Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
где [ ]_ — матрица, элементы которой — суммы правиль ных дробей с полюсами в правой полуплоскости, получаю щиеся в результате разложения элементов матрицы, стоя щей в квадратных скобках, на сумму целой части (полино мов от s) и правильных дробей.
Подставим (1.91) и (1.97) в (1.93):
[Н АР-1Г]_ = [ЯПГ1(ІУ |
3 + ГМ ) Р~'Г]_ = |
= [НАР-'Г]-, так как |
[ЯПГ‘ПХГ]_ = О, |
т. е. равенство (1.88) также доказано.
Теперь осталось указать алгоритм перехода от матрицы W, определяемой формулой (1.85), к уравнению регулятора вида (1.52). Для этого исследуем структуру матрицы W, определяемой формулой (1.85).
Покажем сначала, что элементы матриц, стоящих в квад ратных скобках формулы (1.85), не содержат полюсов в пра
вой полуплоскости, т. е. |
|
|
|
|
|
[А; (s) H:'QT 'C + /< _ Г -‘М]_ = |
0, |
(1.94) |
|||
[ Я - Г - ’Р _ |
Я 7 ,(37ІЯ ,/?]_ = 0. |
|
(1.95) |
||
Согласно (1.79), |
|
|
|
|
|
К - = [(ЯГ'ЗГ'Л^Я - |
НА) Р ~ 1Т]-. |
(1.96) |
|||
Учитывая (1.74), (1.78) и (1.70), левую часть (1.94) мож |
|||||
но преобразовать следующим образом: |
|
|
|||
[А* (s) H ~lQ~'C - f Я - Г ~ ’М]_ = |
|
|
|||
= [А; (s) H~'Q~]C + |
(H-'Q-'N^RN - |
HAN)]- = |
|||
|
(HZ'Q7'G#G — HAN)]_ = |
|
|||
|
Д р (s) |
|
|
|
|
Подставив значение К - из (1.96) в левую часть (1.95), |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
[Я _ г -У - |
Я 7!(2 7 'а д _ = |
[HTQ7'N, R - |
н а - |
||
- |
Я 71(271я*і?]_ = - |
[НА]- а |
о. |
|
|
Таким образом, равенства (1.94) и (1.95) доказаны.
36
Покажем теперь, что элементы исследуемых матриц не содержат полюсов и в левой полуплоскости, за исключением, быть может, полюсов матрицы Г -1 .
Как видно из формулы (1.85), полюсы в левой полупло скости, отличные от полюсов Г-1 , могут появиться у матриц [Д* (s) Я Г 1 Q7lC + К -Г ~ ]М ] и [7<_Г_1Р — Я Г 1QT'N^R } только за счет полюсов матрицы Q71. Однако удается пока зать, что эти матрицы не содержат полюсов матрицы Q71, если учесть сомножители Я* и Ар (s).
Действительно, согласно (1.70) и (1.69),
А; (s) Q71= [Ар (s) Q“ 1}, = |
'АР (s) [А, (s) В + Л Я Г 1}., = |
|
= |
{(5 + |
ЛР-іуИ Г1},. |
Но матрица (В + |
А Р~ХМ )~Х аналитическая в правой |
|
полуплоскости (см. элемент Ѳ22 матрицы Z~x, аналитиче ской в правой полуплоскости (1.67)), следовательно, матри
ца {(Я + А Р~1М)~1)х не имеет полюсов |
в левой полупло |
||
скости. |
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
0 7 % |
= (М2-1)* = (N [Ар (S) В + |
Л Я ]-1}, = |
|
|
= [Р-'М (В + |
А Р -'М Г1}#. |
|
Согласно |
(1.67), матрица |
Р~ХМ (В + |
А Р~ХМ)~Х= Ѳ12 |
и, следовательно, не имеет полюсов в правой полуплоскости,
т. е. матрица {Р~ХМ (В + |
АР~ХМ )~х)^ не имеет полюсов в |
левой полуплоскости. |
1 Q7^C - f К -Т ~ХМ ] и [К -Т ~ХР — |
Если матрицы [Ар (s) Я 7 |
— H ~xQTxN.tR ] умножить на полином у (s), равный обще
му знаменателю элементов матрицы Г -1 , то в результате получим полиномиальные матрицы и, согласно (1.56) и (1.52), уравнение оптимального регулятора запишется в виде
(у (s) д ; (s) H~xq rxC + к -у (S) Г-'М ] и = |
|
= [^-Ѵ (S) Г ~'р - у (.S) Я Г 'С Г 'а д *■ |
(1.97) |
Таким образом, движение замкнутой системы объект + + регулятор будет описываться системой уравнений (1.51), (1.97) и характеристический определитель Д (s) этой системы
