Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.07.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следует стремиться к току, чтобы давать такие формулировки теорем, в которых условие не содержало бы ни одного лишнего эле­ мента. В более тонких вопросах, и особенно в приложениях матема­ тики, наибольшая трудность/часто заключается именно в том, чтобы

выяснить, какими из

имеющихся данных следует воспользоваться для

решения вопроса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ещё пример. Пусть требуется доказать следующую теорему:

 

В плоскости

треугольника

ЯВС

выбрана точка м

; если

по­

строить УВДР= у МЯО

и отложить

ІЯРІ - I ЯМ!,

V

если далее

построить УСВО = у М8Я

/8QP/8MI,

уйо£ = у МСВ,

/о я /- )OM/,

то

точки И , P,Q и

Я

лежат на

одной

окружности.

 

 

 

В этой теореме условие

и

заключение будут;

 

 

 

 

 

С /8 Р Р

= /

м а е ,

ІЯРІ=ІМЯІ,

 

 

(I) Условие.

 

J У с е р ■=я’ М В Я ,

IB Q jM B n l,

 

 

 

 

( УЯОЯ = у МО В ,

 

И

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Заключение. Точки

И , р , Q , Я

лежат на

одной

окружнорти.

(2)

Однако, исходя из

этой

формы условия,

невозможно доказать

теорему: действительно, сформулированное таким образом предложе­

ние неверно. Неверно, что произвольная точка

И

и точки, р ,

Qt £ ч

симметричные с ней относительно трех

произвольных прямых,

лежат

на

одной

окружности.

 

 

 

 

 

В этом можно убедиться,

принимая во внимание,

что любые три

точки

р, (3' Я

можно рассматривать как симметричные

с некоторой

точкой рі

относительно прямых

d t , d z , d

-

перпендикуляров в

серединах

отрезков MP, М&,МЯ.

 

 

 

 

 

Таким образом, мы сделали ошибку, заменив формулировку (I)

теоремы формулировкой (2 ) . Ошибка заключается

в том,

что прямые

d , , d & ' d 3

не

произвольны: они служат биссектрисами

углов дан­

ного треугольника и потому проходят через одну точку. Следователь­ но, правильной-формулировкой преобразованного условия теоремы бу­ дет следующая (эта новая формулировка условия теоремы может заме­ нить первоначальную; три прямые, проходящие через одну точку, мож­ но, вообще говоря, рассматривать как биссектрисы углов некоторого треугольника; попробуйте доказать это утверждение);

Точка Р симметрична с М относительно at

(3) Условие. Точка Ö симметрична с М относительно dz

■Точка Я симметрична с И относительно аЛ

Прямые dt , d &, d j проходят через одну точку О .

54

 

Эта форма условия непосредственно приводит к результату,

так

как

 

очевидно,

 

 

-что четыре точки М , Р, Q , А

лежат на

одной окружности с центром в точке о.

 

 

 

 

8.

 

 

Вместо того, чтобы преобразовывать условие теоремы, чтобы

сблизить

его

с заключением

теоремы,

часто

оказывается

предпочти­

тельнее сначала обратить внимание на заключение и постараться заме­

нить первоначальное заключение другим, из которого вытекает первое

и которое легче было бы вывести из условия теоремы.

 

 

 

Пример. Рассмотрим теорему: если из точки

М,

, лежащей на

окружности,

описанной

около

треугольника

в ВС,

опустить перпенди­

куляры

M P ,

М О ,

М А

 

на его стороны, то основания этих

перпендикуляров лежат на одной прямой.

 

 

 

 

 

 

Мы докажем,

что

точки

р,

а, А

лежат на

одной прямой,если

докажем,

что.углы

ВРХ

и CPQ ,

получающиеся при соединении

точки

Р

 

с точками а

и А

,

будут

равны между собой. Следователь­

но, в то

время как условием теоремы будет:

 

 

 

 

 

точки

fl, ß , e , M

лежат на

одной

окружности;

 

 

МР

перпендикулярен к ВС., .

