Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.07.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 1
Чтобы получить окончательный график, для каждой точки графика из правой полуплоскости стропы точку, симметричную относительно вер
тикальной оси Оу. |
- Эскиз графика готов. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
И в этой задаче можно отчасти проверить себя, проверить ход |
|||||||||||||||||
построения |
графика: если |
|
|
то |
іхі = - х , |
и наша функция |
|||||||||||
у^хЯ-х-І или |
y = x £- x t^ - ij-l |
|
|
■ График этой функции получа |
|||||||||||||
ется из графика стандартной функции |
|
|
|
двумя последователь |
|||||||||||||
ными сдвигами: во-первых, |
вправо вдоль |
|
оси |
Ох |
на |
отрезок |
дли |
||||||||||
ны *[л |
; во-вторых, |
вниз |
вдоль оси |
Оу |
|
|
на |
отрезок |
длины ^ ■ |
||||||||
Другой путь проверки-построить график функции |
у=х&-х -1 |
, |
|||||||||||||||
выделяя |
точки Ло ft j |
;■- ф ;Ц С0;-1); Д, ( |
|
|
О), |
Л3 ( Я К - 0) . |
|
||||||||||
Затем сравнить его |
с частцю построенного графика для |
х+О. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение |
пятой задачи |
|
|
|
|
|
||||||
Условие: доказать, |
что |
если |
£ + j r |
= -j- |
|
и |
ас ?o, |
то |
|||||||||
|
|
|
|
|
atè |
|
atb |
7,4- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ba-è |
+ Вс-6 |
L +L -і |
получим, что |
|
||||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условия |
|
||||||||||||||||
Вас |
|
|
|
6ФО, |
|
|
а |
с |
ь |
|
и з-за |
того, |
что |
||||
6-a te |
|
|
|
|
так |
как |
a t e ФО |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ас>о. |
|
|
|
|
Лас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a t é |
|
* ate |
|
|
а (ata) t&aa |
|
a t3 c |
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Л а-6 |
|
|
ate |
|
Ва c a te ) -Вас |
|
|
Ва |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лас |
|
|
|
|
|
|
Bate |
|
|
|
|||
|
ctè |
|
Ot а+а |
|
ecatc) t Лас |
|
|
|
|
||||||||
Вс-Ь |
|
Вс |
. Лас |
|
Во cate)- Вас |
|
|
Вс |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a ta |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее |
|
|
|
at6 |
_ |
eté |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a t За |
|
3 a tc |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ßa-6 + Вс-6 |
Ва |
|
, |
в с |
|
|
|
|
|
||||
Но правая часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
at3e |
B ate |
Вас t6 e &t 6 a &tBaa |
S a ct3 (a &t é ) |
|
|
|
||||||||||
|
Ва |
і |
Вс |
|
|
|
Чае |
ае |
|
|
Вас |
|
|
|
|
||
Рассмотрим дробь |
|
a&ta & |
а & |
а |
|
с |
|
|
|
|
|
||||||
|
ас |
|
ае |
' аа |
с |
|
а |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как |
|
ас>о, |
- |
то |
а |
+■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22
и мы делаем |
вывод, что действительно а+6 |
с+Ѣ ъЧ. |
|
Напомним доказательство того, что при |
аа>о |
справедливо |
|
очень важное |
неравенство ~ +^~ ?£■ |
|
|
Предположим, что оно верно, и преобразуем его с помощью тождественных преобразовании к очевидному неравенству. Так как при этом равносильности неравенств не нарушится, то приходим к I заключению, что данное неравенство при данных условиях (ас?о) ‘верно.
