Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

все

части определения аналогично

тому, как должно быть использо­

вано

условие теоремы

(см.

п .7 ).

4 . Определение

одного

й того

же понятия часто может быть да­

вершенно .произвольными ,

являются простым приложением к

этому

правилу.

Приведём только один

пример. Во всех рассуждениях,

относя­

лению, для

того, чтобы показать, что

точка И

лежит

на окружности,

можно соединить её с тремя точками д,

в и С

этой

окружности и

показать,

что четырехугольник

ДВОИ

обладает

одним из свойств

вписанного

четырехугольника.

В дальнейшем во всех рассуждениях,

Примечание.

Во всяком четырехугольнике можно рассматривать

четыре угла Д ,

В , С , Д и далее,

проведя диагонали ДС

и ВД,

ещё восемь углов

(пусть ^ д - i L +£%;

£&=із+іН\

1 Д=Л+/Я).

Обратно, если какое-либо одно из этих условий имеет место,

то четырёхугольник вписанный.

Заметим ещё, что точки Д

я В находятся с одной и

той же

стороны от О Д ,

следовательно, треугольники

СДД

и

ДДВ

имеют одно и то же направление вращения,

так что

равные

у глыД С

и ДВС

имеют одинаковое

направление. То же самое имеет место джн

углов

ДСВ ,

. ДДВ

и

т . д .

Напротив,

углы ДДВ

и ДСВ

имеют

противоположное направление, так как Д

и С

находятся по разни*

стороны от

ВД .

6 .

После того как

выполнено то, о чём мы говорили

( т . е . оп­

ределяемые

понятия заменены

их

определениями), необходимо

пре­

образовать , как было указано,'

условие теоремы так, чтобы обна­

ружить справедливость её заключения.

признаков равенства прямоугольных треугольников.

В противоположкость

этому, в других случаях приходится про­

ходить через несколько промежуточных этапов. При этом можно, на­

пример,

попытаться придать условию теоремы другую форму,

которая

возможно

ближе подходит к её заключению.

Пример, Пусть требуется доказать теорему: во всяком треуголь­

нике против большей стороны лежит больший угол.

Пусть в треугольникеАВС ІАВІ>ІАСІ.(ІХУІ-это длина отрезка ХУ).

Мы должны

выразить,чтоІАСВ больше

чем IXВС .Для этого

мы

отклады­

ваем

на AB отрезок ДД-=АС »так что

точка Д лежит меж ду/

и $ .

Условие

и

заключение теоремы будут поэтому таковы:

(I)

„

[ Д Д

есть

продолжение Д В ;

Уо,ош е

і ш і ч

м

і .

Л

;

Заключение, г Д С В > /

д в е

(опять же точнее

йсв>два).

Равнобедренный

треугольник

йДС ,

в котором

углы при

основании

равны, позволяет придать теперь условию теоремы новую форму:

( 2 )

Условие

Заключение

^ ЙСВ = й ДДС + ^ Д а В > / две.

или проще

(3)

Условие

Д Х

есть

продолжение ДВ.

Заключение

у ХДС. t

х д с В > й X ß C ■

Последнее заключение очевидно в силу, теоремы о внешнем угле тре­

угольника.

Как видно из разбора доказательства, мы достигли цели с по­

мощью ряда

п о с л е д о в а т е л ь н ы х

п р е о б

р а

з о ­

в а н и й

у с л о в и я

т е о р е мы .

7 .

При каждом из таких преобразований следует, в частности,

не

забывать

нашего

первого

правила (п .2)

и каждый pas следить,не

осталась ли неиспользованной какая-либо часть условия, в чём мож­

но убедиться, исследуя, сводится ли новое условие

в точности

к

предыдущему,

будет

ли оно ему вполне

равносильно.

.

Пример. В предыдущем примере формулировка

(2)

условия

теоремы

вполне эквивалентна формулировке

( I ): это значит,

что если

условие

(I)

выполнено,

то выполняется и условие

(2 ), и

о б р а т н о .

В

самом деле,

разница между ними заключается только

в том, что равен­

ство / д д / = IДС!

заменено

на

^ йДС

= ^ й € Д .

Но мы знаем,

что

л ю б о е

из

этих двух условий влечёт

за

со­

бой другое.

Условие

(2)

поэтому может

быть безоговорочно поставле­

но

на место

условия. ( I ):

безразлично,

дано ли

условие теоремы

в

той или другой

форме.

Иногда может случиться, что какая-либо часть условия теоремы

может быть отброшена без

всякого

ущерба ;

однако этого

в

Это имеет место в только что рассмотренном

примере при перехо­

де от

условия

(2) к условию

(3 ) .

Условие (2)

в

самом деле

равно­

сильно

следующему:

(Доесть продолжение

ДВ\

на

полупрямой

Д Х

существует

такая точка,

что

Д Х

есть

продолжение

ДВ -

Для того, чтобы она

существовала, необходимо,

в силу теоремы

о внешнем угле треугольника, чтобы

х Х Д С

'

был острым,

Следовательно, условие (3) может иметь место и без торо,чтобы

выполнялось условие

(2 ).