Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

сохраняет свойство оптимальности. Как видно из этой форму­ лы, влияние характеристик внешних возмущений на структу­ ру регулятора проявляется наличием в формуле для W ма­ трицы К -Г -1 , которая, согласно (1.96), определяется так:

К -Т ~ 1= [(H~lQ-'N:,R — НА) Р -*Г ]_ Г _І. (1.106)

Если элементы матрицы спектральных плотностей 5ф внешних возмущений константы, то элементы матрицы Г (см. (1.77)) также константы и соотношение (1.106) запи­ шется в виде

К -Т -' = [(Я Г’О Г'лу? - НА) р -']_ = К_,

где элементы матрицы V_ не зависят от статистических ха­ рактеристик внешних возмущений. Таким образом, ре­ гулятор, определяемый уравнением

[Д*р (s) H-'Q-'C + F_M] и = [К_Р - H -'Q -% R ] х, (1.107)

будет оптимальным при любых внешних возмущениях, эле­ менты матрицы спектральных плотностей которых кон­ станты.

Более того, если регулятор, определяемый формулой (1.85) или уравнением (1.97), является оптимальным при возмущениях с матрицей спектральных плотностей (со) = = Г (/со) Г' (— /со), то он будет оптимальным и при возму­

т. е. уравнения оптимальных регуляторов при возмущениях

40

При рассмотрении конкретных задач использование реше­ ния в виде (1.85) требует выполнения довольно трудоемких выкладок. Поэтому представляется целесообразным иссле­ довать некоторые частные случаи, когда удается получить более простые формулы для матрицы передаточных функций оптимального регулятора, используя специфику динамиче­ ских свойств объекта.

Как было показано в § 3, матрица W передаточных функ­ ций оптимального регулятора определяется соотношением

41

а матрица передаточных функций оптимального регулятора определится формулой

матрицу передаточных функций оптимального регулятора

42

Отсюда видно, что из-за наличия полюсов в правой полуплоскости у матрицы М ~1 (матрицы G и Г аналитиче­

Пусть движение объекта описывается системой дифферен­

где фх и ф2 — некоррелированные стационарные случай­ ные процессы с единичной спектральной плотностью.

Необходимо найти закон управления, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы объект + регулятор и ми­ нимум функционала е = (х2) -)- (У2).

,В обозначениях, принятых в § 3, имеем

Выполним факторизацию полиномиальной матрицы (?*G = = N^RN.

Воспользуемся алгоритмом Дэвиса [321, который осно­

ван на представлении матрицы G~l в виде

к

Исходная полиномиальная матрица домножается справа на Т(, а слева на 7Д, причем матрица Тс строится так, что­ бы в результате выполнения этой операции снова получить

43

полиномиальную матрицу. Отметим, что домножение исход­ ной матрицы справа и слева на Tt и 7 + понижает степень ее определителя, так как det Т ~1 равен элементарному де­

ятелю det G, а det ТГ? — элементарному делителю det G*, При факторизации двухмерной матрицы элементарному делителю det G первого порядка s + gi ставится в соответ­

ствие одна из матриц

где k[ выбирается так, чтобы в результате домножения ис­ ходной матрицы на Т{ получить полиномиальную матрицу, что соответствует выбору /г,- из условия делимости элементов первого столбца матрицы, получившейся после умножения на Tt вида (1.120), на s + g t, или из условия делимости эле­ ментов второго столбца на s + gi, если Т ( имеет вид (1.121) х.

Аналогично, элементарным делителям det G второго по­ рядка s2 + a(s + bi (случай пары комплексно сопряжен­ ных нулей det G) ставится в соответствие матрица

1 Так как gi является нулем определителя матрицы G*G, то два уравнения относительно ki, получаемые из этих условий, оказываются линейно зависимыми.

44