Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.07.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 1
|
Заметим, что |
последовательности |
(sn ) |
и |
( і п ) , |
|
|
|
||||||||||
имеющие пределы |
s |
, |
і |
, |
|
можно складывать |
(это |
значит, |
что |
|||||||||
если есть |
две последовательности |
(sn ) |
и |
( t a ) |
|
и построе |
||||||||||||
на новая последовательность |
( х п ) |
|
так, |
что |
х а =sn +t^ ; |
|||||||||||||
то k m |
X |
= k m |
s„ + k m |
t |
; , |
умножать |
( пусть |
= s |
( |
t„ , |
Ьп фо, |
|||||||
тогда/Z-*-c-o |
к-пьЦ„Я -**оо= ( k m |
s„)Ckm t„ ) |
) , |
даже делить |
если |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
n-+-<?o |
|
|
|
|
|
g r1, |
71 |
|
|
|
||
|
|
П.-+- |
4H' |
|
|
п |
|
rL |
|
|
|
j, |
|
|
n- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
fl |
|
|
|
|
|
|
i-СуiL |
|
|
|
|
|
t |
ф ° |
, |
|
|
|
|
’ |
|
T0 |
/i™ |
*„ = ”l m |
7 : * |
|
||||
Однако переход к пределу - |
это не |
алгебраическая |
операция. |
При |
||||||||||||||
переходе к пределу надр проявить максимум внимания. |
|
Например, |
||||||||||||||||
пусть~ |
S' |
= —1 |
t |
= —д- |
, |
тогда, |
k m S „ = o , |
km . |
t„ = o |
|||||||||
|
|
п |
|
гь |
л |
/I* |
|
|
|
|
я |
|
’ |
|
|
я |
» |
|
но |
к т |
|
/ —е ) = к т |
|
(п) |
|
|
неограничен, а |
/с>л. |
/1І5-) = к т |
)=о. |
|||||||
Это |
так |
называемая |
"неопределенность", раскрыть которую Вы сможе |
|||||||||||||||
те, |
обучаясь в высшей школе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
' |
Замечание |
3 . Полное логическое |
обоснование |
множества Л |
появилось в конце прошлого столетия благодаря трудам трех ученых
Кантора, Дедекиндя и Вейерштрасса. Каждый предложил свою схему обоснования. Мы придерживались современного изложения первой схемы. С остальными вы познакомитесь при дальнейшем обучении.
А теперь переходим к расширению множества R |
, |
ибо во множе |
|||||
стве Л |
, как известно, не |
имеет решения уравнение |
х?+1 =о. |
||||
|
§ 3 . Комплексные |
числа |
( множество £ |
) |
|
||
|
Предварительные |
замечания |
|
|
|||
I . |
Множество if7 состоит |
из |
элементов, |
которые |
мы |
по традиции |
|
называем |
числами. На самом деле |
элементом |
£ является |
пара дейст |
вительных чисел, взятых в определенном порядке. Никакого отноше
ния к счету или измерению элементы С |
не имеют. |
|
|
||||||
* |
2. Извлечение корня приводит иногда к числам |
вида |
, |
||||||
где |
у е |
В . |
|
|
|
|
|
|
|
|
‘‘Например, |
корнями уравнения |
a é &+6l +с=о' |
, где |
а фо |
||||
ъ а е В |
, б е л |
, |
с е М , t е R |
, служат |
числа |
|
|
||
|
|
- б + Ѵб^-Уас |
|
, _ |
- Ь - /б ^ ~ -ч а і |
|
|
||
|
|
|
£ а |
’ |
|
-3 ' |
â a |
|
|
Но, |
как известно |
из теории, |
подкоренное выражение |
(дискриминант) |
|||||
Ä - 6^ - Час. |
|
может иногда |
быть отрицательным. Тогда (если |
92
2)^ о |
) число |
-Ю?о, |
и существует |
число |
іТю- |
/4ас- 6&' |
|||||||||||
|
Обозначим |
через х |
число |
-jJ- |
; |
через .у |
число |
||||||||||
через |
і |
символ |
/ 7 . |
|
Тогда |
|
t ^ x |
+ y i ; |
і ^ ^ х - у і ; |
ва |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
t+tä - â x |
; |
t t & = x &t^ я . |
|
|
|
В последних двух формулах спра |
|||||||||||
ва стоят |
