Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

возможных систем есть

С & = 21. Однако, если представить

себе на чертеже рассматриваемый многоугольник , то будет

видно,

что у него шесть вершин.

По смыслу задачи

мы должны отбросить две вершины, у

которых

координаты не целочисленные. А из оставшихся лучше всего

подходит

остальных вершинах значение л

будет меньше.

(Самой подозритель­

ной является

точка (

^ < %

) , но там Л=76У7).

Конечно,

диспетчер будет

эту задачу решать не тан,

Он просто

сосчитает число пассажирова для пар, близких

в паре ( 5 , 7 ) , т . е .

для пар ( 6 , 6 ) , ( 4 ,8 ) ,

( 7 ,5 ) ,

и убедится, что

пара (5,7)

самая

подходящая.

и должен был ба

Однако,

если бы

он имел большую таблицу

своить одну и ту же цифру.

Доказательство этого

факта еще не найдено, в то время как

для

пяти цифр - 1 , 2 ,3 , 4 ,5

- это факт давно

доказан.

Полностью

эта

проблема решена для поверхности, схожей

с

поверхностью авто­

мобильной шины (или бублика). Там достаточно

семи цифр.

Если мы в каждой области отметим точку

(например • столицу),

а факт "прилегания" двух

областей отметим

отрезком,

соединяющим

соответствующие столицы, то получим схему,

которая называется

"графом".

на два и

более

множителя, и все

эти множители из

множества прос­

тых чисел

{ Р

' рп j ),

Но число

Я * ( р - р А -р3 -. . . -рл)+1

не делится ни на одно из

( ы

к і л ) .

По предположению

оно составное,

но не делится ни на

одно

,

следовательно,

рого являются целыми числами.

.

Задача. Отыскать множество

всех

целых решений диофантова

уравнения.

Известно, что линейное уравнение

а х + б у - С

имеет

це­

лые решения только в том случае,

если

е

кратно наибольшему обще­

му делителю целых чисел а

-и

6.

Общее решение имеет

вид

гб

ш

( X' , у

'

+ еа,6)

’

У * У ' ~ с а , 6 ) '

где

)

- частное

решение этого

уравнения,

найденное

с

помощью алгоритма Евклида,

ь

-

произвольное число;

с а , 6 ) —

наибольший общий делитель

а

и

6 .

Однако полный ответ о множестве решений нелинейного диофаято-

ва уравнения (будет ли оно пустым, конечным или бесконечным)

до

сих пор не

получен. Поэтому на школьных математических олимпиа­

Например, знаменитые,

"числа Фибоначчи"

задаются формулой

а

=а. +Qi ,

k e N

и начальными

значениями

аг - 1 ,

Что же такое

последовательность?

Оптеделение. Числовая функция, областью определения которой

является И

, называется числовой последовательностью.

§ 2 . Целые, рациональные и действительные числа.

(Множества Z, Q , M

)

Однако во множестве И не всегда можно найти решения урав­

нений х + а - 6

и

а х - б ^ ~

. г д е

а

е ß f ,

S e l f -

Кроме того, множество натуральных чисел Ж возникло

в процессе

с ч е т а ,

элементов,

каждый из которых мы можем различать друг

.о т

друга. Но мы умеем

и з м е р я т ь

некоторые величины (длину

Определение. Множество элементов

х, у л , - - ■

называется

множеством действительных чисел

(обозначение

R

) ,

если

для

этих элементов введены:

1)

операция сложения( x e ß ,

ijefc,

x+y=s. , ZeJÜ);

2 )

операция умножения ( х е Я ,

у е й

, x y = t , і е Я ) .

Эти'Операции обладают известными свойствами

[х+

=сх+уңя >

x t t j - t j t x ' ,

есть такой элемент оеЯ

,что х+о=х-,

для каждогох .

найдется

такой элемент (-я?),что

х + (~эс)=* о

;

х

( y Z ) = ( x y } £

;

х у = у х

;есть елемент "единица"

U e £

)

такой.что

; для

Х=£0 можно найти элемент ( ^

)

такой.что ( х ) ■(^ r) = і

;

нако­

нец,

х ( у +х) = х у + x z ]~

свойствами числового поля;

3 )

отношение

порядка (для x e R

, у е £ справедливо

одно

из

двух-

л и б о , л и б о у 45Д со

свойствами:

еслиа:4 ^ ,^ 4 -2 .тоя?4 г ;

если

х 4 у

и у^ а?

,

? о х - у

;

если дг^ у , то ж + 2 4 у ^

если 0 4 х

и

0 4

У- .

то

0 4 зе-у.~)\

4)

в і?

действует

а к с и о м а

А р х и м е д а :

для

любых О < X

и 0 4 у

найдется натуральное

число

п такое,

что

чисел х е Я ,

удовлетворяющих неравенствам

а ѣ ^ Х 4 6п )

промежутков,

что

ап ^ a af/

и

6ntf > 6п

при каждом

п е К ,

то

эти промежутки имеют хотя бы один общий элемент (пере­

сечение этих подмножеств не пусто).

Замечание I .

Пояснения

требует

пункт

3 . Приведем пример.

Множество

С

- множество комплексных чисел не обладает отношением

порядка (см.

ниже,

стр. 93 ) .

Пункты 4 и 5

обеспечивают непрерывность множества R - мно­

жества действительных чисел,

что важно не для практического ис­

теорем математического

анализа

числовых функций.

Например,

верно,

что

каждый интервал (

а. Ь

) ( т . е . множе­

ство

х е Я ,

удовлетворяющих

неравенствам

а < х < Ь )

содер­

жит рациональную точку.

■ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

6 - а = А > о

и число п.

больше

1/А

(оно

существует

в силу

4 ),

т . е .

п>

или

А ■< А.

■ по

аксиоме