Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.07.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Архимеда найдется т. такое, что

— £ сС ^

—

•

При этом

- f i -

о -а . ,

так

что

х ° ■

Итак, а

< — ' -і & ,

что и

требовалось

доказать.

Другое следствие

из аксиомы Архимеда -

это возможность за­

гасать любое действительное число в виде бесконечной десятичной

дроби (и для каждого числа своя запись). Доказательство

этого

естественного факта мы не приводим.

 

 

 

 

 

 

Для

пояснения пункта 5

представим,

что

а а -=.

это

я. <- ая

десятичная цифра после зашитой числа

f f ,

.

взятого

с

недостат­

ком, 6■ -

соответствующая цифра этого

числа,

взятого

с

избытком,

Тогда пункт 5 утверждает,

что

запись

числа f f

содержит

бесконеч­

ное число^десятичных знаков,

и эта запись единственна (так

как

 

при

J.

 

 

 

 

 

 

 

Другими словами, пункт 5 нам нужен для перехода к пределу.

Надо быть уверенным, что предел (как в,случае с числом

f f

) су­

ществует

во множестве Я

(его ведь

нет

во множестве Q ).

 

Замечание 2 .0 переводе рациональной

дроби в

десятичную дробь

и обратном действии (переводе десятичной

дроби в

обыкновенную).

Такие рациональные числа ^

, ре%_ , р е М

которые

не могут быть представлены в виде

конечных десятичных дробей, раз­

лагаются в бесконечные десятичные дроби посредством обыкновенного приема "длинного" деления. На каждом шагу этого процесса возникает остаток, не равный нулю, иначе дробь оказалась бы конечной. Различ­

ные

возникающие остатки могут быть только целыми числами

от I до

р -

I , так что имеется всего (. р - I)

возможностей для

значений

этих

остатков. Это значит, что после 9 делений некоторый

остаток

к

появится во второй раз. Но тогда все

следующие остатки также

будут повторяться в том же порядке, в каком они уже появляжись после первого возникновения остатка к. Таким образом, доказана

ТЕОРЕМА. Десятичное разложение всякого рационального числа обладает свойством периодичности (после некоторого числа деся­ тичных знаков одна и та же группа десятичргх знаков начинает повторяться бесконечное число раз).

Примеры. /6 = 0,166666666 ... ; l7 =0,M l5W 2,8S tl4S,iSH4’

...-,

fa =оі 09од од о д . . . ;

- о, нодрдод..., £ - o,is,s,s,Z ikkk . . . .

88

Из приведенных примеров видно, что у некоторых из десятичных раз­ ложений, соответствующих рациональным числам, периодическому "хвосту" предшествует непериодическая "голова". Заметим по поводу

тех рациональных чисел, которые представляются в виде конечной' десятичной дроби, что у этой конечной дроби можно вообразить пос­ ле последнего ее десятичного знака бесконечно повторяющуюся цифру О, и, таким образом, рассматриваемые рациональные числа не исклю­

чаются из данной выше общей формулировки.

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА. Все периодические десятичные дроби пред - ставляют собой рациональные числа.

Пример, л = 0,3322222 ... Тогда можно записать

Л=—

+ /о '3- £ ( 1+Ю'1+ ю £tio'3t...y.

/00

1

L

 

Выражение в скобках есть бесконечная геометрическая прогрессия, ее сумма

I

_ 10

i t ю ' 1 +10'* + ю ' 3+.

Значит,

A . j ± + t0 ~3.ß

Ю*29Ю+2Ю _ В990 _ £99

юо

9

9-/О3 . 9ооо goo

ЧАСТНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.(для "чисто" периодических дробей). Рассмотрим дробь ß= о, C6f 6Я .. . 6а ) , . где скобки обозначают период дроби; & , где к е { і , п} - десятичная цифра; nelff-

- число цифр, входящих в период. Составим уравнения относительной:

/Оп в

= 4 6Z ...

Ьп

с6, &г ...

6л ) или

ЮП-& = éf Sz ...

 

t ß -

 

В ( Ю п- і ) = Sl 6t . . , £ a i

 

ß s

4 4a---

К

4 4а -

■4 t

 

Юа - І

 

9 9 ...

9

n раз

и мы узнаем хорошо известное из школьной арифметики правило пере­ вода периодической дроби в рациональную дробь.

89

ОБЩЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим периодическую дробь общего

вида

 

 

 

л

= о а

. а

6 6. ... 6 Ь Ь„ ... Ь .. .

