Файл: Мельникова И.И. Динамическая метеорология учеб. пособие для океанологов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.07.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
По аналогии с процессами молекулярного перемешивания, когда переносчиками свойства являются отдельные молекулы; в теории турбулентности вводится понятие турбулентного моля— отдельной частицы жидкости или газа, которая отрывается от общего потока в одной его точке и смешивается с ним в другой (перенося таким образом его свойства из одной точки в другую).
Хотя практически смешение идет непрерывно, вводится по нятие пути смешения (аналог пути свободного пробега в моле кулярной теории) как расстояния /, которое проходит турбулент ный моль от момента зарождения до полного смешения с окру жающей средой. Турбулентный моль представляет вихрь, воз никающий за счет гидродинамической неустойчивости основного потока. Прохождение через данную точку пространства вихрей разных размеров, несущих свойства из различных частей основ ного потока, и создает ту сложную картину изменения метеоро логического элемента, которая показана на рис. 8.
В дальнейшем мы будем рассматривать только вихри с го ризонтальной осью, определяющие перенос свойства в верти кальном направлении.
Получим общее выражение для турбулентного потока любой субстанции S. Если понимать под S количество субстанции в единице массы воздуха, то для потока тепла S = c BQ (Ѳ — потен циальная температура), для потока водяного пара S = g (удель ная влажность), для потока количества движения S = c (с—ско рость потока).
Рассмотрим на уровне г единичную горизонтальную площадку а, через которую снизу вверх проходят вихри со скоростью W. За единицу вре мени через площадку пройдет количество субстанций S, со держащееся в объеме aw, т. е. Spcrco (рис. 9).
/ ' |
7 |
ѵѵ
■-1
Рис. 9. Перенос свой ства через площадку
Так как под потоком субстанций Q обычно понимают ее ко личество, переносимое за единицу времени через единичную площадку в направлении нормали к ней, то'
ß = |
\ ( р wSdt. |
(2.3.5) |
|
1 о |
|
Выразим w и S через |
средние величины |
и флюктуации: |
w — w + w'; S = S + S'. Тогда (2.3.5) примет вид
25
f p w Seit -f- |
f p tc' S' di -j- f pw' S dt -f |
|
|
|
о |
0 |
|
- f \ pw' S' dt |
—pw S ~j~ pw'S'.- |
(2.3.6) |
|
ö |
|
|
|
Первый член этого соотношения определяет поток субстан ций, обусловленный средним движением, остальные три члена дают поправку за счет турбулентности. На основании ранее рас смотренных постулатов вторым и третьим членами можно пре небречь. Четвертый член обычно не равен нулю (так как а / и S' взаимосвязаны). Таким образом, поток свойства 5 складывается
из потока, обусловленного средней скоростью Qi = pSw, и тур-
Пульсацию свойства на уровне z можно представить как разность между свойством вихря и среды. Если вихрь пришел с уровня z — / и из пути сохранил свои начальные качества, то
он принес свойство S = S(z — I) и тогда S' = S(z — / ) — S(z), при условии, что на исходном уровне вихрь обладает свойством этого уровня.
Для достаточно малого / —пути смешения S ( 2 — I) можно разложить в ряд
S ( z - l ) = S ( z ) - ^ z i
Втаком случае
Вобщем случае следует считать, что / может быть различной для разных субстанций, ибо оно само зависит от градиента суб станции (действительно, вихрь, первоначально обладающий ко личеством субстанции S, должен пройти различное расстояние, чтобы смешаться с окружающей средой по содержанию количе ства движения, тепла или влаги, в зависимости от градиента этих субстанций). С учетом этого формулу для турбулентного потока субстанции S следует записать в виде
(2.3.8)
26
Из физических соображений можно считать, что w'-l, явля ется характеристикой турбулентного перемешивания, ее обоз начают через к, и называют коэффициентом турбулентности для потока субстанции S
Qi |
и |
д $ |
(2.3.9) |
- A |
- S - |
|
В таком случае турбулентные потоки количества движения, тепла и влаги можно выразить так:
|
а ■k • |
Г) С |
||
|
|
|
|
dz: |
с/Ѳ |
|
р*ггр [ dz + ъ ]; |
||
dz — |
|
|||
г- |
, |
|
Ö(1 |
|
£ = —pAf0 |
|
dz |
||
|
1 |
4 |
|
|
В формуле (2.3.10) знак выбран из соображений
(2.3.10)
(2.3.11)
(2.3.12)
удобства
записи тѵ так как |
в атмосфере |
дбычно dc/dz>0. С учетом |
||||||
(2.3.10—2.3.12) |
притоки |
тепла |
и |
влаги, входящие в уравнение |
||||
притока тепла |
(2.1.18 или 2.1.21) |
и притока влаги (2.1.23) мож |
||||||
но рассматривать |
как |
дивергенцию |
соответствующих потоков |
|||||
и для единицы массы представить в форме |
|
|||||||
|
|
|
dz |
|
|
dz |
|
(2.3.13) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- ? Т - |
— k |
4 |
dz |
(2.3.14) |
|
|
|
|
dz |
|
|
|||
§ 4. Факторы, определяющие интенсивность турбулентности. Уравнение баланса энергии турбулентности
Обозначим через Е\ энергию турбулентности, возникающую за счет кинетической энергии основного потока. Вихри, образо вавшиеся либо из-за обтекания неровностей поверхности, либо благодаря резкому изменению скорости с высотой, перемещают ся из слоя в слой. Если плотность окружающей среды отлича ется от плотности вихря, то на него начинает действовать сила Архимеда. Обусловленное ею ускорение либо совпадает с на правлением движения вихря, увеличивает скорость и запас его энергии, либо направлено в сторону, противоположную движе
27
нию вихря, уменьшает скорость и запас энергии вихря. Обозна чим через Е2 приток (отток) энергии за счет действия силы Архимеда. Благодаря соприкосновению и поверхностному тре нию между вихрями часть их энергии может переходить в тепло вую. Такой переход называется диссипацией энергии турбулент ности— обозначим ее через Ез. Наконец, через Е4 обозначим приток (отток) энергии турбулентности за счет обмена вихревой энергией между соседними слоями (диффузия энергии турбу лентности).
