | =j= 0. К числу таких рекомен­ даций относятся следующие.

J06

Установка пробного груза в двух различных сечениях ротора не должна давать подобные формы упругой линии ротора или пропорциональные векторы колебаний всех опор, а также при­ водить к кососимметричным формам колебаний, при которых противофазные колебания всех опор будут равны или пропор­ циональны.

При определении коэффициентов влияния и балансировке из рассмотрения должны быть исключены балансировочные сече­ ния, нечувствительные на данной скорости к установленным в них грузам, и опоры, в которых отсутствуют реакции от пробных грузов, установленных во всех N балансировочных плоскостях. Неточность исходных данных, полученных в результате измере­ ний, порождает ошибки в решении, так как изменение коэффи­ циентов системы в пределах заданной точности, вызывает изме­ нение решения.

Условие I ос | ={= О еще не определяет полностью возможность применения решения (5.2) для вычисления с достаточной для практики точностью величин корректирующих грузов. Для обеспечения устойчивости обратной матрицы [ос]-1 необходимо, чтобы прямая матрица [ос] была хорошо обусловленной.

Обратная матрица называется устойчивой, если малым изме­ нениям элементов прямой матрицы соответствуют малые изме­ нения в элементах обратной матрицы. Для устойчивости матрицы [а]-1 необходимо, по крайней мере, чтобы определитель матрицы [ос] был не слишком мал. Однако одна величина определителя не дает полной характеристики обусловленности матрицы. Например, одинаково обусловленные матрицы ;г-го порядка, отличающиеся друг от друга постоянным множителем, имеют определители, от­ личающиеся на и-ю степень множителя. Поэтому величину оп­ ределителя следует сравнивать с n-й степенью наибольшего эле­ мента матрицы.

Рядом авторов предложены различные количественные ха­ рактеристики обусловленности матрицы, вычисление которых связано с определением различных норм или собственных зна­ чений прямой и обратной матриц. В частности, С. И. Микунис [47] использовал для характеристики обусловленности одно из чисел Тюринга, определяемое равенством

ѵ ( [ « ] ) = 4 - ^ ( [ с с ] ) А ( [ а Г 1),

матрицы [а]; N ([се]-1) — ана-

логично определяемая норма обратной матрицы.

Число обусловленности имеет вероятностный смысл, заклю­ чающийся в следующем. Если при рассмотрении системы урав­ нений (5.8) вектор [А] задан точно, а элементы матрицы [а] явля­ ются независимыми случайными величинами со средними зна­

107

чениями оси и одинаковой дисперсией а2 (а2 ^ аіу), то число обус­ ловленности V ([а]) показывает, во сколько раз отношение сред­ неквадратичного ошибок неизвестных корректирующих грузов к среднеквадратичному самих неизвестных превосходит отноше­ ние среднеквадратичного ошибок коэффициентов влияния к сред­ неквадратичному самих коэффициентов.

Инженерные методы балансировки многоопорных роторов

вусловиях электростанций

Впредыдущем разделе рассмотрены работы но теории балан­ сировки многоопорных роторов, показывающие общий путь оп­ ределения неизвестных корректирующих грузов, заключающийся

врешении уравнения (5.2), содержащего результаты измерения вибраций опор и данные о коэффициентах влияния. При этом процесс балансировки многоопорного ротора обычно связан со сравнительно трудоемкими расчетами коэффициентов влияния и

самих корректирующих грузов, которые в большинстве случаев невозможно выполнить без применения ЭЦВМ. Кроме этого, реальные турбоагрегаты имеют ограниченное число доступных для установки корректирующих грузов сечений. Все это приво­ дит к необходимости разработки инженерных методов баланси­ ровки многоопорных роторов, позволяющих значительно сокра­ тить объем вычислительных работ и количество пробных пусков.

Одними из первых работ в этой области являются работы А. С. Гольдина [48, 49], в которых описывается так называемый способ нулевых систем. Способ этот основан на том, что каждый корректирующий груз может рассматриваться и как некоторая система грузов, связанных определенным соотношением. Прос­ тейшими из таких систем являются пары симметричных грузов. При расчетах грузы, образующие систему, умножаются на одни и те же коэффициенты.

За нулевые системы грузов н-го порядка принимаются систе­ мы из п грузов рь, суммарное влияние которых на ряд опор рав­ но нулю. Из п грузов можно составить систему, не влияющую на (п — 1)-й вектор вибрации. Введено понятие полных нулевых сис­ тем грузов — таких нулевых систем, порядок которых равен количеству N используемых балансировочных плоскостей. При равенстве количества учитываемых векторов вибрации А; и коли­ чества балансировочных плоскостей, каждая из N полных нуле­ вых систем грузов влияет только иа один из векторов А*. Единич­ ная нулевая система — это система, в которой первый груз еди­ ничный (рх = 1 ■еі_0). Векторные изменения вибрации, вызывае­ мые единичными нулевыми системами, являются коэффициентами влияния нулевых систем. При балансировке необходимо стре­ миться к ограничению количества рассматриваемых векторов вибрации, что приводит к уменьшению количества корректирую­ щих грузов. Это возможно сделать, учитывая следующее.

108