действительные числа. Принято писать в таком |
случае, что |
|||||||||||||||
x = x t y i . |
|
И |
символ |
я |
|
называют комплексным числом. Другой |
|||||||||||
корень ( tâ |
) |
обозначают х |
|
и |
пищут |
х = л - у і . |
Символ я |
||||||||||
называют |
комплексным |
числом, |
сопряженным |
|
х. |
Так как сЖ)=х, |
|||||||||||
то точнее говорить, что X |
и Ж являются взаимно-сопряженными |
||||||||||||||||
(ведь X |
|
'= Х -(-у)і |
= х +уі } - |
|
|
|
|
отношения порядка, |
по |
||||||||
|
3 . |
Во множестве € |
нельзя установить |
||||||||||||||
добного |
тому, что принят для множества R |
, Действительно, |
допус- |
||||||||||||||
тим, |
что |
порядок установлен |
|
так, что |
і>о . |
Но если умножить по- |
|||||||||||
следнее |
неравенство |
слева и |
|
справа |
на і |
, |
то |
смысл неравенства |
|||||||||
не нарушится: |
і - і > і - о . |
. |
Однако |
i z- - l |
|
и |
о-с =о |
, |
полу- |
||||||||
чаем |
нелепицу -1 >0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если же предположить, |
что |
і ^ о |
|
|
и умножить обе |
части |
||||||||||
этого |
неравенства на |
£ |
то |
получим |
і-і |
> О -і |
отсюда |
||||||||||
опять |
- І У О . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. Множество € |
замкнуто ко воем алгебраическим |
операциям, |
например, корень любой конечной степени из комплексного числа есть
число комплексное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 . На множестве € |
можно задавать функцию |
ax=jcx), |
||||
для |
которой область |
определения |
X s € |
с X |
включено |
или совпа |
|
дает |
со множеством |
<? ) , |
область |
значений У е |
с . Они, |
функции |
комплексного переменного, имеют большое приложение в задачах мате матической физики.
6 . Наконец, верно утверждение (основная теорема алгебры много
членов) : всякое алгебраическое уравнение |
|
|
|
|
|||||
(anl |
t+arHx.n''+-.. + a x |
+о.д =о -, а^ес; х е € ; охіхп.; |
S c e K . n e M) |
|
|
||||
имеет по крайней мере |
один комплексный корень. |
|
|
|
|
||||
|
7 . Комплексные |
числа можно представлять так, как |
сделано |
|
|||||
выше, |
в виде набора |
символов |
х = х + у і |
(см. |
[13] |
тл. |
4). |
||
Мы будем считать, что символу |
і |
соответствует |
пара чисел |
|
|
||||
х е & |
UEЩ , |
записанных |
в |
определенном порядке |
(см. |
[9] |
). |
93
і
Действия над комплексными числами
|
Определение |
I . |
Комплексным числом^ |
называется пара действи |
|||||||||||
тельных чисел а |
|
и |
6 |
, |
взятых в |
определенном порядке. |
|
|
|||||||
|
Обозначение . ы. = |
(а, 6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определение |
2 . Если |
6 - о , |
|
то |
с а ,о і = а |
|
|
|||||||
(Б |
этом |
смысле |
R |
а |
С |
, |
т . ѳ . |
{ (а.о)) с {(0,6)} ■ aeJR., |
б е Л ) . |
||||||
|
Определение |
З.Два комплексных числа ы. = (а, 6), |
ß = |
(c.d) |
|||||||||||
называются равными, |
если |
порознь |
а = с |
|
и |
6 = d |
и |
обратно. В |
|||||||
этом случае пищут <=(.=/$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Определение |
4. Если про |
ы. = (а,В) |
|
и |
ß = (o,d) |
известно, |
||||||||
что а=а |
и 6 - - d |
|
, то ы и ß |
|
называются |
с о п р я ж е н н ы |
|||||||||
м и |
. В этом случае /5 |
обозначается как 3 . |
|
|
|
|
|||||||||
Итак, cZ |
