Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.07.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если длительность импульса достаточно мала, то при лиженно можно считать,что

a(t)-a(t-t„)»Q'(t)-At

*h(t)-&t.

Поэтому реакция цепи на прямоугольный импульс при t > tu принимает следующий вид :

fbA*)*U-bt-a'W*Su-h(t),

(3.27)

где 5ц - U tu ~ площадь приложенного ко входу цепи

импульса.

 

 

Таким образом, реакция цепи

на произвольное воздейс

вие весьма малой длительности численно равна

импульсной

функции цепи, увеличенной в Su

раз, где Зи

- пло­

щадь импульса.

 

 

Отсюда вытекает практически очень важная рекоменда ция: для экспериментального получения импульсной харак­ теристики цепи необходимо реакцию цепи на импульс малой длительности разделить на площадь воздействия.

§ 9. Интеграл Дюамѳля. Определение реакции цепи

методом интеграла Дюамѳля с переходной

Функцией

Интеграл Дюамзлк позволяет, пользуясь понятиями • вре менных функций, вычислить реакцию цепи на воздействие, изменяющееся во времени по произвольному закону. Полу­ чим выражение интеграла дюамеля.

Для этого предположим, что к линейной цепи при нул вых начальных условиях приложено непрерывно изменяющееся входгіое воздействие, изображенное нарис. % І 6 .

Обозначим приложенное воздействие через /д^ ( t ) , пе­ реходную характеристику заданной цепи - через Q(t), а

искомую реакцию - через f$M

(t) .

 

 

Будем полагать,что функция

ffa(t)

имеет конеч­

ное значение производной

f$x(t)

во всей области своег

задания, за исключением точки t =0.3амоним

непрерывную

176

кривую входного воздействия в промежутке времени 0 - t

ступенчатой кривой,,

изменяющей свою величину скачками

через

равные

промежутки времени à X соответственно в

точках

s О,

 

Xitxt,...t_xK,...,X„.

Конец промежутка Хя

соответствует фиксированному моменту

времени t s t0

, в который определяется значение реакции

цепи, и его моано представить следующим образом^

 

 

Хп

*Л-&Х ,

где ЛХ * Хн„

- Хк

« ХЛ - х к . , .

Рис, ЗЛ6„ * Воспользовавшись формирующим свойством единичной ступен­

чатой функции, можно написать для ступенчатой кривой сле­

дующее

выражение:

 

 

 

Ш

* Whit)

<• A/hf

f(t-х,} + *?ki<(t-x2)

+ „t

tbfbK-lit-xJ+.'.iT.àffyH-'ft'X,,},

 

 

или

 

 

 

 

где

ums

- ступенчатое воздействие, приложенное

к цепи в момент коммутации» соответствует значению входно­

го воздействия в момент иремени

t = 0;

іг.Зак.ѴЗОофо1

17?

л Л

« высота окачка воздействия в момент времени

аіехк

 

j.

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждый скачок

 

Д ffc к

появляется в момент вре­

мени t s X K

и в

дальнейшем постоянно

действует,

поэтому

его можно представить в виде

произведения à.fgXK

на

единичную функцию

 

1[t"XK).

 

При достаточно малых

отрезках &х

 

высота каждой

ступеньки (рис. 3.16) может

быть представлена

 

следующим образом •

 

 

 

Если переходная функция цепи равна

о(і),

 

то реак

ция цепи-, вызванная начальным воздействием

f&ftj

 

!'(t)

а момент времени

 

f>

равна

/^(0)

• û(t).

 

 

 

Реакция цепи, вызванная единичным ступенчатым воэдей-

ствиеы

i(t~XK)

 

, определяется переходной функцкѳй

û(é-Xf),

 

поэтому переходный процесс, вызванный любым

элементарным воздействием äffaA

1 (t - х к )

с высотой

ступеньки

 

 

и

моментом появления . 1"ХК

опреде­

ляется выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à

4

*-o(t 'xJ * 4' M

-ùx-a(t

~xj.

 

F соответствие о принципом наложения

реакция, вызванная

в ликѳинсй цепи

ступенчатым воздействием (3 . 28), равна

суйме

рЭ'-чций, вызванных каждым

элементарным воздействием

в отдельности t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LM"fbW-a(t)*Ê£bj--û(t-xK)-AX.

 

 

( 3 , 2 9 )

Если устремить каждый промежуток времени à X

к

бесконе

но малой величине dx

» то число промежутков /1

будет

стремиться к бесконечности и величина ХК-К-АХ

принимает

значение

текущего времени, а ступенчатая кривая будет бе

конечно близко

приближаться к кривой входного воздействи

ffa(t)•

^РкЭ Т О а

выражение

суммы (3.29) переходит в

 

интеграл, которыйпредставляет

собой точнее

выражение

 

реакции цепи на входное непрерывное воздействие fSx(t)

у

Таким образом:

 

 

 

 

4 » (*) - ^

Ѵ н М - а Щ

a

i *

=

 

tx-cfx

*t1

 

 

178 л - ~

t

* f S x ( o ) o ( t ) t f Ç x ) û ( t - x ) d x .

0

Формулу f

fteW

*f%(x)0(t~x}dx

(3 . 30 )

 

û

 

называют первой формулой интеграла Дюамеля или просто интегралом Дюамеля, интегралом наложения (суперпозиции).

Имеется

еще 5 форм интеграла Дюамеля, которые

получаются

из первой путем математических

преобразований-,

 

Если з интеграле (3.30) произвести замену переменных

{ " X

-

xf

, то получим другую формулу интеграла нало­

жения;

 

 

 

 

*

 

 

 

4*ІѴr

fbM-a(i)фі

(t~х)ф) • dx .

(з=зі)

Интегрируя по частям выражения

(3.30) и (3 . 31), получим

еще две формулы интеграла

наложения:

 

4г

(0

* Ш-МО)

* Д

(X)-Q'(t

-х) • dx

(3.32)

4 r W

•fk(i)-o(o)

+ {fk(i-xya,(x)-itx.

(з.зз)

Пятая и шестая форма записи интеграла Дюамеля получаются при помощи дифференцирования определенного интеграла по параметру: t

 

 

о

 

Форма

записи интеграла Дюамеля выбирается в каждой конк­

ретной задаче

в зависимости от вида функции воздействия

и вида переходной характеристики. Так, например, если

О(О)

или fgx(0)

разно нулю, то необходимо выбрать ту

форьу интеграла Дюамеля, в которой слагаемое,содержащее

Q[О)

или f(o)

выпадает. В случае, когда

fgx(t)

выражается через экспоненциальную функцию, следует выбрать формулу (3 . 30), так как> во-первых, экспоненциальная функ­ ция легко дифференцируется, а, во-вторых, подстановка

разности аргумента приводит к появлению не зависящего от

4

X множителя, который потом выносится за знак: дт^'р-г!':-

Смотрите также файлы