|
а_ |
а^+а&-йаа |
( а - О |
& |
|
|
||
|
~й |
аа |
>о |
ас |
- 7/0 ■ |
|
|
|
Равенство достигается |
при а= е . |
В этом |
случае |
будет |
Ь-а, |
|||
и в исходном неравенстве достигается равенство. |
|
|
|
|
||||
|
Замечания. I) То, |
что мы доказали,называется "условным тож |
||||||
дественным неравенством". Слово-"условный" означает, что числа |
||||||||
а,6,с |
не любые, а связаны двумя условиями |
/— |
|
Q |
и |
асуо). |
||
|
|
|
|
( Q. С |
|
у |
||
|
2).”Для доказательства неравенств применяют один из следующих |
|||||||
двух |
путей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
оі) Исходят иа неравенства, |
которое надо доказать, и последо |
||||||
вательно заменяют его равносильными неравенствами, пока не дойдут
до очевидного неравенства. Так как |
на каждом шагу |
получалось нера |
|||||||||||
венство, |
равносильное данному, |
то тем самым справедливость данно |
|||||||||||
го |
неравенства доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Например, |
доказать |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 4+âO> ? х 2 +£,х, |
|
|
|
|
|
||||
|
что |
равносильно |
неравенству |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
X |
7х |
£ X +&0 >О |
|
|
|
|
|
||
|
или |
|
|
|
|
|
+3>0, |
|
|
|
|
|
|
|
ш. |
о |
& |
( x - ü |
о |
|
значит |
неравенство |
доказано, |
||||
|
(X -Ч) |
7/0 , |
7/0 , |
||||||||||
|
уй)Исходят из какого-нибудь |
очевидного |
неравенства и-заменяют |
||||||||||
его неравенствами-следствиями до тех пор, пока не |
прядут |
к дока |
|||||||||||
зываемому |
неравенству’.’ Алгебра, |
[2{|, |
|
|
|
|
|
||||||
|
Например, можно прочесть доказательство неравенства |
|
|
||||||||||
в |
обратном порядке, |
т .е . |
исходим из |
того, |
что |
сі-а)% о, |
, . исполь- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
5 |
Гос- |
пуСляч::-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
нту чкоте ч |
чо (;т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
оиСлиоте:т |
GCC |
|
зуем условие |
ас уо |
получаем |
неравенства-следствия: |
|
||||
са-сА |
. |
|
<2 т Е а с + с л |
> о |
а „ с |
|
|
|
|
|
|
|
ас |
c - s , a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, наконец |
то неравенство, |
которое хотим доказать: с |
а |
|
||||
3) |
Как доказывать неравенства? Рецепта доказательства |
в об |
||||||
щем случае |
нет. Что значит доказать неравенство? |
|
|
|||||
Определение I . Неравенство j |
са,Ь,с) -с ас а,Ь, а) |
выполняется |
||||||
тождественно, |
если |
множество |
решений этого неравенства совпадают |
|||||
с областью определения неравенства. |
|
|
||||||
Определение 2 . Доказать |
неравенство, означает доказать |
утвер |
||||||
ждение, что данное неравенство выполняется тождественно (см. также
обоснование |
решения неравенства в |
решении третьей задачи,, стр. 18). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение шестой задачи |
|
|
|||||
Пусть |
|
ВС |
- |
общее |
основание |
треугольников ЙВС, ВЕІЙС |
||||||||
СРІйВ. |
Нам требуется найти множество |
точек, которое |
занимают на |
|||||||||||
плоскости |
|
точки |
|
Е, |
F. |
Если |
мы изменяем положение |
точки й, .то |
||||||
изменяются |
боковые |
стороны |
й& |
и ЙС, , изменится и положение |
||||||||||
точек Е |
и F . Однако по условию должны сохраниться соотношения |
|||||||||||||
между боковыми сторонами flß , |
ЙС |
и |
отрезками C F , |
&£ |
соответст |
|||||||||
венно. А именно, |
|
ВБ і ЙС, |
СРійВ■ Значит при перемещении вершины |
|||||||||||
й в треугольниках |
ВСЕ |
и |
ВСЕ |
сохраняется сторона ßCt а углы |
||||||||||
ВЕС |
(в |
треугольнике |
ВСЕ |
) остаются прямыми. |
|
|
||||||||
Определение I . В рассматриваемом случае говорят, что отрезок |
||||||||||||||
ВС |
виден из |
точки Е |
и из |
точки F |
под прямым углом. |
|
||||||||
Геометрическое место (множество) точек, из которых данный от |
||||||||||||||
резок виден под прямым углом, |
есть |
ок]ужность, диаметром |
которой |
|||||||||||
служит данный отрезок ßC. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: основания искомых высот образуют окружность, |
диаметр |
|||||||||||||
этой окружности совпадает с данным основанием. |
|
|
||||||||||||
Использованы теоремы и |
определения. |
|
|
|||||||||||
Определение 2 . Окружность - множество точек плоскости равно |
||||||||||||||
удаленных |
|
от |
данной |
точки. |
|
|
|
|
|
|
||||
ТЕОРЕМА |
I . |
Геометрическое |
место точек, расположенных по одну |
|||||||||||
сторону от прямой, из которых данный отрезок этой прямой виден |
||||||||||||||
под данным углом, есть дуга окружности, имеющая своими |
концами |
|||||||||||||
концы данного отрезка. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ТЕОРЕМА 2 . Угол, вписанный в полуокружность, прямой (это след |
||||||||||||||
ствие |
из |
теоремы |
об измерении вписанного угла). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
Определение 3. Углом, вписанным в окружность, называется
угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.
