Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.07.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
fx) • Q(t~x)dx7(bv>)
â tet ft,}, Л fgx
(tz}r..,

Если же входное воздействие имеэт разрывы непрерывности . первого ррда, то проще использовать те формулы интеграла наложения, которые не содержат производной входного воз­ действия. При необходимости используют любую форму интег­ рала, но моменты разрывов выделяются. Допустим, что вход­ ное воздействие (рис. З.Г?) имеет разрывы не только при

І ~ О, но и при t ~ tt ,îi tя , причем величины скач,^ ков соответственно обозначим через

Ah

—

О t. t. и ,;

>*

Рис'. 3,17.

В -этом случае вместо (5.3С) получается

• • 4« (0 « È л 4 іѴ • oft-t*) + M

Последнее выралсзис иногда записывается а более компактно общей форме »;ак называемого интеграла Стильтьеса:

йа курса высшей математики иьвѳстно, что .выражения (3,34)

и (>.35) арьдстаялйіют собоЗ пэрвул производную по времени

от свертки дь^ ^ункпик. Le)*a (t).

Нэ основании te^pöMbf умнсжьня* изображений (теоремы свер­ тывания) MOÀHO записать интеграл -Дюжела я операторной фирме:

ТОО

'Fßb,Jp)9P

FsAP]

P(p) >

(3.3?)

P Ä e fait) * ? Ь * ( Р ) ; Ш * Ш

«

a(t)+Hp).

Выражение (3.37) позволяет найти реакцию цепи по извест­ ный изображениям входного воздействия и переходной ха­ рактеристики.

§ IQ. Примерный порядок расчета переходных

процессов методом интеграла Дгоамеля

о Пі.рихо;,ной характеристикой

1 . Определить переходную характеристику Qlt)

2. Выбрать с целію упрощения расчетов соответствую­ щую форму интеграла дюамеля и определить (для первой формы):

з) fgx(o) и Qi't ~Х/, Для этого в исходные выражения этих функций 'подставить вместо І соответственно нуль

или I1'' - X,

-б)

fgx(x) » для этого сначала

найти первую произ­

водную по времени от пункции fgx(t)

и

и полученное

выраі-зние вместо переменной t подставить X .

3. Подставить найденные функции в выбранный интеграл

и получить окончательное выражение искомой переходной

величины.

 

k.

Произвести проверку расчетов.

5 г Подставить численные значения заданных величин и построить графики переходных величин.

Пример 3.5

К цепи, состоящей из последовательного соединения элементов Г v. L (рис. 3.18), прило;»ѳио напряжение

Uklt) -

ni).

Определить ток и .падения напряжений на элементах з цепи.

т) г

- C Z b

Рис. 3.18.

„Решение-.

і . Определяем переходную проводимость и переходные коэффициентыпо напряжению для элементов Г и L.

Как известно„ тон и напряжения на элементах заданной

цепи при включенииее на

постоянное напряжение имеют сле

дукы.ий вид:

^

vwp-—

V

- ai-

 

—

- корень характеристического уравнения

 

данной

цепи. Поэтому переходная проводимость У(()

и

переходные коэффициенты по напряжению на сопротивлении и индуктигностн имеют соответственно следующий вид:

Y ( t ) = т / / ~

182

2. Выбираем для определения переходных: величин третью форму записи интеграла Дюамеля

L x г*;=л. w • * (°) *J*L и определяем

а

поэтому Ylt-^l-.e

3. Вычисляем интеграл

Таким образом, ток в заданной цепи

Пользуясь известными переходными коэффг > іентами по напряж нии^ можно с помощью интеграла Дюамеля определить напряжения на элементах заданной цепи. Однако проще для нахождения напряжений пользоваться следующими соотношениями:

поэтому падение напряжения на активном

сопротивлении

 

—

— —

 

— и

 

 

 

 

 

 

 

 

(г" - е ~

и

)

 

 

 

LL..~~---\J>

 

 

 

 

 

 

и падение напряжения на индуктивности

 

 

 

4, Сделаем проверку

полученных результатов.

При t s.û

ток в цепи l(o)~Of

иг=0

и

и^=Ц>^

при t- »->

ток в цепи t(, ^>) = C') uf,~0

и и^-О,

так

u

ésc'-^\-Z

0

с

Г0И

стороны, при Д^£> u-eJtj-K.

