Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
|
Г(І)-Ш). |
.(3.15) |
|
|
Аналогичный образом |
|
|
|
[ 0 |
при t <te |
|
|
I |
При f > t0 |
|
или |
if |
|
|
Jâ(t,-t.)at,«/(t-t.), |
|||
|
|||
Поэтому
r(t-t.)*o(t-t.);
Таким se образом
Практически получить импульсное воздействие, описы ваемое дельта-функцией, невозможно. Введение' таких функ ций для анализа электрических цепей оправдывается в том случае, когда на цепи воздействуют короткие однополнрныѳ
импульсы. Операторное изображение |
дельта-функцйи равно |
||
единице, изображение по Лапласу импульсной функции |
|||
равно |
так как |
„ |
„ |
|
g(t) * G(p) «Jß)e'ptdt |
- Д д а Л ' S . . . |
|
|
§ 5, |
Переходные характеристики |
|
Реакция цепи при нулевых начальных условиях на Типо |
|||
вое воздействие |
в виде единичной функции называется пере |
||
ходной характеристикой |
|
||
Другими словами, переходная характеристика - это пе реходный процесс з одном из элементов цепи, вызванные при нулевых начальных условиях воздействием в виде функции Хѳвисайда. Математическое выражение переходной характерис тики обычно называют переходной функцией и обозначают в общим случае через o(t) .
Поскольку воздействием может быть единичный скачок напряжения ил» тока в одной из активных ветвей сложной ц
І7..3ак.730офо ' 161
пи, a рѳакцией-ток Б одной из ветви И Л И напряжение на лю бомэлементе, то, очевидно, получается целое множество переходных характеристик для одной сложной цепи.
Из условия линейности следует, что если на вход цепи по дать воздействие в виде функции включении напряжения
E'l(t) |
или тока J- /(t) , |
то переходный процесс в |
любой вотви (элементе) цепи |
будет представлять собой со |
|
ветствующую переходную характеристику, увеличенную в £ |
||
или J |
раэ^ |
|
Следовательно, если воздействие представляет собой функцию включения напряжения, то переходную характеристи ку можно определить как отноление переходного тока или напряжения некоторого элемента цепи к ВОЛЯЧКНО входного напряжения. Переходная характеристика поззсляѳт опреде лить ток иля напряжение любого элемента цепи, вызванных подключением к цепи источника входного напряжения.
Так например, если заданная цепь (рис. 3.12) подклю чается к источнику постоянного напряжения при нулевых начальных условиях, то токи ветвей можно записать:
і, г EaJéJ . іг = £аг (t) и і} = Ea3(t).
. Рис. 3.12.
В общем случае |
|
|
|
|
' |
- Ea(f) . |
<»•«> |
где QK(i) |
- соответствующая переходная характеристика |
||
цепи. Очевидно, что в данном случае переходные характе ристики имеют размерность проводимости й измеряются в те же единицах ( См ) , что и .обычная проводимость.
162
Поэтому переходную характеристику, позволяющую при извест ном входном напряжении определить ток в ветви, называют пароходной проводимостью.
іереходнан проводимость является функцией времени и
обозначается |
Y(i)} ^ (і) |
или |
u/t). |
|
Если Б |
выражении (3.16; |
принять |
E-l(t) |
то |
LK=a.*(t)^(t)---a*(t)-
Таким образом, переходная проводимость любой ветви цеп числьнно равна току ік (і) в этой ветви при подключении цепи к источнику постоянного напряжения в I В.
Переходные характеристики позволяют также определить паде ния напряжений на элементах цепи.