ТЕОРЕМА 3 . В прямоугольном треугольнике медиана, выходящая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (на основании
утверждения, что диагонали прямоугольника равны между собой). ТЕОРЕМА 4. (обратная теореме 3 ) . Треугольник, в котором меди
ана равна половине соответствующей стороны, прямоугольный (вытека ет из утверждения, что всякий параллелограмм, в котором диагонали
равны, |
- |
прямоугольник). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. Мы постарались решить геометрическую |
задачу |
без |
||||||||||||
чертажа. Это может показаться оригинальничаньем. Однако часть |
||||||||||||||
математиков считает, что чертёж только мешает |
развитию |
геометри |
||||||||||||
ческого |
воображения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Решение седьмой |
задачи |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Для решения задачи посмотрим, что |
||||||||
|
|
|
|
|
представляет собой |
сечение пирамиды |
||||||||
|
|
|
|
|
плоскостью |
Х Р М , |
провёденной через |
|||||||
|
|
|
|
|
точки |
К ,Р , Н |
• |
Треугольники ЙВС |
||||||
|
|
|
|
|
тикер |
подобны, следовательно, |
КРИ |
|||||||
|
|
|
|
|
И ЙВ. |
Тогда |
KP |
параллельна плос |
||||||
|
|
|
|
|
кости |
(IBS |
; |
KP - J ЙВ- |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Секущая плоскость |
пересечёт |
грань |
|||||||
|
|
|
|
|
ЙВS |
по |
отрезку E F , параллельному KP, |
|||||||
|
|
|
|
|
а следовательно, параллельному и ЙВ. |
|||||||||
|
|
|
|
|
Проведём |
среднюю линию МД |
треуголь |
|||||||
|
|
|
|
|
ника |
$ e s , |
ЕД = В Д - В Р |
, |
М Д UBS. |
|||||
Заметим, |
что |
BE - |
средняя линия |
треугольника |
М Д Р , |
откуда |
В5 = |
|||||||
= £МД - KßE. |
Значит, EF |
ЙВ |
(треугольники |
йBS |
и EFS |
|||||||||
подобны). Площади подобных треугольников относятся, |
как квадраты |
|||||||||||||
сходственных |
сторон, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
S |
= — |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
üE FS |
16 |
ä flB S . |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть V - объём пирамиды . |
за в а . |
|
При вычислении |
объема |
||||||||||
пирамиды |
3EFM |
целесообразно |
за |
основание |
принять грань |
EFS . |
||||||||
Тогда |
высота |
И |
этой пирамиды из |
точки М |
будет |
равна половине |
||||||||
высоты |
Нс из вершины С |
пирамиды |
СйВІ |
, |
ибо |
м |
- |
середина |
||||||
ребра |
es . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
s*
Имеем
" у |
- і |
и . в |
|
i |
-Hé — s |
—H„ -S |
|
M&Fі |
з |
пм |
üsrs |
з |
" I |
16 3 Йд$ 32, |
3 с i № |
Объём нижней части пирамида будет составлять |
|
||||||
объёма пирамиды |
ЗвВС . |
|
Отскща искомое отношение есть 9 : 23. |
||||
Сформулируем ещё |
одну |
задачу: имеет ли фигура, состоящая из |
|||||
двух скрещивающихся прямых, центры симметрии? Сколько их? Тот же
вопрос |
относительно |
осей |
симметрии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
восьмой |
задачи |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Имеем |
п + 7 а - + к п 2) = п - + / 4 п г'+Цд=(ті&+7)* |
|
|
|
|
|
||||||||||||
По условию |
п |
- |
нечётное |
число, |
что можно |
записать |
так: |
n -Zk+1, |
|||||||||||
где к |
- |
любое |
целое |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Значит, можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
с п ^ ) 2- = [ ( è U l f + l f = |
Гкк£+ 4к+і+7)& = |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
=[4 C k â+ k + £ )f= |
!6 (k 2 +k+ß)â - |
|
|
|
|
|
|
||||||
Выражение, |
стоящее в |
скобке |
ск^+ к+к), |
на множители |
не |
раз |
|||||||||||||
лагается. |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
Ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Нам надо |
убедиться, |
что |
|
при любом целом |
к |
|||||||||||||
|
( к К +к+к) |
||||||||||||||||||
делится на |
4. |
Это обстоятельство |
будет иметь место, |
если к г +к+2 |
|||||||||||||||
делится на два, |
другими словами, |
к 2 +к+к- |
является |
чётным числом. |
|||||||||||||||
Убеждаемся в последнем утверждении так: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Первый |
случай, |
к |
- |
чётное |
число, тогда (по основной теореме |
|||||||||||||
арифметики, |
см. |
стр. |
80) |
число к 2 |
тоже чётное, |
и |
k &+k+â |
||||||||||||
есть сумма трёх чётных чисел, а, |
следовательно, |
при к |
|
чётном по |
|||||||||||||||
лучаем, |
|
что |
|
к 2 +к+3, |
|
чётно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Вторюй |
случай, к |
- нечётное |
число, тогда |
к 2 |
- |
тоже |
нечётное, |
|||||||||||
и |
Ск&+к) |
’будет числом чётным, откуда следует, |
что |
к 2+к+& |
|||||||||||||||
чётное. Заметим: можно доказать, |
что |
4к (к+О |
|
всегда |
делится на |
||||||||||||||
8 |
(см. С* ) ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Другое решение задачи |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
При |
« - / |
|
имеем |
|
п ѵ+7(7 +ânz)= 1+63-64, |
данное |
выражение |
на 64 |
||||||||||
делится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26
А