Файл: Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf

з ^ £ - —

3.8

-—f=oT

ческой системы возрастает. Это означает, что возрастанию соб­ ственной частоты способствует уменьшение массы поршня и соединенных с ним подвижных частей .исполнительного меха­ низма, а также увеличение площади поршня и уменьшение площади проходного сечения трубопровода.

Частота собственных колебаний рассматриваемой гидрав­ лической системы возрастает также с увеличением коэффици­ ента потенциальной энергии. Таким образом увеличению собст­ венной частоты способствует уменьшение объема рабочей жид­ кости в полости гидроцилиндра. Гидравлическая система с меньшим модулем объемной упругости жидкости в трубопро­ воде имеет большую частоту собственных колебаний.

Из приведенной диаграммы видно, что с возрастанием ко­ эффициентов кинетической « потенциальной энергии безразмер­ ная собственная частота основной гармоники асимптотически приближается к пределу

CDi = 2я .

На рис. 46 представлена диаграмма зависимости безразмер­ ной частоты колебаний на второй гармонике от тех же парамет­ ров: коэффициентов кинетической и потенциальной энергий. Графики показывают, что частота второй гармоники возрастает

106

•с увеличением коэффициентов 'кинетической и потенциальной энергий, асимптотически приближаясь к пределу

Обобщив последние два равенства, находим, что при боль­ ших значениях ц. и # корни трансцендентного уравнения частот можно приближенно выразить равенством

сол = (2л— 1) — ,

2

где п — .порядковый номер гармоники.

Тогда круговая частота колебаний на /г-гармонике окажется равной

, _ я ( 2 » - 1 )

20

частота собственных колебаний гидравлической системы прибли­ женно может быть определена по формуле

Указанные значения частоты и периода собственных коле­ баний представляют собой пределы, к которым стремятся соот­ ветствующие параметры при уменьшении массы поршня, уве­ личении площади поршня, уменьшении площади проходного сечения трубопровода, уменьшении объема полости гидроцилин­ дра. Таким образом, приведенные предельные величины соот­ ветствуют длинному трубопроводу. Проводя обобщение, будем называть длинным трубопровод, характеризующийся большими значениями коэффициентов кинетической н потенциальной энергий.

Рассмотрим теперь случай короткого трубопровода, т. е. трубопровода, характеризующегося малыми значениями коэф­ фициентов кинетической и потенциальной энергий. Объем такого трубопровода меньше объема полости силового гидроцилиндра, а масса рабочей жидкости в трубопроводе меньше массы порш­ ня и соединенных с ним подвижных частей исполнительного механизма. Короткий трубопровод имеет также относительно большую площадь проходного сечения.

Прежде всего рассмотрим случай малого коэффициента по­ тенциальной энергии. Приведем трансцендентное уравнение частот (106) к более удобному для анализа в этом случае виду, подставив в него предельное значение т} = 0:

co2ctgco - 0.

107

Прежде всего данное уравнение имеет корень соi = 0. Другие корни найдем из условия

ctg со = 0.

Корни представленного равенства можно выразить зависи­ мостью

Анализ показывает, что полученная приближенная формула обеспечивает точность до 5% при условии

108

приближенная зависимость (112) обеспечивает меньшую точ­ ность — IB .пределах 10%.

Исходя .из выражения (112), находим приближенные зави­ симости для определения круговой частоты собственных коле­

Число собственных колебаний в секунду приближенно мож­

а период основного тона свободных колебаний для случая ма­ лых значений коэффициентов кинетической и потенциальной энергий — согласно зависимости

частот (106) находим точное значение безразмерной основной частоты собственных колебании: со] =0,4. Подставим приведен­ ные величины коэффициентов ц и т> в неравенство (113):

0,51,0,489 — 0,3) = 0,0945 < 0,7.

Полученный результат показывает, что приближенная фор­ мула в данном случае обеспечивает точность в пределах 5%. Подставим данные значения коэффициентов кинетической и потенциальной энергий в приближенную формулу (112):

Ш] = , / - ^ _ = 0,404.

Определим погрешность по сравнению с точным значением безразмерной основной частоты. Относительная погрешность приближенного расчета оказывается равной

0,404 - 0,400 т % = 1%.

0,400

Этот результат соответствует результату, полученному на -основании неравенства (113).

Рассмотрим далее случай, когда гидравлическая система

109

Определим действительную точность конкретно. Для этого подставим заданные величины параметров гидравлической сис­ темы в зависимость (112):

/ ^ 8 8 8 _ =

У10

Относительная погрешность расчета по сравнению с точным решением составляет

0,800

Данный результат соответствует выводу, сделанному с ис­ пользованием неравенства (114). Точность приближенной зави­ симости (112) при заданных параметрах оказалась недостаточ­ ной.

Выведем другую приближенную зависимость, обладающую большей точностью в определенном диапазоне значений коэф­ фициентов кинетической и •потенциальной энергий.

Возьмем за основу знаменатель равенства (107). Выразим в- нем оператор преобразования Лапласа—Карсона через безраз­ мерную круговую частоту: r=±i'co. В результате получаем урав­ нение, приравняв знаменатель нулю:

со sin со = fu, — ) cos со.

Выразим в этом равенстве приближенно функции синуса я. косинуса с помощью ряда Маклорена:

• ? - ( " - 4 ) (^

откуда находим приближенное выражение безразмерной основ­ ной частоты собственных колебаний гидравлической системы для случая «ороткого трубопровода:

ПО