 

 

 

 

 

 

 

MQ

 

перпендикулярен к Сfl ,

 

 

 

 

 

 

 

МА

 

перпендикулярен к Aß ,

 

 

 

 

 

 

заключению теоремы мы можем придать следующую форму:

 

 

 

 

 

 

гВ Р А = г с Р О .

 

 

 

 

 

 

 

Но так как углы ВАМ

 

и

ВРМ

-

прямые,

то

четырех­

угольник

R АРМ'

может быть вписан

в круг,

и потомуг.BPR = гВМА.

Точно,

также

 

четырехугольник

CQMP

 

может быть вписан

в круг,

и

потому

гСРО. = г е м о ,

.

Следовательно,

нам достаточно

(при

том же условии)

доказать

следующее заключение:

 

 

г ВМА = г е м о .

Первоначальное заключение,таким образом, заменено другим,

более простым для доказательства; читатель легко докажет это по.- следнее заключение (конец примера).

Пользуясь при.доказательстве теоремы этим новым способом, мы должны,конечно, подобно тому, как мы это делали выше, убедиться

в TOM',

что, изменив заключение, мы не

стремимся доказать больше

 

того,

что содержится в первоначальном

заключении, за исключением

'

тех случаев, когда у нас есть основание думать, что и новое заклю­ чение, более общее чем первоначальное, также будет справедливо.

65

9 . Теперь следует сделать ещё одно важное замечание, на

тором мн не имели возможности остановиться в самом начале наших указаний. Его следует использовать непосредственно по ознакомле­

нии с

формулировкой той теоремы, которую требуется доказать.

 

 

 

Это замечание заключается в том,

что многие

теоремы моіут

 

быть сформулированы несколькими различными способами (обратите

 

внимание

на это при просмотре любого учебника геометрии).

 

 

 

Пример I . Предложение^ всякая точка, одинаково удаленная

от

й

в

 

в ,

лежит на перпендикуляре,

восстановленном в середине

 

отрезка

йв

— можно сформулировать так:

 

 

 

 

Всякая точка, которая не лежит на перпендикуляре, восстанов­

ленном

в середине отрезка

йВ,

не

одинаково удалена от двух

 

кондов

отрезка.

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом примере имеется общее положение: предложение, противо­

положное какому-либо предложению, и предложение,

обратное тому же

предложению,

равносильны

(см. гл .2 ,

§

I ) .

 

 

 

 

К тому же порядку идей относится и метод доказательства,

на­

зываемый

д о к а з а т е л ь с т в о м

о т

п р о т и в н о ­

г о .

 

Этот метод состоит

в том, чтобы показать,

что получается

 

противоречие, если предположить условие теоремы

выполненным,

а

её

заключение неверным.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2 . Предложение— во всяком равнобедренном треугольни­

ке

биссектриса угла при вершине перпендикулярна к основанию и делит

его

пополам

- сводится

(ибо

существует только

одна биссектриса

угла

при вершине, только

одна высота, только один перпендикуляр

в середине основания) к любому из следующих:

 

 

 

 

 

Высота равнобедренного

треугольника, проведённая из его

вершины, проходит через середину основания и делит угол при верши­ не пополам.

Перпендикуляр к основанию, восстановленный в его середине, проходит через вершину равнобедренного треугольника и является биссектрисой угла при вершине" и т .д .

Ясно, что этот пример носит, как и предыдущий, общий харак­ тер; это обстоятельство можно встретить при выяснении свойств диаметра, перпендикулярного хорде окружности,. Впрочем, с ним при­ ходится встречаться с самого начала геометрии. Доказательство теоремы, обратной теореме об условии параллельности двух прямых, пересечённых третьей, представляет собой пример доказательства такого рода. Эти два случая, в которых данная формулировка может

66

быть заменена другой формулировкой, ей эквивалентной, не являются

единственными. В каждом отдельном случае следует всегда подумать

о различных возможных формулировках одной и той же теоремы. Оче­ видно, существенно иметь их в виду, чтобы выбрать из них ту, ко­

торая наиболее подходит для доказательства, короче говоря,

с л е ­

д у е т

с т а в и т ь

п е р е д

с о б о й

 

в о п р о с

т а к и м

о б р а з о м ,

ч т о б ы

е г о

р е ш е н и е

с т а н о в и л о с ь

в о з м о ж н о

л е г ч е

("каждой

задаче следует придать такую форму, чтобы её можно было решить4-

Абель).

