Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 0
где ct и d[ выбираются, как и k(, из условия делимости |
соот |
|||||
ветствующих столбцов на s2 + |
a,-s -|- Ь{. |
|
|
|||
Выполнив операцию домножения справа и |
слева |
ма |
||||
триц G^G на матрицы |
Т{ и 7> |
( / = |
1 , 2 ........ k), |
получим |
||
|
П Т£*G*G П Д = |
Т, |
|
|
||
|
і=і |
/=і |
|
|
|
|
где Г — матрица с |
определителем, равным константе. |
|||||
Если элементы матрицы Т зависят от s, то ее легко мож |
||||||
но преобразовать |
к |
матрице |
с постоянными |
элемента |
ми, домножая справа и слева на сопряженные полиноми альные матрицы с постоянным определителем (см. [31, где приводится интерпретация алгоритма Дэвиса применитель но к ЭЦВМ).
Если же элементы симметричной матрицы Т равны константе, то ее легко разложить на две треугольные [5]
|
|
Т = |
Т'0Т0, |
|
|
|
|
. где |
Т0 — верхнетреугольная |
матрица. |
|
|
|||
Тогда искомая матрица G запишется в виде |
|||||||
|
|
С = 7 ° ( п д ) '. |
|
(1 . 1 2 2 ) |
|||
Согласно (1.114) и (1.118), нам необходимо факторизо |
|||||||
вать |
матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
G,G = |
M .ß = |
|
|
|
|
|
S 3 |
_|_ 4 S 2 _|_ 13s _ |
1 0 |
— 2 |
s2 |
- f |
18s + 2 |
|
= [ |
— 2s — 20 |
|
— s3 + |
6 |
s2 — 7s — 32J X |
|
|
rs 3 + 4 s2 _ ! 3 s _ |
ю |
|
2 s — |
2 0 |
||
|
x [ |
— 2s2 — 18s + |
2 |
s3 + |
6 s2 + |
7s — 32 ' |
Вычислив определитель матрицы G:j;G, получим
detG = ( s + l)(s + 2)(s + 3)2(s + 4)(s-j-5).
Умножим исходную матрицу G+G справа на матрицу Ти а слева — на 7V, где
45
Т .Л О Т , =
|
|
s2— 2s— 15 |
s2 — 2 s — 15 |
|
||||
|
|
_ — 2s — 20 — s 3 + 6 s2 — 7s — 32 X |
|
|||||
|
|
s2 + |
2 s — 15 |
|
2s — 20 |
|
|
|
|
|
X s2 -f- 2s — 15 s3 + 6 s2 + 7s — 32 |
|
|||||
|
Последовательно домножив полученную матрицу справа |
|||||||
на Т2, Ts, Tt, а слева на Т2*, 7з* и Т4 *, где |
|
|
||||||
|
1 |
о |
|
— 4 |
-л |
|
|
— 1 |
Т з- |
s + 5 |
Тз = |
s -р 4 |
Т4 |
3 s + 4 |
|||
0 |
1 |
1 |
. |
О |
3 |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
s + |
4 J |
|
s -р 4 - |
|
получим |
|
|
|
|
||||
/~П rp m m |
/'“»/тч |
ф ф |
гр |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
1 и 1 и 12 * 1 |
|
2 1 а1 і = |
|
|
||
|
г —S — 3 |
■ s—3 |
г s — 3 |
— 1 |
|
|||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
— 3s ■ |
|
s — 3 |
3s — 4 |
|
|
|
|
L |
3 |
|
|
|||
|
|
|
2 (9 — s2) |
-3s3 — 4s -(- 15 |
|
|||
|
|
— 3s2 + 4 s + 15 |
|
17 — 9s2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
И, окончательно, домножая эту матрицу справа на Т5 и Т0,
а слева — на 7V |
и TG», где |
|
|
|
|
— 3 |
|
|
о |
|
1 |
s + |
3 |
|
Т5 = |
|
|
||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||
получаем |
S + 1 |
s - f 3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
ЕЮ |
_ і_ |
- |
П |
^ ] 0 * о ( п 7\) = |
9 |
3 |
|
_1_ |
_1_ |
|
||
1 = 1 |
1=1 |
_ 3 |
5 J |
|
|
|
Выполнив разложение полученной симметричной матри цы на произведение двух треугольных:
_50 |
|
5 |
0 |
г Ü. |
|
9 |
| / 2 |
3 |
|
3 |
1 0 |
= |
_і_ |
А |
Ѵ 2 |
3 |
|
1 |
|
|
|||
3 |
|
|
|
||
|
іо |
іо |
|
1 0 |
46
|
|
6 |
\ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем |
| П Г ; |
GJ3 П Ті = |
Т0Т0, где Т0 — верхнетреуголь- |
||||||||||||
|
ѵ=і |
|
/* |
і= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пая матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда, |
согласно |
(1.122), |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|||||
|
|
|
|
G = |
ТйТ ь‘Т7Х 7 Ѵ т ? Т і х= |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
'0,5s3 |
+ |
4,6s2 |
+ |
|
0,5s3 |
+ 4,8s2 |
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
7,9s — 0,4 |
+ |
18,9s + |
24,4 |
|
|
|||||
|
1 / 2 |
|
- 0,5s3 |
— 5,2s2— |
0,5s3 |
+ 3,4s2 |
+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
— 17,3s — 7,2 |
+ |
4,7s — 10,8 _ |
|
|
|||||||
Подставив необходимые величины в (1.117), получим |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
s + 6 |
|
8s — |
15 |
-i |
|
|
1/ |
|
пм~] |
|
/ 2 |
|
|
70 |
|
70 |
|
|
||
|
А |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
'Jt'l |
|
s2 — |
4s + 3 |
— |
38s+ 8 7 |
|
11s — |
60 |
|
|||||
|
. Ар (s) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
