Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

0,5s + 0,1

— 0,5s — 1,3

/<оГ~’М = — У 2

0,5s -j- 2,9

 

 

0,5s + 1 ,7

К0Г~'Р = - Ѵ 2

s2

+ 0,9s — 1,3

1,5s2

+

1,8s -h 6,9

— 0,7s + 2,9

0,5sa +

3,6s — 7,7

 

K 0T - lP +

 

- 1 , 2

3,6

■

 

H = — V 2

— 10,8

 

 

3,6

и матрица W (1.126a) передаточных функций оптимального регулятора запишется в виде

‘0,5s +

0,1

■— 0,5s— 1,3’—1

' - 1 , 2

3,6 ’

0,5s +

1,7

0,5s -f- 2,9

. 3,6

— 1 0 , 8

Уравнения оптимального регулятора имеют вид

O.ÖUJL + 0, IWJL— 0,5н2 —•1,3и2 = — 1,2 (л: — 3у),

0 , 5 1,7и1 -j- 0,5и2 Ч- 2,9«з = 3,6 (х — Зі/).

Этот пример можно рассматривать как пример задачи стабилизации неустойчивого объекта (det Р имеет один нуль в правой полуплоскости) минимальными затратами «мощ­ ности управления», поскольку минимизируемый функцио­ нал в какой-то степени соответствует затрачиваемой на стабилизацию энергии.

III. Рассмотрим еще один пример, для решения котор придется воспользоваться общими формулами. Пусть дви­ жение объекта описывается системой дифференциальных уравнений

Х 1 + * 1 — Х 2 = « 1 + Фи

х2+ 5х2 — Зх3 = Ц[ — и2-}- ф2,

=2 их - f и%+ ф3,

где фх, ф2, ф3 — стационарные случайные процессы с нуле­ вым математическим ожиданием и постоянной матрицей спектральных плотностей 5ф.

Необходимо найти закон управления, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы и минимум функционала

е = <«!) + («al­ so

В обозначениях, принятых в § 3, имеем

 

 

' 5 + 1

— 1

0 '

 

 

 

'l

0 ’

p =

0

 

s 4 - 5

3 , M — 1

- 1

 

4

 

0

s

 

 

 

_ 2

1 _

Требование аналитичности в правой полуплоскости ма­

трицы Z вместе с

обратной можно удовлетворить, положив

 

А =

0

1

0 ’

В =

0

0 '

 

 

1

0

OJ’

_ 0

o j’

так как при этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“ S - И

— 1

0

-

1

 

0

 

 

О

s 4 - 5

3

— 1

 

1

det Z = det

 

4

0

 

s

— 2

— 1

 

 

0

1

 

0

 

0

 

0

 

 

1

0

 

0

 

0

 

0

Соотношения (1.110) в этом случае (R =

0, С =

Е2) примут

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Др (s) =

det Р = s3 +

6 s2

- f 5s — 12 =

(s — 1 ) (s +

3) (s +

4),

 

 

 

s2 -j- 6 s — 6

 

— s — 3

 

N =

Ap (s)P -{M =

s2

— 5s

6

— s2 — 4s — 3

 

 

 

_2s2

8 s — 14 s2 + 6 s + 9

 

 

Q = Л/Ѵ =

's2 — 5s + 6

 

— s2 — 4s — 3"

 

 

s2 -f- 6 s — 6

 

 

— s — 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G . G =

A P ( S ) A ; ( S ) £ 2 ,

 

 

 

 

= Q ; G,;GQ- ' =

 

 

 

 

s — 3

— s2 +

6 s

6

(9 -s*) s2

— 4s 4- 3 s2

 

5s 4- 6

■X

 

 

 

 

 

— s — 3

 

s2 4 - 4 s - j- 3 '

 

 

 

 

È< _— s2 — 6 s -j- 6

 

s2 — 5s 4~ 6 .