= с а .,- 6) |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определение |
5 . (сложение). Если и = (а,б) |
, ß s ( c , d ) , |
|
|||||||||||
то |
|
|
|
|
j = oO-/b S (Q+C , 6+d) . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Следствие, |
(а , О) + (С,О) = (а + с ,о ) |
= а+с |
■ |
|
|
|
||||||||
|
Определение 6 |
(умножение). Если 4 = (0, 6); ß |
= (c,d) , |
то |
|||||||||||
|
|
|
|
|
д= оi ß s c a c - 6 d _, a d + 6 с ) . |
|
|
|
|||||||
|
Следствие. |
|
(а,о)(с,0) = |
(ас, о) = |
ас. |
|
|
|
|
||||||
|
Свойства операций сложения и умножения: |
|
|
|
|
||||||||||
|
1) |
dL+ß |
- ß + Ы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2)olß “ ß d -
3)oU-(ß+{) = ( d t ß ) + ß
4)ы. ( ß j ) = (olß)ß
5)oL ( ß t ß) = oCß) +d ß
6) |
oL + oC = £ O |
|
|||
7) |
ы Зс = a z + è s’ . |
|
|||
Определение |
7 . Пару |
(0,1) обозначим |
через і . |
||
Следствие |
I . |
і і = |
(o,!)(Oj) = (-1 ,0) |
= -J. |
|
Или і 2 - Ч . |
|
|
|
|
|
Следствие 2 |
(алгебраическая форма комплексного числа): . |
||||
|
|
|
ы. = ( а , 6 ) в. ( а ,о ) + (о,Ь) |
= |
|
|
|
|
(а,о) + ( 6,о)(о,1 ) —a t S i ■ |
||
Следствие 3 . Напомним, что нет смысла рассматривать неравен |
|||||
ства вида |
і ю , |
і-со. |
|
|
94
Следствие 4 . і ‘/к= 1 ; |
; і**+г= - і; і***3--і ■, к е М . |
Обозначения. I) a=ß .a(d) - от французского слова zetittz
(действительная часть комплексного числа а. ) .
2)6= Іт <&0 - от французского слова ima^inaze
(коэффициент |
при мнимой части комплексногочисла оС |
) . |
Таким |
обра |
|||||||||||||
зом, |
числом |
|
в алгебраической форме выглядит так: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
о^ = а + 6 і = Я е СоО |
+ і -ІтСы) . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Замечание. Комплексное |
число можно записать еще в двух фор |
||||||||||||||||
мах: тригонометрической и показательной (последнее |
значит, |
что |
|||||||||||||||
используется показательная функция комплексного переменного). |
|||||||||||||||||
|
ТЕОРЕМА |
I . . Существует одно |
комплексное |
число S |
такое, |
что |
|||||||||||
для любого комплексного числам |
верно |
равенство |
ы + ö =ы. |
|
|||||||||||||
и это |
|
â=o |
с |
|
точнъ ъ ,6 =о + о с). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть |
ы +â =ы.. Прибавляя к этому |
равенству |
||||||||||||||
справа и слева число |
-ы. = (- {) -ос |
, |
■ |
получим |
â = o . |
|
|
||||||||||
|
ТЕОРЕМА 2 . Существует одно комплексное |
число £ |
такое, |
что |
|||||||||||||
для любого комплексного числаы $ о |
верно равенство |
ы -£ = L , |
|
||||||||||||||
и это |
£ = 1 |
|
(точнее, £ = і + о і ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ы. б =оС, |
, |
гдеы.Фо. Умножим обе |
части |
|||||||||||||
равенства ы. & |
=ы- |
на число ß |
|
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П о л у ч и м -oi-ÖL ■£ |
|
|
но u - d = a &+6 S, |
|
|
|
|||||||||||
поэтому 6 =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
р=о , |
|
|
Ы/6=0 . |
|
|||||
|
ТЕОРЕМА 3 (прямая). Если<уЫ? |
или |
|
то |
|
||||||||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из определения 6 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ТЕОРЕМА 4 (обратная ) . Если |
Ы .§=о, |
|
то |
либо |
d= ö, |
|
||||||||||
либо |
§ - О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть d-^=o |
