Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
h(t)~-ü'(i)l(t) |
f û(0)é(t) |
, |
|
(3.20) |
|
где Q'(t) |
- производная от переходной функции в аналити |
||||
ческом смысле. |
|
|
|
|
|
Если "переходная функция о({) |
при / = 0 равна |
||||
нулю, т.е. a(Q) |
~ 0, то связь между импульсной-и пере |
||||
ходной характеристиками можно |
записать на основании вы |
||||
ражения |
(3.20): |
|
|
|
|
htö |
- i\ü(t) |
- it))-jt |
o(t) |
• a'(t). |
(5.81) |
импульсные характеристики имеют размерность соответствую щих переходных характеристик, деленную на размерность времени /. Зто следует из выражения (3 . 21) . Соотноше ние (3,21) можно записать следующим образом:
|
|
a(t) |
« Jk(t)di |
- Jh(i)dt, |
ѵЗ,2І5а) |
|
так как |
à(i) |
при t |
<-0 равно нулю. Причем это выра |
|||
жение |
справедливо как для |
Cl (0) |
= 0 , так и для |
|||
Q(0) |
4 |
0 . |
Выражения |
(3.20) и (3.21,а) представляют |
||
собой уравнения связи между переходными и соответствующ
ми импульсными характеристиками |
цепи. |
|||
Если дельта-функция запаздывает.на какоѳ-то время |
||||
t) . |
то нѳ такое.же время запаздывает и импульсная |
|||
функция. Если воздействием является импульс |
||||
с- площадью Sv |
, 'то в силу линейности цепи реакция равна |
|||
Su/l(i). |
Эти соотношения можно представить в виде .у'.; |
|||
табл. 3.3. |
|
|
|
|
|
|
|
T а блица 3.5 |
|
Воздействие - |
Ш) |
M-t.) |
|
|
Реакция . |
Ш) |
kft-U |
5uh(t) |
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
J |
I ?0
Известно, что любая электрическая цепь /î-го порядка с сосредоточенными параметрами полностью описывается диф ференциальным уравнением того же порядка:
а, |
С(') |
> а„-СИ) |
*...*а&W |
' |
в.4,(ß- |
|
где |
f$*(t) |
~ воздействие,т.е. приложенные к цепи на |
||||
пряжение или ток; |
|
|
|
|||
|
Ньп |
~ и с к о м а я |
реакция цепи |
назаданное воздейст |
||
вие, т.е. гзпряжение или ток любого |
элемента цепи; |
|||||
fßux^> fh^tt) |
- производные по |
времени |
соответствен |
|||
но Л -го и |
m -го порядков от выходного и входного |
|||||
сигналов; |
|
|
|
|
|
|
On, |
О-о. &т, •••/h |
~ постоянные положительные коэффи |
||||
циенты, определяемые параметрами элементов и структурной цепи. Если воспользоваться прямым преобразованием Лапла са, то выражение (3.22) принимает вид:
(а*Р*' ' ап-<Г*-* |
°>Р * °')Ъ»хМ |
= |
*(ômp%S„.tp«"*...*ô,p*â.)b(p), |
С 3 , 2 3 ) |
|
где Fhx{p) * ffoU) |
; |
|
FSx(p) = f5x(t).
Из уравнений (?.23) следует, что изображение реак ции любой линейной цепи И -го порядка на произвольное
воздействие равно |
|
|
/ѵ in)- &тРт |
* &>»*<pm'l+-- + &rP |
с / I , |
Если воздействием является единичная ступенчатая функция, то реакцией цепи будет переходная характерй~стика П(і).
В этом случае выражение (3.24) можно записать в следующем виде:
If) 'M?) - i• ѢСфС^бГ^. , (5.25)
A(p) * a(t).
При входном воздействии ^ / реакция це пи численно равна импульсной характеристике цепи, поэто му вместо выражения (3,24) имеем:
где |
|
|
|
'Ъая(р) |
П РИ FSK(P)^, |
причем |
H(p)~h(i). |
Из выражений (3.25) и (3.26) следует, что |
временные харак |
||
теристики - переходная и импульсная переходная - полностью
определяется параметрами и структурой цепи, т.е. коэффи циентами On,...;û3 . Д.,.,,..., ê„ к исчерпывающим образом ха
рактеризуют все динамические свойства цѳпи, в частности: постоянную времени цепи, скорость нарастания переходного процесса, его длительность и характер, максимальные зна чения переходных токов и напрях:ений и т.д.