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Этим последним

замечанием

мы заканчиваем изложение тех

основных правил, на которые мы хотели здесь указать. Очень полезно

изучить с

точки зрения

этих принципов те доказательства,

которые

попадались вам при изучении геометрии.

 

 

 

 

 

§ 4 . Множества (геометрические места)точек

Сказанное только что о доказательствах предлагаемых теорем

избавляет нас от необходимости подробно останавливаться на других возможных формах геометрических задач; решение последних следует искать, руководствуясь теми же принципами, что и выше, как мы это

сейчас увидим при рассмотрении вопроса о множествах точек и о зада­ чах на построение.

I .

Множества точек, обладающих зяляяяым свойством

Некоторые множества рассматриваются в учебниках; например:

множество

точек, одинаково удаленных от двух дяшгат точек

или

от двух данных прямых; , множество точек, находящихся на данном

расстоянии

от данной прямой и т .д .

 

Другое множества точек очевидны сами по себе; например,

точка,

обладающая тем свойствам, что прямая, соединяющая её с данной точ­

кой А , .

параллельна данной прямой X Y ,

, имеет своим множе­

ством прямую, проходящую через точку а

и параллельную

ХУ ■

Таким образом, если дано какое-либо свойство точки

М

или

общие какие либо свойства изменяемой фигуры, в состав которой

входит точка М ,

то для отыскания множества точек М

следует

преобразовать данные условия в другие, дающие для точки

И

уже

известное

множество точек.

 

 

 

 

Мы.имеем здесь, следовательно, перед собой вопрос, аналогич­

ный тому,

который стоял перед нами, когда требовалось доказать

теорему.

В самом деле, там требовалось из

 

совокупности данных

67

свойств (условие) вывести другие свойства, так же заданные (заклю­ чение), В данном случае требуется точно так же преобразовать дан­

ное 'условие. Единственное различие состоит в тон, что в данном случае известна отправная точка - условие, но не известен конеч­ ный результат - заключение,мы знаем только, что этот результат должен нам дать искомое множество. (Ясно, что при этом следует

прежде всего искать общие свойства различных положений подвижной фигуры, и , в частности, свойства, не изменяющиеся при её перемеще­ нии)., Следовательно, здесь приходится идти тем же путём, как и вы­

ше, и, нам ничего не оставалось бы, как только повторить те указа­ ния, которые мы тодъко что сделали.

*0дно из этих указаний следует соблюдать здесь даже с большей строгостью, чем при доказательстве теорем. Мы уже видели, что в

вопросах, относящихся к доказательству теорем.иногда случается,что при последовательных преобразованиях условия некоторые части его

могут оставаться неиспользованными. Подобное обстоятельство никог­ да не может встретиться при отыскании множества точек, так как

искомое множество должно состоять из точек, удовлетворяющих дан­

ному условию, и только из них. Следовательно, мы должны каждый раз проследить за тем, чтобы наше заключение было вполне равносильно

условию.

s

 

Мы

делали это для большинства множеств, которые

искали;

мы опускали эту вторую часть рассуждения только в-некоторых случа­ ях, где она представлялась настолько лёгкой, что на ней не было надобности останавливаться.

 

§ 5 . Задачи на построение

I .

Предположим далее, что требуется построить геометричес

фигуру, удовлетворяющую данным условиям.

Результат решения такого

рода задачи может быть весьма различным в

зависимости от того,

бу­

дет ли число данных условий как раз достаточным для определения

 

'неизвестной фигуры или нет.

 

 

Пример I . Пусть требуется построить

прямую, касательную

к

данной окружности. Касательная в любой точке данной окружности

 

будет отвечать условиям задачи. Имеется бесчисленное множество решений; следовательно, данных условий недостаточно для определе­ ния искомой фигуры. Такая задача называется н е о п р е д е л ё н н о й .

63

Г

Смотрите также файлы