|
и ЫФ о . |
Умножим обе части |
|||||||||||||
равенства d f = o |
на число |
/ь - ~ s+-g^ , |
|
тогда |
получим, |
что |
|||||||||||
/= о , |
это и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Определение 8 (вычитание). Разностью между/ь |
и а. |
называется |
||||||||||||||
числом |
такое, что верно равенство |
ы + я = / 5 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ТЕОРЕМА 5 . Вычитание однозначно в |
С. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. К равенству |
d + Z = [Ъ |
прибавим |
(-<=£), |
|
||||||||||||
получим |
<2-/5 +(-сі) =f i - d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определение 9 (обратная величина). Пусть |
|
о |
, |
. тогда |
||||||||||||
символом J |
обозначается такое числом |
, |
что |
ос-л-1 . |
|
95
ТЕОРЕМА 6 . Обратная величина дляоі |
есть |
Д |
• |
||||||||
Действительно, |
умножим |
и - х = 1 |
|
на |
|
и получим |
|||||
2-=az+6 È ' |
Еданственность |
следует из |
теоремы с, |
|
|||||||
Следствие |
(деление). Верно равенство — = -■ ß . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С* |
оС ' |
|
Следствия (действия с числами сопряженными). |
|
||||||||||
Если с? |
= а - 6 і , |
ß = e - d i , |
~ |
|
то |
|
|
||||
1) |
й+/Ь =-ca-6 i) +(C-di) =cai-c)-(6 +d)i = (аікЬ) . |
|
|||||||||
2 ) |
ci-ß = |
(a-6 i)(c-di)= (aa-6d )-(a d + 6c)i = <£,¥;. |
|
||||||||
3) |
Цуоть |
Р (ы .,/Ь ,$ ) |
есть краткая запись |
алгебраической |
|||||||
дроби относительно комплексных чисел |
ы.- /ь , ^ |
|
и |
||||||||
Р &■,/&,[) |
= |
0. |
Тогда |
P ( d , jb |
, / ) |
= |
0 . |
|
|
||
Если |
комплексное число |
ы= я |
t y i |
|
является |
корнем много |
члена jcx )= a o-z % a t X п 1 + ... + алЧ х+ ал
с действительными коэффициентами, то и сопряженное с ним число
cZ= X -4 1 |
является |
корнем |
того |
же уравнения ( ибоj(<P-)=joP>, |
|||||||
проверьте!). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическое |
изображение |
комплексных чисел |
|
||||||||
Мы видели, |
что число |
|
ы |
_ |
£ |
. О |
часто |
используется |
|||
|
а |
= а +о |
|||||||||
в теории множества€ . Особую роль оно играет в геометрических |
|||||||||||
вопросах. |
|
|
|
|
|
____ |
|
|
|
|
' |
Определение 10. |
Число |
т/<х-5- е R |
называется модулем числа«:. |
||||||||
Обозначение. /оі/ - /ы -Р |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие |
I. Если |
Ы. = |
(а ; 0 ) |
, |
то |
/<=*/ =№■! ■ |
|
||||
Следствие |
2. /оі =о |
, |
|
где |
о £ R . |
|
|
|
|||
Следствие |
З.Если |
оі. = |
(а |
6 ) |
|
изображать |
как |
вектор с |
|||
началом в (0; 0) и концом в |
|
(а ; Ь) , |
то |
/Л/ |
- |
есть длина |
|||||
этого вектора. |
I. Число d = (a ,-6 ) |
|
|
|
|
|
|||||
Замечание |
можно представить на координат-, |
||||||||||
ной плоскости |
как точку с |
координатами |
{ а ; в |
) (имеется |
ввиду пря |
моугольная декартова система координат). Число «£• называют аффик сом точки ( ct;ë ) , плоскость в этом случае называется комплексной
плоскостью. |
Числа вида ( а.; О ) попадают на ось абсцисс (действи |
||
тельную |
ось |
комплексной плоскости), а числа вида {О; в ) на |
ось |
ординат |
(мнимую ось комплексной плоскости). |
» |
/Замечание 2. Однако на комплексной плоскости можно ввести
полярную систему координат так, что начало отсчета (полюс О |
) |
96