Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Теперь задача

о п р е д е л ё н н а я

она имеет (самое

большое) четыре решения.

Пример 3 . Пусть требуется построить общую касательную к трём

данным окружностям.

В общем случае не существует ни одной прямой, удовлетворяю­

щей поставленным условиям. Действительно,

первые две окружности

имеют (самое

большее) четыре общие касательные, так что искомой

прямой может

быть только одна из этих четырёх прямых, но третья

окружность, заданная произвольно, в общем случае, не будет ка

-

саться ни одной из этих прямых. Следовательно, задача будет,

за

исключением некоторых частных случаев,

н е в о з м о ж н о й .

щее правило, определенными.

2 . Задача на построение

часто сводится к построению некоторой

точки.

*

Пример I . Провести окружность через три данные точки.

После того, как выбрано

положение данной стороны (где именно-

безразлично) ,

остаётся только

построить

противолежащую вершину.

3 . В этом случае обычно

применяемым способом

построения явля­

ется метод

г е о м е т р и ч е с к и х

м е с т

(множеств то­

чек с заданным свойством), который заключается в

том, чтобы вывести

Решение

примера I .

Чтобы найти центр окружности, проходящей

через

три данные точки

-fl, в , с ,

- достаточно заметить,

что

требование,

чтобы искомая точка была равноудалена от точек

fl

и ß

, даёт

одно множество

точек, а требование, чтобы искомая

точка

была равноудалена

от

точек fl

и с - другое множество

точек.

Решение

примера 2 . Пусть требуется

построить треугольник

йВСі

' зная

сторону

вс.

,

противолежащий угол й

и соответстңую-

щую высоту. Если выбрано положение стороны

ВС,

ыы инеем два

множества для точки й-

ВС

а)

дуга,вмещающая данный угол

и построенная

на

,

как

на хорде;

б)

прямая, параллельная ВС

и

отстоящая от неё

на

расстоянии,

равном высоте.

Условие,

налагаемое

на

положение

точки, называется

п р о ­

с т ы м

у с л о в и е м ,

если

существует

некоторая линия -

множество точек, удовлетворяющих этому условию. При этом точка

определяется двумя простыми условиями, и если известны два соот­

ветствующих множества, то искомая точка найдётся как точка

их

пересечения.

Вообще, всякая фигура определяется некоторым числом простых

условий. Многоугольник, имеющий

п

сторон,

определяется

по вели­

чине и положению &п

простыми условиями, так как

при этом

требу­

ется

определить

положение п

точек. Чтобы определить его

только по

величине и по форме, достаточно

С£п-3)

простых условий,

так

как можно .задать произвольно одну вершину и направление одной из

выходящих из

этой вершины сторон. Это число

с&п-З)

равняется

п

для

треугольника,

но

не

равняется

п т

если

п

превосхо­

дит

3 .

4 .

В силу

этого,

когда мы встречаемся с

какой-либо задачей

на построение, ыы должны постараться преобразовать условие задачи

таким

образом,

чтобы

свести её

к одной

из

тех

задач,

которые мы

умеем

решать;

например,

преобразовать условие

так, чтобы вывести

из него два множества точек для одной из точек, связанных с иско­

мой фигурой.

Для этого мы рассматриваем фигуру, которая по предположению

удовлетворяет поставленным условиям

(говоря

при этом:

"предположим,

И в этом случае

следует соблюдать те же общие правила, как

и при доказательстве

теорем. Как. и в случае задач на множества

точек

полученное заключение должно быть вполне равносильно усло­

вию.

Действительно,

если, с одной стороны, из условий задачи долж­

но следовать найденное построение, то,

с

другой стороны, мы долж­

ны убедиться в том, что любая фигура,

построенная найденным нами

способом, обязательно удовлетворяет всем

условиям задачи.

Г л а в а

I У

МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ

§• I .

Натуральные

числа

,

Мы берем

за основу множество

натуральных чисел

(обозначение

N = { 1 X 5 ........п,

. .. }

).

Множество N

задается

системой

аксиом

(Пеано,

1889).

1 °.

Единица -

натуральное число

(обозначение I ) .

2 ° .

п е М = > слН) e l f

(из

того,

что п

принадлежит ß f

следует,

что следующее число

т +і)

тоже

принадлежит Ж

; эта

аксиома вводит и операцию сложения).

3 °.

Единица не имеет предшествующего элемента

((п+1) = 1=* п ф Я ) .

4 °.

Если для

п e N

•

и т е К

известно, что

Сл+і)= (m+l) ,

то п-т .

5 °. Пусть

А -некоторое

множество

натуральных чисел такое,

что

а)

и

д ;

б)

если

п е Д

)

( п +і ) е

Д .

Тогда Д

содержит

все натуральные числа, т .е .

Дтло К .

Из последней аксиомы вытекает возможность доказательства по

индукции

(принцип математической индукции): если

известно,

что

а)

рассматриваемое свойство

верно для

единицы;

б)

и если, пред­

положив,

что для о

верно

это

свойство,

можно показать,что

для

cnti)

также верно данное

свойство,

то

отсюда следует,

что

для

всех натуральных чисел верно рассматриваемое свойство.

Во множестве натуральных чисел можно складывать и умножать.

Замечание. Одно и то же число может быть записано многими

способами. Именно, в разных системах исчисления число

записывается

а - г 3 +

+С-1 + d .

Но

сразу видно,

что

а

=о,

ибо I 3= зчз ,

а зчз>иоз.

Цифра 6 = 4 (ибо

49

X

5

=

245,

а 49 х 4 = 196),

далее, с = I ,

d

= 2 . Итак, 2 0 5 ц 0)

=

4

І2 (7) .

Наиболее употребительными (после

Конечные

подмножества. Элементы комбинаторики

Если рассматривать подмножества К

,

такие,

что

каждое число

из подмножества меньше или равно заданному числу

л ,

то получим

конечное множество, содержащее не

более

п

элементов.

Часть задач,

возникающих в конечных множествах,

рассматрива­

ются и решаются

к о м б и н а т о р н ы м и

м е т о д а м и .

Типичный вопрос для комбинаторики: сколько элементов

(или подмно­

жеств данного

конечного множества)

обладают некоторым

свойством?

Другой вопрос,

характерный для этих задач: сколькими

способами

можно разбить конечное множество на подмножества по некоторому

набору признаков?

Комбинаторные методы используются

при

решении задач, связан­

ных с обработкой информации, составлением планов и расписаний.

Однако существенное затруднение

необходимость

производить пере­

бор различных вариантов - здесь не

преодолено'до

сих

пор. Ярким

мый отрезок

времени,

является

задача -

невозможность научить уни­

версальную цифровую машину, играть в шахматы. Подсчитано,

что пере-

•

О

непрерывной работы машины,

производя­

бор вариантов займет

10 лет

щей операции

со скоростью, составляющей

% скорости света. Однако