630 |
|
630 |
J |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
г |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
К -М = Ѵ 2 |
|
70 |
70 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
— 38 |
11 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
630 |
630 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К -Р = -s2 — 4s _)_ 3 |
|
|
|
|
|
|||||
р |
|
s3 + |
22s2 + |
151s — 48 |
|
8s3 + |
32s2 — 106s — 60 |
n |
|
||||||
К |
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
- |
38s3 — 206s2 — 68s + |
194 |
1 ls3 -j- 44s2 — 67s — 870 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
630 |
|
|
|
|
|
630 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GAT1 = |
----- ^ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
s2 — 4s + 3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
К/ |
0,5s2 + |
1 ,6 s — 0,3 |
0,5s2 |
— 0 ,2 s — 2 , 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2,1 |
0,5s2 |
— 1,6s — 0,3 |
|
|
|
|||||
|
|
— 0,5s2 — 0,2s+ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s — 9 |
|
8s 4-29 |
и |
|
|
|
|
K -P — GAr1 |
= 1/2 |
|
|
70 |
|
70 |
|
|
|
|
||||
|
|
— 38s — 43 |
11s— 227 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
630 |
|
630 |
J |
|
|
|
а матрица |
передаточных |
функций |
оптимального регуля |
||||||||||||
тора, |
согласно (1.116), имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
117 = |
' l |
8 ' —1 ' s — 9 |
|
8 s + 29 ’ |
|
|
||||||||
|
|
38 |
|
1 1 . |
_ |
38s — 43 |
1 1 s — 227 |
|
|
47
Следовательно, уравнения оптимального регулятора имеют вид
иу+ 8 « 2 |
= X— 9х + 8у + |
29у, |
—38«! + 11ы2 = |
— 38л; — 43л: + |
1 1 // — 227у. |
Минимальное значение функционала качества, согласно (1 .8 6 ), запишется так:
|
|
/со |
|
|
|
|
Brnln = J - |
j |
Sp (K -tK~) ds = |
||
2 |
I |
32 |
310 — 6830s2 |
ds = 0,0695. |
|
6302/ |
(s1+ 4s |
+ |
3) (s2 — 4s + 3) |
II. Пусть M — матрица n X n (число управлений но числу внешних возмущений), причем det М — гурвицев полином. Тогда требование аналитичности в правой полуплоскости матрицы Z вместе с обратной можно удовле творить, положив А = Еп (Еп — единичная матрица п х X л), 5 = 0, так как при этом
Р— ЛГ
det Z = det ßn 0 = det М.
Соотношения (1.110) в этом случае запишутся так:
<3 = |
М = |
Ap (s)P-'M , |
(1.123) |
|
H J i = |
R + |
/у И Г 1 CM~lP, |
(1.124) |
|
К 0+ К + + |
К - = |
( Я Г 1/? - Н) р - ' Г |
= |
|
= |
— H ^PJA -'C N T'Y , |
(1.125) |
а матрица передаточных функций оптимального регулятора
определится |
формулой |
|
|
W = [А; (s) H -'N -'C + |
/С-Г'-'Л!]“ 1 X |
|
|
|
Х ІК -Г -'Р -Н -'Щ , |
(1.126) |
|
или |
|
|
|
W = [(/f0 + |
К+) Г-'Л'ІГ' [(К0 + |
К+) Г-'Р + Н]. |
(1 .126а) |
48
Проиллюстрируем изложенное выше числовым приме ром. Пусть движение объекта описывается системой диф ференциальных уравнений
X -J- х - f Зу = 2 + + и2 -)-
х + У — У = Щ + и2 + тІ>2,
где Фх и — некоррелированные стационарные случайные процессы с единичной спектральной плотностью.
Требуется найти закон управления, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы объект + регулятор и ми
нимум функционала е = |
(и\) + |
(и\) + (и®) + |
(и1)- |
||||||||
В обозначениях, принятых в § 3, имеем |
|
||||||||||
|
Р = ' s + |
1 |
|
|
3 |
' |
|
|
Г |
||
|
|
|
s — 1 |
’ |
|
|
I J ' |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
S* = E%, |
Г = £ 2, |
|
R = 0, |
C = |
( 1 |
- S 2) £ 2. |
|||||
Согласно (1.124), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H J i |
= |
(1 - S |
2) |
' — 2 |
s2— 1 |
3s2 — 7s — 5’ |
|||||
,3s2 |
+ |
7 s — 5 |
— 5s2 |
+ 41 |
|||||||
Факторизовав |
матрицу |
H^H, |
получим |
|
|
||||||
tf |
= |
] / 2 |
(l |
+ |
s) |
s — 0 , 1 |
- 1,5s + |
3,3’ |
|||
- 0 , 7 |
0,5s -(-3,1 |
||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НТ1 = |
|
|
уъ |
|
|
— 0 ,5 s+ |
3,1 |
|
0,7 |
||
(1 |
_ S )(2 |
_ |
S ) 2 |
— 1,5s — 3,3 |
— s — 0,1 ' |
Подставим необходимые величины в правую часть (1.125):
— H-'PyVL-lCM-'T =
У ^ 2 (1 + s) |
И ’® — s |
1 , 5 |
$ — |
|
s- 2 |
[ |
1,2 |
— 0,5s — 2,б] ’ |
|
откуда |
|
|
|
|
= 0 , /С0 = - |
|
S + |
1,4 |
- 1,5s — 2,7' |
1 |
/ 2 |
1,2 |
0,5s + 4,1 |
|
|
|
- |
4 3 - 5 8 2 |
49 |
|