Пусть 5 = 0 ,

(bt 6ä . . . 5 rl)

есть периодическая часть нашего разло­

жения. Тогда можно записать, что

a' aZ . . . а .

t Ю'”1-ß (Г*to’nt/o'Srltю 3ѣ+...)

Выражение в скобках - бесконечная геом.етрическая прогрессия, зна­

менатель которой есть

 

Ю'

 

Сумма этой

прогрессии

есть

1

и потому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-Ю'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А=о,

а

а . . . . а

+

— — —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’

 

/ “Л

 

 

1-/0-П.

 

 

 

 

 

Мы опираемся здесь на следующий факт:

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА. Если fcjl-t I

 

, то

I t q t q ^ t . . .t <ja t . ..

 

 

 

Доказательство последнего утверждения опирается на лемму I и 2.

ЛЕММА

I .

Если

iqi < t

,

. т о

q n — о

 

п р

п

 

.

ДБШАА 2. (неравенство

Бернулли). Если

ы . у - 1

и

n e JC,

ТО ( I + U . ) ^ > I t f l U .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (по индукции). При а = I утверждение верно,а

именно: ( / t u .)1 >

I tl ■ы..

 

 

Допустим,

что

п р

п=к

неравен­

ство Берулли

 

a+oij* > / t k u

 

верно. Проверим,

что п р

п - k t l ,

оно

сохраняется,

т . е .

в е р о ( 1 + ы . г 1 у

It

(Itl)oi .

Для этого

( і +оі)* у

{ t k u

 

.

 

умножим на

і+ы.>о:

 

 

 

 

(1+oL)

(itu) > (It kot-t(LtoL);

 

 

 

 

 

 

 

 

(JtaC)

 

/ > ItoL tkaC +koi St

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t t l

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

(ItoQ

У It (itl)cCtloL

 

 

 

 

 

Отбрсывая последнее

слагаемое

(

k u ß > o ) - ,

получим

 

 

 

 

а

t u t 1*1

у i t

( b i t и..

 

 

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ I . Пусть

0 <

q t.

i .

Тогда можно счи­

тать, что

<j -

-

,

 

 

 

где

и у о .

Отсюда

следует,

что

h

 

 

 

 

 

 

 

ѴіШ- O ^q

А. -

■ti

 

 

 

 

Цп= (ItU) 7/ I t flot 7 TLaC

 

 

 

 

 

90

И если п. неограниченно увеличивается, то правая часть последне­

го неравенства может быть сделана меньше любого наперед заданного положительного числа (или, по определению, говорят в этом случае,

что пределоы дроби ( '/ ■ 1/ п ) является нуль). Кроме того, q n

заключено между нулем и дробью, предел которой есть нуль. По тео­ реме о законности перехода к пределу в неравенствах (эту теорему

мы не

доказываем

здесь) приходим к выводу,

что предел

q ’1

есть

нуль.

Если

q * o ,

то

считаем,

что

q =

-

,

 

и

тогда

 

 

I I

 

 

Л.

1

1

 

и

опять

q

ц

 

при

п — » .

 

- 5 . - Ц

* Я

^

’

 

~~ о

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

sa

= i + q t q 2+

+

 

■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

j

 

 

лѴ/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я*«.яЯ+Я +Я *--- + 9

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m l

 

!

 

. я //

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ Л

 

 

 

 

1-я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l-q

 

 

l-q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

Но если

iq i< I ,

 

то

предел

q

 

 

лри

есть

нуль

(лемма

I ,

примененная к

q rl't{ =q - q !L

) .

. Итак,

 

 

 

3 -*■ —■—

при

п -*■<*<=

 

или

 

 

 

 

 

 

 

•Ч

i- q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

li-q tq * * ...

i-qn + . . . = j ^

 

.

при

/q/ і

1 .

 

 

 

 

 

При доказательстве теоремы мы столкнулись с последователь­

ностью

( J

)

 

(определение

 

см. на

стр^

84) .

 

 

 

 

Определение'предела числовой последовательности. Число 3

называется

пределом числовой последовательности

(‘ sn)

,

еояи

для любого положительного числа £

найдется такой номер n e f f

(который зависит

от £

) ,

что

для

всех

п е М

и

п>по

 

верно

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/Jn- s / ■££ .

 

 

 

 

 

 

 

Обозначения, s = к т или х при . Этим определением мы воспользуемся при вычислении длины

окружности (см. стр. ІГ7).

91

Смотрите также файлы