Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Подставив с“ (gt) в (2.20), получим

и dj (gt) имеют вид (2.18), (2.23) и (2.19), явно не зависящий от полиномов a t (s) и ß (s). Следовательно, согласно (2.17), (2.16) и (2.13), и векторы и_, /е_ и w не зависят от полиномов a i (s) и ß (s).

Пример. Пусть движение объекта описывается следую­ щей системой линейных дифференциальных уравнений:

х= х -\-Зу — и — фр

у= 2у — и — ф2,

где фі и ф2 — стационарные случайные процессы с нуле­ вым математическим ожиданием и матрицей спектральных плотностей

ким образом, чтобы при устойчивой замкнутой системе

Согласно (2.1), (2.6), (2.7) и (2.10),

60

Подставив в (2.18), (2.23) и (2.19) соответствующие вели­ чины, получим

/ Ы = ° (/, t = \ , 2 ),

и(s) совпадают со значениями передаточных функций

61

оптимального регулятора, полученных при решении приме­ ра, приведенного в работе [13].

Рассмотренный пример хорошо иллюстрирует инвари­ антность решения относительно постоянной матрицы — мно­ жителя справа к матрице Г, которая была доказана в § 3 гл. 1 .

Действительно, матрицу Г можно представить в виде

причем решение задачи не должно зависеть от х1 и т2 (эле­ ментов постоянной матрицы-множителя), что и видно из окончательных формул для wx (s) и w2 (s).

§ 2. С В Я З Ь З А Д А Ч И С И Н ТЕ З А О П ТИ М А Л Ь Н О Й

С И С ТЕМ Ы С ТА Б И Л И З А Ц И И С З А Д А Ч Е Й А Н А ­ Л И ТИ Ч Е С К О Г О К О Н С ТР У И Р О В А Н И Я Р Е Г У Л Я ­ ТО Р О В

В § 3 гл. 1 показано, что передаточные функции оптималь­ ной системы стабилизации не зависят от интенсивности воз­ мущений, действующих по различным координатам, если эти возмущения являются многомерными стационарными случайными процессами с постоянной спектральной плот­ ностью.

Этот результат можно было предугадать, руководству­ ясь следующими соображениями. В [18] показано, что вид оптимального регулятора инвариантен относительно на­ чальных условий. В [14] отмечается, что задача аналити­ ческого конструирования регуляторов может быть решена методами теории оптимальной фильтрации Винера — Кол­ могорова, если начальные условия заменить возмущениями типа 6 -функций. Таким образом, если объект, для которого синтезируется оптимальный регулятор, находится под воз­ действием «-мерного 6 -коррелированного процесса, то мож­ но было ожидать, что вид оптимального регулятора не будет зависеть от интенсивности каждой из компонент внешнего воздействия, что и было показано в § 3 гл. 1 .

Ниже будет показана более сильная связь этих задач, а именно, что решение задачи аналитического конструирова­ ния регуляторов совпадает с решением, приведенным в

62

§1 гл. 2 , когда объект находится под воздействием «-мер­

ного б-коррелированного стационарного случайнного про­ цесса.

Сформулируем в принятых выше обозначениях задачу об аналитическом конструировании регуляторов [18].

Пусть возмущенное движение объекта описывается систе­ мой дифференциальных уравнений

устойчивую систему и гарантирует существование миниму­ ма интеграла [18]

е = J ^ 2 ТіА- + с “ 2 + dt>

где все rk n с — положительные весовые константы.

В [18] показано, что уравнение регулятора в этом слу­

чае имеет вид

П

для того чтобы показать тождественность решения задачи аналитического конструирования регуляторов и задачи, сформулированной в § 1 гл. 2 при S,/ (ш) = const, достаточно показать, что уравнения регуляторов имеют одинаковую структуру, а характеристические определители замкнутых систем совпадают.

63