Изображение реакции цепи на единичное импульсное воз действие называется передаточной функцией К(р) • Поэтому выражение передаточной функции К(р) совпадает с изобра жением выражения импульсной характеристики.
Если входным воздействием является напряжение, а реак цией - входной ток, то согласно выражению (3.24) оператор ная проводимость цепи также совпадает с изображением импульсной характеристики: У(р) h ( t ) .
Изложенное аыке позволяет установить ;:орядок определения лмпульскых характеристик.
$ 6. Г=:рядок ресче-тэ имп/льоких характеристик ликв/и.ой цепи
u Саера^орц;.' истодом опрзд-лить изображение реакции, вызванной •ЗХОДНг-: й.гЗДѲЙСХЬИй//
с. Приравнять • -Ч iß) ?диа.ч-дѳ ;• записать изображение искомой имлульсной ;с ^яктор:'••!•:<?л.
3. По лззастному изобрахсін-.:с ,:аі;т • орагѵнаг импульсной характеристики.
17?
Этот порядок расчета непосредственно следует из вы ражений (3.24) и (3.26) и используется в том,случае, ког да требуется установить только импульсные характеристики заданной цепи.
Если переходная функция цепи задана или ее легко найти, то для определения соответствующейей импульсной функции используют уравнение связи (3.20) между этими характеристиками.
Пример 3.3
Определить импульсные характеристики цепи, состоящей из последовательного соединения Г vi С элементов
(рис. 3.15). _
Ut) г
Рис. 3.15.
Решение
Дня определения импульсных характеристик воспользуем ся операторным методом:
I . Изображение тока в заданной цепи
Изображение падения напряжения на активном сопротивлении и емкости соответственно равны
UM -г II?) |
Р |
Ii '/••• |
|
||
|
|
2 . Если
представляют собой изображения импульсных характеристик
. соответственно но току и напряжению на активном сопротив лѳнии и емкости.
.Таким образом:
Р |
_ у.. / |
/ |
HUJP) = Je ' |
' |
|
3. Находим оригиналы полученных изображений и полу чаем следующие выражения для импульсных характеристик по току и напряжению на активном и емкостном элементах цепи:
где |
и с |
ГС |
|
Kit) |
= Нар); à,r(i)^Hjp) ; |
hUc(t)*HUc(p). |
|
Для проварки іолученных сражений |
аоспользуимся фор |
||
мулой связи (3 . 2 Ü ) |
между переходными и импульсными харак |
||
теристиками цепи» |
|
|
|
Выражения переходных характеристикпо току и напряг жѳнию для данной цепи были получены в примере 3,1 и имею следующий вид: . у/{)л J_ , g "k* •
é
,Ku/J}-P~* •
Поэтому импульсные характеристики рассматриваемой цепи равны
174
Эти выражения совпадают с соответствующими импульсными характеристиками, полученными о помощью операторного метода.
Пример 3.4 |
" |
Определить реакцию цепи на воздействие в виде импуль |
|
са прямоугольной формы |
(рис. 3.2,а), если переходная |
функция цепи Q(t) известна, а длительность импульса tu. значительно меньше : постоянной времени цепи Г,
Решение
Представим заданный импульс в виде двух ступенчатых воздействий (рис. 3.2,6). Первое воздействие,приложенное
в момент времени 1=0, представляет собой функцию вклю чения U-fit) и вызывает, реакцию цепи f}ßm (і) - U û(é).
Второе воздействие,приложенное з момент времени t'*tu t представляет собой запаздывающую функцию включения ^вы
зывает, реакцию цепи /г^/х |
(і) - ~ U o(f |
~tu) • |
|
В соответствии с. принципом наложения, |
реакция цепи на |
||
заданноо воздействие равна |
|
||
4 . Д О |
• f,b(t} |
•**,*(*).'uW**(t-t.}]. |
|
где а(і)*0 |
при t - 0 |
и Q(t-tu)*0 |
при t<t u . |
В интервале времени Q<t^tl! импульс практически предстьѵі»чѳт собой функцию включения, поэтому реакция в этот лромѳжуток времени равна