 

 

 

Выполнив факторизацию матрицы Q7IG*GQ_ I, получим

 

[17s2 4 - 134s-f

114

— 17s2+

6 ls 4 - 6 6

 

H = 17(S 4-3) [

— 9s 4

- 3

 

 

 

17s2 +

6 2 s -f 93

 

4*

51

 

Поскольку элементы матрицы

константы, то полагая

Г

= Е з,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

+ К - = ~ Ң А р

=

І7 ( s — 1) (s + 3) *

 

 

ri7s2 — 95s — 114

— J7sa — 15s

5ls + 45

 

 

*

i7S2_28s — 3

 

— 8

s

24

’

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

K0 +

1

 

17s — 30

— 17s — 24

27'

 

/(+ = 17 ( s + 3)

— 17s — 33

— 6

− 6

И,

окончательно, согласно

(1.109),

 

 

 

 

№

= [(K0+ K+)МГ'[(Ko+

K+)P + HA]

 

 

 

1

−1 2 —

2

6'

 

 

 

 

17

48

 

8

— 24

'

 

Г Л А В А 2 ЗАДАЧА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ОД­ НОМ УПРАВЛЕНИИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ЗАДАЧЕЙ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОН­ СТРУИРОВАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ

В настоящей главе будет рассмотрен еще один частный случай полученного в § 3 гл. 2 решения задачи стаби­ лизации при идеальном измерении координат объекта, а именно будет рассмотрена задача стабилизации нескольких координат одним управляющим воздействием. Целесооб­ разность подробного исследования этого частного случая связана с тем, что довольно часто возникает необходимость управления сложным объектом одним управляющим орга­ ном х.

При решении этой задачи существенно упрощается про­ цедура факторизации матриц, входящих в общее решение (1.80). Так, матрица Н^Н (1.78) оказывается дробно-рацио­ нальной функцией, факторизация которой не требует кон­ кретного выбора матриц А и В, т. е. необходимо факторизо­ вать лишь матрицу 5,),. Благодаря этому удается получить удобное для дальнейших аналитических исследований вы­ ражение передаточных функций оптимального регулятора, что даст возможность проследить связь этой задачи с хоро­ шо изученной к настоящему времени задачей об аналити­ ческом конструировании регуляторов.

§ 1.

С И Н ТЕ З С И С ТЕМ С ТА Б И Л И З А Ц И И П Р И О Д ­

 

НО М У П Р А В Л Я Ю Щ Е М В О З Д Е Й С ТВ И И

Сформулируем еще раз задачу, рассмотренную в § 3 гл. 1, для случая т — 1. Пусть движение объекта описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с

1 Например, задача стабилизации ракеты (стабилизация несколь" ких координат — колебания жидкости в топливных баках, упругие колебания корпуса и пр.— одним управляющим воздействием [ 1J), задача стабилизации полета самолета на заданной высоте [19] и др.

5;

постоянными

коэффициентами

 

 

Рх =

ти (t) + ф,

(2 .1 )

где X — [л'х (0

, .... хп (0 1

' — /г-мерный вектор

координат

объекта, и (і) — координата регулятора (управляющее воз­ действие), ф = [ф1 (/), ..., фп (/) ]' — /г-мерный вектор внеш­ них возмущений, компоненты которого ф£ (/) — стационар­ ные случайные процессы с нулевым математическим ожи­

данием и дробно-рациональной

матрицей спектральных

плотностей

(ш), Р и т — матрица

п X

п и вектор-стол­

бец (матрица п X

1),

соответственно,

элементы которых

Ріі (р) и іщі (р) — операторные

полиномы

от рі^р

= ~ j,

Требуется

найти

уравнение регулятора

 

 

 

 

 

 

 

w0 (р) и (t) = WX

 

 

 

(2.2)

так, чтобы

замкнутая

система

объект +

регулятор

была

устойчива и функционал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

<МгУ

 

 

 

е =

2

гі

+ с

+

(2.3)

 

 

 

/=і

 

 

 

 

 

 

достигал

минимума.

 

 

 

 

 

 

Здесь скаляр ш0

(р) и элементы вектора-строки ш — опе­

раторные полиномы от р, (*?>,

(гг2)

и

(гг2) — дисперсии

величии

Хі

(t), u(t)

и du (J)/dt,

rt и с — неотрицательные

весовые

константы.

 

 

 

 

 

 

 

Используя преобразование Лапласа к уравнениям (2.1),

(2 .2 ), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (s) X(s) = пг (s) и (s) - f

ф (s),

 

 

 

 

 

u(s) — w (s) X(s),

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

<2 -4)

Таким образом, задача сводится к определению вектора w такого, чтобы замкнутая система объект + регулятор была устойчива (все нули характеристического определителя, соответствующего системе уравнений (2 .1 ), (2 .2 ), должны иметь отрицательные действительные части) и функцио­ нал (2.3) достигал минимума.

54

Смотрите также файлы