Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.07.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Хеш-г.

§ 4. Типовые воздействия

Ч

a) ЕД!Щшшмзт^^^

Входное воздействие вида

/,і

JO при / < О

 

' М Ѵ

~ [ І при г? > 0

(3.1) .

называют единичной ступончатой функцией, функцией сайда или единичным толчком (рис. 3.6,а),

Если на вход цепи подается воздействие в виде функции ХевисайДа яѳ в момент времени t = Q, а с опозданием

на время t, (ри<.3.6,0),но сигнал записывают

следующим

образом :

 

'О при / < t..

 

і при / >t]

^3"2'

154

Если включение единичного сигнала происходит с оп режением на время t2 > то входной сигнал в таком случае записывают так:

 

 

 

f o при

t<-tt

 

(3.3)

 

 

1.1 при t>-u

 

 

 

 

 

 

4

Ktl

 

 

 

У

Ht-tj

 

 

 

1

•

—

 

4

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

t

 

О

 

 

L

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис Зоб.

 

 

 

Функции (3.2) и (3.3) называют смещенными.

_ .

 

Единичная ступенчатая функция

имеет • разрыв

непрерывнос

 

первого рода, причем значение функции

Б точке раз

 

рыва не определено. Однако в ряде случаев этим функция

 

приписывают в точке разрыва вполне определенное значен

 

причем выбор того или иного значения связан

с особенн

 

ми решаемой задачи. В курсе ТЭРЦ обычно функцию Хѳвисай

 

записывают

следующим образом:

 

 

•

 

1 ^

= f o

при

t

< О

 

 

 

 

 

[ і

при

t

д .

 

 

Постоянное напряжение U (рис. 3.7,а), к которому под­ ключается цепь в моме:'т £ = 0 , называется ступенчатым воздействием или функцией включения постоянного напряже­ ния, функция включения аналитически записывается следующ образом:

155

[_U при t > 0 ,

Если цепь отключается от источника э.д.с. с напряжение Ü в момент І s 0 (рис0 3.7,6), то такое непряжение называют функцией сброса или функцией отключения и за сывают так:

/

л

• I ,/'\ [U

при

t

< О

 

М0 -'></-'А>"[о

при

/

> 0 .

<3'б>

 

и

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

а)

 

61

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.7.

 

 

 

 

Функцию

0).f(o-t)*

I при

^

<

О

 

 

О при

І

>

О

(3.7)

 

 

 

 

называют единичной функцией сброса (отключения).

 

Из определения единичной функции следует,что

умно­

жение любой непрерывной в интервале времени от t

= -

до t - °о

функции f(t)t

показанной нарис. 3.8,а,на

единичную функцию превращает ее в разрывнуюсо следующи­ ми особенностями:

при І < О ри t > О

156

Это свойство единичной функции называв і'ся формирую­ щий и графически показано на рис. 3.8.

Рис. 3,8,

Единичная функция позволяет получить аналитическое вы­ ражение функций, заданных графически. Так,функция^прад.:- ставленная на рис -3.9э может быть изображена в виде":

 

— i

FU3)

 

F (оі I

F. (t.

а

'j

 

 

 

 

 

Рис. 3.9.

Операторное изображение единичной функции равно -г •

г

15?

 

 

б) дальта-функцин

Дельта-функция - это функция (рис. 3.10,а), опреде­

ляемая

1

выражением

 

 

jj

1»

 

 

t

 

t

0.

0

 

5)

 

 

зло.

 

t

Ф 0,

• (3.8)

t

= 0 ,

У''

 

 

причем интеграл

 

 

 

 

(3.9)

Значит, дельта-функция - это такой импульс, у которого амплитуда ООСКОНЧОНО большая при бесконечно малой продол­ жительности, а площадь, ограниченная импульсом\ равна единице. Дельта-функцию иногда называют функцией Дирака, импульсной функцией первого порядка или функцией единично­ го импульса первого порядка.

Смещенная дельта-функция (рис.ЗЛО,б) определяется

равенством

 

 

 

"О при t

4

ti

 

_<» при t

-

tf '

ay«j «этом

интеграл «=

 

 

 

IÔU-tt)dt4.

 

 

 

-о»

 

л

Если

площадь импульса воздействия о и не равна еди­

нице, то такое воздействие называют импульсным воздействием 4 обозначают ffa(t) - Sa äff) .

Условия (3.8) и (3.9) с позиций классического катеѵатйчѳского анализа оказывается несовместимыми. Дельта-фун ция относится к классу так называемых обобщенных ФУН Й ее обычно рассматривают как предел поолѳдоват.яя ѵ-ѵот дельта-образных гладких функций, таких, лзпрішвг.

зек как

 

 

oft) в {СтА(Ц)*ит

:

с».II)

Причем,при / = 0

 

 

а пра І ?t О

 

 

Um

À

:~\ - 0

 

я

/ f f

/'

I I I

Таким образом.; функция, определяемая ; ак предал по

ледовательности функций (ЗЛО) при /) ^

у

является функцией Дирака» Графическое изображение функц (ЗЛО) гіри различных Л приведено нарис. З.П,а.

я-s

•ai I

Рис. ЗЛІ.

Иногда функцию Дирака аппроксимируют разрывными функци ми Хеви^айда. Последовательность функций

153

, , , ,

,

 

=

<(*>7)-ф-Ь

 

f S [ l

,AJ

j

, ( 3 . I 2 )

имеющих импульсы с высотой

и длительностью Л

(рис. 3,11,б), при

Л — 0 сходится к функции Дирака, т.ѳ.

 

 

 

 

A

 

На промежутке ( -

A

,

f -~ J

высота импульса кусочно-

ненррравной функции

(ркс. 3.11,6) при À

0 неограни­

ченно возрастает,

нопри этом площадь, ограниченная такой

кусочно-непрерывной функцией,при любом значении /і рав­ на единице, т.е. А

Функция Дирака обладает важным фильтрующим свойство ксторие определяется следующим соотношением :

ff(t)

S(t -1) dt

- fft,)ßt

-tt)df

= f(t) •Jb(t~t,)dt, -

• f ( t . ) , ' - f f m ( H } * - № ) .

 

( 5 . I 5 )

так как при t

= t,

функция /(t)

имеет значение,

и

выносится за

знак интеграла

при интегрировании в беско­

нечно малой окрестности точки

€>G

и представляет

собой

произвольно

даі.ую величину.

 

 

 

Нетрудно показать, что

 

 

 

 

 

 

lf(t)ê(t-t,)dt

 

 

-Г(І,).

 

м."*ду единичкой функцией Хѳвисайда i(t)

и функцией Дира-

Кс.

cj-.яствует тесная связь, йз определения дѳльта-

функиив следует,

что

 

 

 

 

Формальное дифференцирование равенства (3.14) при­ водит к соотнонѳнию

160

Смотрите также файлы