Обозначим напряжения на сои;.-отии;-.и:<ии ^ |
и на |
индуктивности |
||
возникающие при ПОДКЛЮЧЕНИИ К :;«ГОІ |
(рис. 3.12) постоян |
|||
ного напряжения, соответственно :соаз |
а, |
и и, . |
||
Согласно |
определению переходных характеристик |
получим |
||
где а у |
- переходная характеристика по |
напряжению |
||
ка активном сопротивления г} и OLUL(t) |
|
- переходная |
||
характеристика по напряжэнию наиндукт;: ости |
эаданной це |
|
пи. |
|
|
Поэтому |
|
|
ur^EaUr(t) |
и ut=EauJi). |
(3.17) |
В данном" случае"переходное характеристики |
и |
|
OLUi(£) являютса безразкзрными функциями, зависящими от времени. Переходную характеристику, позволяющуюпри извест ном входном напряжении определить напряжение на элементе заданной цепи, называют, переходным коэффициентомпо напря жению и обозначают (t) .
С учетом этих обозначений выражения (3.17) можно записать:
К. (t) и uL=E Ки (t). (зле)
Индексы при К(і) в этом случае указывают, что пере ходные характеристики определены по напряжениюдля сопро тивления Г, и индуктивности А заданной цепи.
Если в выражениях (3.17) принять F - f ( t ) . то они принимают следующий вид :
Такимобразом, переходный коэффициент по напряжению численно равен напряжению на заданном элементе цепи, если на вход цепи подать постоянное напряжение в один вольт.
Падания напряжений на сопротивлении |
и. индуктивности |
||||
і |
можно записать |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
|
и,~ L |
|
dYM) |
|
|
|
~ u u |
di |
|
||
|
'L |
"dt |
|
||
Выражения (3.18) |
и (3.19) позволяют |
установить связь меж |
|||
ду переходными коэффициентамипо напряжению с соответствую щими переходными проводимостями заданной цѳпйс
dt
Если на вход подается воздействие в .виде единичного скач ка тока, то переходные характеристики, позволяющие опре делить падения напряжений на элементах цепи, называются
переходными сопротивлениями, а переходные характеристики
t
позволяющие определить ток в элементах цепи, называются переходными коэффициентамипо току. Наименования, обозначат., ния и размерности переходных характеристик при входном скачке напряжения или тока приведены в табл^ 3.1.
164
|
|
Т а |
5 л к |
ц о 3,1# |
|
|
Вид воэдоЛствкя |
Искомая реакция |
Переходная |
характеристика, |
ое обоз |
||
|
|
начение и |
раэмориоегь |
|
||
ЕДІІНЯЧЙЫЛ ... |
|
переходный |
коэффициент по |
напряжению |
||
окачок |
|
Кц |
{і) |
, |
безразмерная |
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжения |
L(t) |
|
|
проооднмость Y(t), См |
||
|
переходная |
|||||
Единичный ска |
валпяжепие U(t) |
переходное |
сопротивление |
|
||
чок тока |
|
Z(é)} |
|
Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходный |
коэффициент по |
току |
||
|
|
t |
безразмерный |
|
||
Если воздействие запаздывает |
на какое-то время ^,,то |
|||||
на такое же зремя запаздывает и реакция цепи. Если воздей
ствие увеличивается в к |
раз, то в силу линейности цепи |
во столько же раз возрастет и реакция цепи. |
|
Эти соотношения можно |
представить в виде табл. 3.2. |
Воздействие |
m |
|
К- |
f(i) |
|
|
|
|
|
Реакция |
a(t) |
a ( t - t , ) |
K-a(t) |
x - a ( i - t t ) |
Изложенное выше позволяет установить порядок расчета пе реходных харакі'еристик.
§ 6. Порядок расчета переходных характеристик цепи
Переходные характеристики можно определять о помо щью классического или операторного методов. Если пользо ваться классическим методом, то необходимо:
а) классическим методом определись соответствующую реакцию цепи, вызванную включением постоянного напряжения на входе цепи;.
б) получонную реакцию разделить ка величину напря жения на входе цепи и таким образом получить необходимую переходную характеристику.
Определение переходных функций с помощью операторно го метода сводится к следующему;
а) рассчитать изображение реакции цепи, вызванной подключением к цепи входного напряжения USx(P)',
б) взять Ufa (р) = -р- и получить изображение искомой переходной характеристики;
в) перейти от изображения к оригиналу переходной ха рактеристики и записать еа окончательное выражение.
im
ti.lt)
Vcltl шит С
Рис.ЗЛЗ.
