Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

w =

An (s) (с — s2)

+ /е_Г

'т

Л* (s) q* (s)

&

k S ~ lP — __________ / 1 /?

(2.5)

где

/і* (s) (j* (s)

Ap (s) =

det P,

(2.6)

n =

Ap (s) P ~ lm,

(2.7)

q (s) =

Ap (s) ß (s) + an,

(2.8)

ft* (s) h (s) =

g* (s) g (s)

’

(2.9)

q*{s)q{s)

g* (s) g (s) = n*Pn +

(C — s2) Ap (s) Ap (s),

(2. 10)

k - =

1

ГГ, =

Stj,,■ h (s)a \ p -'r

((2..12))

2 11

Л* (s)

(s) ■ fi*R

w =

Ар (s) (с — s2)

isi

g* (s)

X

/г1_Г~'Р -

g * (S)

*

(2.13)

ft_ =

■

Ä

a l P _1r

(2.14)

g*(s)

I

n»R-

a\P~

(2.15)

g* (S)

*

q (s)

т о

k_

= [Ц_Г]_.

(2.16)

ных скобках формулы (2.15), проделаем сначала

некоторые

вспомогательные

выкладки.

Пользуясь формулой обращения матриц [28]

(А + В С Г 1=* А ~1— А ~1В (Е +

СА-'В)-' СА~ 1

(если Е -f- СА~1В — невырожденная

матрица),

выражение

-yj-j- а

можно преобразовать так:

а =

[Ар (s) ß (s) - f an] - 1

а =

=

~Ap (5 )ß(s)

{ i

« [A^ (s) ß (s) En Г

паГ' n) а =

= x c i w

“[Ap(s) ß(s) En+ n a ]

~ l x

X [Ap(s) ß (s) E„ + na — na] = a [Др (s) ß (s) En -f- na)~\

где En — единичная матрица.

Тогда

1

n*R

g(s) а P =

. §* (s)

q(s)

g*(s)

— g* (s) g (s )a [Ap (s) ß (s) En +

na] } P =

+

(С — s2) а;

(S) Ар (s)] а} [Ар (s) ß (s) +

na]

1 P 1 =

=

-gjrj^- I»*Äß (s) — (c — s2) AJ (s) а] [ß (s) P + та] \

T. e.

ö_ =

—5

Т P +

/яа

— 1

Г

*

- 5 7 Г

/

—

L g* (s)

\

r

ß (S)

(c — s2) Ap (s)

1

ОСІР +

т а

g* (s)

‘

ß (s)

ß(s)

Поскольку матрицы

т а

- 1

m

\—^

4-

1

элементами Ѳп и Ѳ2 1

матрицы 7Г

1

maj

являются

,

сами

вектора

являются только нули полинома g* (s).

Пусть полином g* (s) имеет N простых нулей1 g t (Re g { > О,

t =

1, 2,

..., N),

причем g* (s) и Ap (s) имеют M общих ну­

лей (М <

N) и,

кроме того, нули полинома Ар (s), общие

записать в виде

м

N

Ь) (gi) + ci(g>)

dj (gt)

(2.17)

»/-(«) = £

s — gl

+

£

/ = 1

/=лі-н s—gt

(/ — I» 2 , . . . ,

/z),

где дроби с числителями bj {gt) и

dj (gt)

обусловлены пер­

вым слагаемым в (2.15), а дроби с

числителем с / (gt) —

вторым.

Определение составляющих вектора

при разложении

с/ (ft)

= — Hm

(s — gt)g(s)

s

(s) ( -

l)w

/«/,-(s),

■

q (s) Дp(s)

i—1

или,

если

учесть, что

lim

1

(^ =

1 ,

2, . . .

Д р

(s)

Др (£/)

..., М), то

c/(ft) =

-

/

7 ^ c ? (ft),

( 2.20)

Др to)

где Др (s) — производная по s от полинома Др (s),

с) (ft) = lim

—дх- V а,- (s) (— 1 ),+/ niji (s).

/=і

Умножив числитель

и

знаменатель

с° (gt)

на

гік (gt)

(k-й

элемент вектора

п,

причем пь (gt) ф

0

), получим

можно

переписать в виде

(п +

1 ,

А

т» ® = т {п +

і,

/)И '

где

ij (s) — минор матрицы замкнутой системы

черкивания п -f- 1 -й и /-й строк и п +

1 -го и і-го столбцов.

Аналогично

nk (s) = ( - 1 r ^ + ’ r n

^ 1)^ ),

где т m

I (s) — минор матрицы

замкнутой

системы,

получившийся в результате вычеркивания п +

1 -й строки

и k-то столбца.

С' (* ') = И т ' g (s)»fe(s)

' 2 ( - D ! « , (S) Sä

*et

1 = 1

In + 1,

A

hi +

1\

и т и + і .

i

(s)m k

(2.22)

]<s)-

m C +

‘) (s)mC

£

1,})(s)+

/и +

1 \

/я +

1 ,

А

=

j (

*

>

" ■

(

„ +

при

, < к ’

(п +

1\

(п +

1,

А

— m[

Т

. 1(s)m(

I

(,) +

и +

1 / v

'

\

k,

j

n -f- \\

(n +

1 ,

A

-f- in

/

<s)mL+ i,

J (s)

при i > k -

Подставив

полученные выражения в (2.22),

получим

с](8 і) = lim

1

г/

1 \fe~h/

Аp (s) Cjk (s)],

7 (s) л* (s)

[(— l ) i+l nijk iß) an +

где

k—I

<*(»> =

< - !> “

‘+ Ж

S

(— l/ ai is)

^ 1’ (s) +

+

£

( - 1 )г+Ч -ф ™

и Ң- А /

k,

i, (S)

или

i= fc+ l

M

'

.-«Д

nAs)

■

A- (s)

Sä

q (s) /tft (s)