запишется так: |
|
Р |
— A4 |
А (s) = y {s )H ^ Q -xN , R - |
V(s) Др (s)H ~lQ -'C + - |
~ K - y ( s ) T - ' P |
+ K - y (s )r ~ lM |
|
(1.98) |
Используя формулы вычисления определителя блочной матрицы (1.75), (1.69) и (1.78), получаем явную формулу для A (s) и убеждаемся еще раз, что A (s) — гурвицев поли ном:
А (s) = |
Ар (s) del [у (5) A; (S ) H~'Q~'C + |
К -у (s) r~ 'M |
• |
|||||||
- |
К -у (s) Г-'М + |
у (s) H -'Q -% R P ~ l] = |
|
|||||||
|
= |
Ap (s) del t “p&P(s) |
* |
* |
|
|
||||
Ap (s) det |
Y(s) |
HQ |
|
ym(s) |
det H det Q. |
(1.99) |
||||
Д Р (s) |
|
, Ш— 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(s) |
|
|
|
|
По определению матрицы |
Q (1.70) |
|
|
|
||||||
det <2 = det [Ap (s) В + |
AN] = |
A"1(s) det (В + Л Р-'М ). |
||||||||
С другой стороны, учитывая (1.75), |
|
|
|
|||||||
det Z = det |
ГР — |
M l |
Ap (s) det (B + |
AP-'A4), |
||||||
В |
= |
|||||||||
T . e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det Q — A"!-1 (s) det Z. |
|
|
(1.100) |
||||
Согласно |
(1.78), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det |
|
= |
т ш і7 |
« |
< а д |
т Ф |
г |
<U 0 1 > |
|
Вычислим |
определитель |
некоторой |
вспомогательной |
|||||||
блочной матрицы1, дважды пользуясь формулой (1.75):
■Р |
0 |
- м |
~ |
р * |
0' |
|
|
0 |
' |
||
det R |
Р * |
= Ар (s)det 1 |
— A4 |
С |
|
0 |
- М * |
с |
Vі |
|
WJ |
_ |
|
|
1 Эта матрица эквивалентна матрице уравнений Эйлера — Лагран жа задачи аналитического конструирования регуляторов (частный B H J
этой матрицы для т = 1 см., например, в [18]).
38
Р |
P* |
RP-'M |
[0 ; - A f ] = Äp(s)det - Л Г , |
С |
=Ар (s) Ар (s) det (С +
=Ap (s) Ap (s) det J—-sr
A p ( s ) A p ( s )
i-ln n -I;
M.,P~lR P -lM)
[Ap(s)CAp(s) + A gW ]} =
|
|
|
1 |
|
^ d e t (G,G). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
[Ap(s) A p |
(s)]' |
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Р |
0 |
— мг |
|
|
|
|
|
|
det |
R |
я* |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
— Л1 . |
с |
|
Обозначив |
|
|
|
|
|
g* (s) g (s), |
|
|
|
|
"Я |
0 |
|
— М' |
|
|
|||
det |
R |
Р* |
|
|
= |
|
(1 .1 0 2 ) |
||
|
0 |
- м ., |
С |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
где g (s) — полином ОТ S, имеющий нули только |
в левой |
||||||||
полуплоскости, |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
det (G*G) = [А; (S) Ap (s )f |
£ * (s) £ (s). |
(1.103) |
|||||||
Подставим (1.103) и (1.100) в (1.101): |
|
|
|
||||||
det (Я*Я) = |
|
g* (s) [А ; (s) Ap (s )]" -1^ ) |
|
* |
|||||
[ A p |
(s)]m |
1 det Z , |
|
Ш—1 |
|||||
|
|
det Z [ Ä p ( s ) ] |
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d8 |
t H |
“ |
i i T |
. |
|
|
O -'04) |
так как матрица И вместе с обратной аналитическая в пра вой полуплоскости.
Таким образом, согласно (1.99), (1.100) |
и (1.104), харак |
|
теристический определитель |
системы объект + регулятор |
|
А (s) = |
ут (s) g (s) |
(1.105) |
имеет нули только в левой полуплоскости. |
|
|
Приведенное в настоящем параграфе |
решение зада |
|
чи позволяет указать класс внешних возмущений, относи тельно которых регулятор, определяемый формулой (1.85),
39