Приы*ѳр 3.1.
Определить все переходные характеристики заданиой цепи (рис. 3,13) при воздействии единичного ступенчатого напряжения.
166
Решение
I« Классическим методом определяем напряжение на емкости, ток s цепи и напряжение на активном сопротивлении:
При t * О |
|
Vc(0)= U + Л - 0 , |
поэтому Я ~ -U и |
|
|
|
|
) |
|
du, |
t |
-M |
|
|
dt |
|
|
|
и? = |
ri |
= |
U-e~* |
|
где P - - -pg |
- |
корень характеристического уравнения. |
||
2* Поделив полученные выражения переходных величин, |
||||
на величину входного |
напряжения U или-приравняв Ü-ffe), |
|||
получим соответствующие переходные характеристики. |
||||
Таким образом, переходные коэффициенты по напряжению на емкости и .на активном сопротивлении, а также переходная проводимость заданной цепи соответственно равны:
иш |
Г |
Ш) |
|
- C Z h |
|||
|
|
||
|
Ur(t) |
|
Рис. 5.14.
KUc(t) ~i-f*
Y(t) Г
167
Пример 3.2
Определить с помощью операторного метода переходные характеристики цени с последовательным соединением Г и
Lэлэмѳнтов (рис. 3.14). Решение
1. Операторным методом находим изображения тока в цепи І(р), падения напряжений на активном сопротивлении Uf(p) и на индуктивности ÜL(p) :
' "m-7Tfr |
- |
uM--rI(P)---rr-pTußx(p)-, |
|
ujß)-ftii(p)- |
-ТЬГ^(Р)- |
2. При |
Ufa(p) = j |
и " о е м |
где Y(p), Кц,.^), ^tiiip) - изображения по Лапласу соот ветстзенно переходной проводимости цепи? переходных коэф фициентов по напряжению на активном сопротивлении и на индуктивности.
Зс Переходим от изображений к оригиналам и получаем
переходную проводимость цепи Y(t) |
и переходные.коэффи |
циенты по напряжениюдля активного |
сопротивления Кѵ (і) |
». индуктивности Кц-(і)'- |
|
168
P* T
Ряд примеров решения задач по теме 3 приведен в прилоч жении УІ.
§ 7. Импульсные характеристики
Реакция цепи, вызванная при нулевых начальных усло виях типовым воздействием вида дельта-функции, называется импульсной переходной характеристикой цепи. Слово "пере ходной" в этом выражении обычно опускают,-
Аналитическое выражение импульсной характеристики называют импульсной функцией или функциейвеса и обозна чают чаще всего через h(i).
Установим связь между переходной и импульсной временными характеристиками линейной цѳпи.
Как известно, для линейных цепей спр-чедливо следующее: если одно воздействие связано с другим определенным ма тематическим законом, то и реакция денежной цепи на. эти' воздействия связаны тем же математическим законом.
Это положение является следствием линейности дифференциаль ного уравнения, описывающего переходные процессы в линей
ной цепи. |
у |
|
|
Как известно, Ôlt/~/^f 'ff/, |
поэтому* рьакциѵ. на эти |
||
воздействия связаны между собой таким же |
обпооок; |
||
h(t)-$[Q(t)4(t))*a'(t]4(t) |
|
+ |
a(o)-i(t).s |
Для удобства переходная характеристика здесь записььае-гс- в виде функции ü(() . Такую запись переходной х&р.-,к- • тѳристики необходимо делать потому, что согласно определе нию временные характеристики отличны e t куля при t £ О
и всегда равны нулю при f < 0 . Этсг. досхиѵают яутем
умножения переходной функции, которая ;:ри І = 0 |
но- ьчъ- |
на нулю, на адиккчное ступенчатое воздействие |
iftl. |
Таким образомкыаульснан функции - это первая про/.очодниЯ по времени от переходной функции:
169