С учетом введенных обозначений можно записать в общем виде уравнение баланса энергии турбулентности
f/- --/Т |
: А,. |
(2.4.1) |
Уравнение (2.4.1) утверждает, что изменение энергии турбулент ности связано с притоком энергии турбулентности от среднего потока, действием силы Архимеда, диссипацией и диффузией. Получим выражения для Еи Е2, Еъ и Е4. Для определения Е\ рассмотрим взаимодействие элементарного объема dx-dy-dz
с окружающей средой (рис. 10). Обозначим через (z)c и
c{z + dz) — вектора скорости на уровне z и z + dz, а через т(-г)
Рис. 10. Действие сил турбулентного трения на элементарный объем
и т (z + dz) — касательные напряжения, действующие на ниж нюю и верхние грани объема. В таком случае работу, затрачи ваемую на преодоление сил турбулентного трения за единицу времени, можно выразить уравнением
где c = i-u+jv; %— ixx + j-x , |
|
|
||
—^ |
|
> |
|
|
Разложим t(z-t-cte) и |
c(z+dz) в ряд |
|
||
1 |
|
|
||
T(z + |
öfz) = T ( z ) + |
• dz |
; |
|
"c (z - M z )= 7 (z )+ - |^ -« rz -f . . . . |
||||
Воспользовавшись |
выражением |
для |
"-?> |
|
c(z+c?2 ) и x(z + fifz), |
||||
перепишем (2.4.2) в виде
W = -J—[c(z) -(z)] dz-dx-dy
или, подставив выражения для векторов скорости и касательно го напряжения, получим
W = |
д ( у и ) |
(Ң-y-v) |
dx • dy • dz. |
(2.4.3) |
|
dz |
dz |
||||
|
|
|
При выводе (2.4.3) использовано свойство скалярного произве
дения двух векторов: і-і = 1 и і • / = О и т. д. Для единицы массы (2.4.3) примет вид
\Ѵ = |
_1_ |
д{*хи) I |
d (ту г») |
(2.4.4) |
|
Р |
öz |
c?z |
|||
|
|
Работа, совершаемая турбулентными напряжениями частич но идет на изменение кинетической энергии среднего движения, а частично переходит в кинетическую энергию турбулентных пульсаций.
Определим интересующую нас энергию турбулентности, воз никающую за счет кинетической энергии среднего потока, как разность между работой, совершаемой турбулентными напряже ниями, и той ее частью, которая идет на изменение кинетиче ской энергии среднего движения. Последнюю выразим из урав нения баланса кинетической энергии среднего движения, кото рое получается, если уравнения движения
d u _ |
dp |
О I 1 |
ДІѴ |
|
dt |
dx |
|
2шл» 4----- |
dz |
dt |
p |
dy |
z |
JLp dz |
d v _ |
1 |
dp |
0 |
|
|
— |
|
- - 2ш и |
|
29
умножить — первое на и, второе на ѵ и сложит’ |
|
||||
d , |
и1 + г’2, |
___\_( |
др |
(2.4.5) |
|
dt I |
2 / |
о I |
дх |
||
|
|||||
Левая часть уравнения баланса кинетической энергии сред него движения (2.4.5) выражает .изменение кинетической энер гии единицы массы воздуха; первое слагаемое в правой части
может быть записано как —(с, Fpn), т. е. представляет работу,
совершаемую горизонтальным градиентом давления при движе нии единичной массы воздуха; второе слагаемое в правой части характеризует изменение кинетической энергии среднего движе ния под влиянием силы турбулентного трения.
Таким образом, кинетическую энергию турбулентности, воз никающую за счет основного потока, можно определить как разность между (2.4.4) и вторым членом в правой части (2.4.5)
(2.4.6)
(2.4.7)
В области мелкомасштабной турбулентности (максимальная величина I порядка сотни метров) можно считать, что коэффи циент турбулентности всегда положителен и Е\ является всегда приходной частью уравнения баланса энергии турбулентности. При рассмотрении мезомасштабной турбулентности (макси мальная величина I порядка сотни километров) оказывается, согласно [15], что k может быть меньше 0 (явление отрицатель ной вязкости) и часть мезомасштабной энергии турбулентности может идти на развитие крупномасштабных движений (в океа не это проявляется в том, что вихри, например, образующиеся в Гольфстриме, отдают часть своей энергии среднему потоку; в метеорологии в качестве мезомасштабной турбулентности мож но рассматривать циклоны и антициклоны, которые также пере дают часть своей энергии крупномасштабной общей циркуляции атмосферы).
В дальнейшем нас будет интересовать только мелкомасштаб ная турбулентность и можно считать, что £ і> 0 .
30