Файл: Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf

ента кинетической энергии, соответствующее приведенному ра­ венству. В случае же, когда со<соо, первый член функции Z2 является положительным и равенству (76) соответствует малая

Приближенно частота собственных колебаний гидравличе­ ской системы в рассматриваемом случае

Рассмотрим другой предельный случай, когда на диаграмме графического определения корней трансцендентного уравнения

к величине юз=2л; и т. д. Обобщая данные значения, получаем следующую зависимость для определения приближенной вели­ чины второго и последующих корней трансцендентного уравне­ ния:

Оцепим, какой величине параметров гидромеханической си­ стемы соответствует приведенная выше приближенная зависи­ мость. Если <в<;<»о, функция Z2 имеет большие значения при больших величинах коэффициента кинетической энергии; при со>соо эта функция имеет большие значения при малой величи­ не коэффициента кинетической энергии.

В отношении остальных параметров можно сказать, что функция Z2 имеет большие значения, соответствующие приве­ денной выше приближенной зависимости для определения кор­ ней трансцендентного уравнения частот собственных колеба­ ний, независимо от соотношения между со и соо при малом коэф­ фициенте потенциальной энергии и малой частоте собственных колебаний поршня при его отделении от гидромагистрали а>0.

Основываясь на приближенной формуле (77), определим размерную круговую частоту собственных колебаний

Далее обратимся к определению первого корня трансцен­ дентного уравнения частот. Рассматриваем случай, когда кри­ вая Z2 на диаграмме графического определения корней урав­ нения направлена под большим углом к оси безразмерных час­

При малом значении аргумента функции синуса и косинуса можно представить приближенными выражениями, раскладывая их в ряд Тэйлора:

Ограничиваясь первыми членами ряда, приближенно прини­ маем для первого корня рассматриваемого уравнения

s i n о»! = СО]',

о

COS С0Х = 1 -

2

Подставим эти выражения в уравнение (78):

« - » f ) ( i - ^ ) - » ; ( H - ^ b ^ ) = o .

откуда найдем приближенную формулу для определения перво­ го корня трансцендентного уравнения частот

Практически часто наибольший интерес представляет огра­ ниченное число наиболее низких частот собственных колебаний, особенно самая низкая — основная частота. Используя выраже­ ние (79), найдем приближенную зависимость, выражающую в

52

Составим также приближенные выражения для определения частоты собственных колебаний гидросистемы на основной гар­ монике

r - a V L £ j L + - r . + - T -

Последние приближенные выражения, относящиеся к основ­ ной гармонике собственных колебаний, соответствуют случаю со<а>о при большой величине коэффициента кинетической энер­ гии, малой величине коэффициента потенциальной энергии гид­ ромеханической системы или малой величине безразмерной частоты соо.

Рассмотрим случай, когда на поршень не действует сила со­

ня данного уравнения от коэффициентов кинетической и потен­ циальной энергий гидромеханической системы. По оси абсцисс

анализе резонансных явлений в колебательной системе именно основной тон представляет наибольший интерес.

На рис. 17 аналогичным образом представлена диаграмма

и (74), которые пропорциональны этим корням. Из приведен­ ных диаграмм видно, что корни трансцендентного уравнения, а следовательно, и частоты собственных колебаний, возрастают

53

Рис. 16. График первого корня уравнения частот

4,6

Рис. 17. График второго корня уравнения частот

при увеличении как коэффициента кинетической энергии, так и коэффициента потенциальной энергии.

При предельных значениях безразмерных величии ц. и т} корни трансцендентного уравнения и частоты собственных коле­ баний могут быть определены по приближенным зависимостям, указанным выше для случая СфО, когда со>к>о.

54

Рассмотрим методику расчета частот собственных колебаний на следующем примере. Пусть гидравлическая передача имеет

= 1962 кг. Рабочей жидкостью является минеральное масло с

Определяем массу жидкости в трубопроводе:

т = р// = 912-3,2-16,62-10~4 = 4,86 кг,

после чего можно найти относительную кинетическую энергию системы гидравлической передачи

см3.

Далее переходим к определению приведенных модулей объ­ емной упругости жидкости [36] в трубопроводе

55

1,Лг

= 1,47-Ю9 Н/М-.

Теперь можно определить относительную потенциальную энергию гидромеханической системы

Подставим полученные величины в трансцендентное уравне­ ние для определения собственных частот

56