как

 

 

ДРУ

Подставлял ci"

0

в полученные вырагіевия

для

w,.^.

имеем: .

у , r / j

,л

 

..

л,

 

 

 

Эти выражения совпадают с ранее полученными результатами

при

Ub(f)*U0-!'t).

 

 

 

§ Но Определение реакции цепи методом интеграла

 

 

Дюамѳля "с импульсной(характеристикой

Допустим, что к линейной цепи, импульсная характерис­

тика h(і)

которой "звестна, приложено произвольнее непре­

рывное воздействие ч Н ЙС« ЗЛ9). Определим реакцию цепи

•^еыа(^-

s

любоі; фиксированный момент

врэмвни. t..

Для этого приближение представим входное

воздействие в

виде последовательности • Л

примыкающих друг к другу

импульсов

прямоугольной форму с одинаковой длительностью

(рис ЗЛ9), причем нулезой импульг

существует на проме­

жутке времени от / = 0 до t

» X,

, парзый импульс - на

промежутке времени от /* Хг

до t

"Хг , а любой А" -й

импульс - от t*x« до t « тхн .

число

импульсов г пром:.---ткэ времени от 0 до t =t

достаточно

великоt то МСІГІС «читать, что в пределах

1W

каждого элементарного промежутка à х функция. fs%(t) сохраняет постоянное свое значение, следовательно, любой

Л'-й импульс можно записать следующим образом:

&fsxМм

'fkMbCt-x*)-^*-Х*Л]

(3-38>

Если длительность импульсов сравнительно мала, то его аналитическое выражение можно преобразовать:

 

- г^хк)

—х

ЛХ *

гдѳ^ Su

-площадь .л-го импульса;

ê(i~xA

- смещенная на время І k Хк

дельта-функция,

причем'

Loo яри І * Хк ,

Входное воздействие приближенно представим в виде следующей последовательности импульсов: •

•fSx(0* Z S„

ê(t ~XJ -Êf&fxJ-AX-Ш'-Хк). (З.ЗД)

Л>й «

Hit

ОІі-Х^),

Переходный процесс, вызванный воздействием

определяется импульсной характеристикой h(i''~ХЯ}. Поэтому

воздействие к -гс импульса &fßx(x)K

вызывает в

момент времени t

реакцию

т

• ах 4* (і) ' 4

Ш -àX-hft-Xx)*

SVK * H - хк).

На основании принципа наложения реакция цепи на последо­

вательность всех импульсов (3.40> равна

 

(І) *ІЛх fgjt) « Z 4 (x,)-A(t-x)àX

. (3.41)

Ясли устремить длительность импульсов АХ к бесконе но малой величине dx , а число импульсов к бесконечности, топри этом последовательность всех импульсов будет стре­ миться к кривой ffaiOf а реакция цепи к своему точному значению

185

 

 

t

 

kJi)

'

ffb(x)-h(t-x)dx

.

 

 

 

(3.42)

Вторая форма

^

. M C Ï интеграла Дюамѳля с импульсной

характеристикой иодег быть получена

из первой (3.42) за­

меной переменной:

 

 

 

JtJtHJJ*-*)

 

h ( x ) d x -

<3-«>

Съэдует помнить, что при определении импульсных характе­ ристик k (t) «О известным соответствующим; переходным характеристикам необходимо пользоваться следующим соот­ ношением: ;

поэтому дли случая a(o)=£0

формулы (3.42) и (3.43;

приобретают следующий вид:

 

На основании теоремы свертывания двух фркций не­ трудно записать выражения (3.42) и (5Ѵ43) в операторной

форма

F,xfr) H(p)l

 

 

(3.46)

w

(ri

» m * w -

интеграл Дюамеля в операторной ірормѳ позволяет ВЫ­ ЧИСЛИТЬ реакцию цепи, не прибегая к вычислению громоз­ дкие интегральных ы-'ражении, что значительно упрощает разч*«- Нетрудно ьаьатигь сходство операторного метода и катода интогралз Дюамеля в операторной форме.

. Примерный порядок расчета переходных процас-

"сов методом интеграла Дюьмеля с импульсной

характеристикой

1, Определить импульсную характеристику цепи.

2. Выбрать форму записи интегралаДюамеля и опреде­ лить входящие в него функции.

'К.

Смотрите также файлы