Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 146
Скачиваний: 0
Вектор передаточных функций регулятора для объекта, возмущенное движение которого описывается системой дифреренциальных уравнений (2.1) (матрица Р имеет вид (2.26),
i f/ (со) = |
const), определяется |
согласно (2.13). Покажем, |
|||||||||
что выражение (2.13) в этом случае имеет вид |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
“' = |
7Т 7ГР о. |
|
|
|
(2.26) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р о — [Роі> |
р 0 2 > • • • > Ропіі |
|
|
|||||
|
|
|
h> Poi> |
Р о 2 > ■ • • > Pon = |
const. |
|
|
||||
Если элементы матрицы |
(со) константы, |
то, согласно |
|||||||||
(1.102), уравнение регулятора примет вид |
|
|
|||||||||
(С _ s3) Д |
(5) |
|
и = |
г)_Р — |
|
|
X, (2.27) |
||||
|
g* (s) |
+ |
г>_т |
g*(s) ■ n*R |
|||||||
причем, как было показано в |
§ 3 гл. |
1, скаляр |
w0 (s) |
||||||||
(с — s3)A |
(s) |
|
и |
элементы |
вектора |
- |
|
||||
----------- |
^ + v - m |
w — |
|||||||||
g* (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ j—- |
iuR — полиномы от s. |
|
|
|
|
|
|||||
g* (s) |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общим знаменателем всех элементов вектора w явля |
|||||||||||
ется полином |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
w0 (s) = |
( С - ^ ) |
А * |
(5) |
+ |
Ѵ-т, |
|
|
|
|
|
|
|
|
g*(ß) |
|
|
|
|
|
|
равный |
целой |
части |
от деления |
полинома (с — s2) Др (s) |
на полином g* (s), так как дробные части слагаемых в этой формуле равны по величине и противоположны по знаку
(см. (1.89)), а скаляр и _ т при т( = const |
целой части |
не |
|
содержит. |
|
|
п, |
Поскольку порядок полинома Др (s) = |
det |
равен |
а порядок полинома g* (s), определяемого из разложения
(2.10), |
п + 1, то |
|
|
|
|
Wo (s) = |
s + |
h, |
|
где h = |
const. |
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
W = |
1 |
|
|
|
--- r~Tw, |
|||
|
|
S + |
/l |
’ |
64
где, согласно (2.27), |
вектор |
|
|
|
W = Ѵ—Р - |
1 |
nJR, |
||
g*(s) |
||||
|
|
|||
элементы которого |
woi = ро/ = const. |
Таким образом, для доказательства тождественности оп тимальных регуляторов осталось показать равенство ха рактеристических определителей замкнутых систем.
Квадрат модуля характеристического определителя замкнутой системы объект + регулятор, возмущенное дви жение которой описывается системой уравнений (2.24) и (2.27), согласно (1.105) и (2.10), можно записать так:
A* (s) A (s) = |
g* (s) g (s) = n:,Rn -f- (c — s2) A* (s) Ap (s), (2.28) |
так как у = |
const. |
В задаче аналитического конструирования регуляторов характеристический определитель A (s) замкнутой системы
объект + |
регулятор |
(характеристический |
определитель |
||
уравнений |
вариационной задачи) определяется из уравне |
||||
ния 118] |
|
' Р |
0 |
— т |
1 1 |
|
|
||||
|
A* (s) A (s) |
2R |
— Я* |
о |
> |
|
|
о' |
tri |
2 (с — sa) |
|
где 0 — нулевая матрица размера п X п, о — нулевой вектор-столбец, R = diag [гг, г2, ..., гп}. Воспользовав шись формулами вычисления определителя блочной матри цы (1.75), получим
A* (s) A (s) = Ар (s) det |
' - Р . |
о |
|
tri |
2 (с — s2) |
||
|
= Ар (s) det
- 2 R P - ]m 2 (с — s2)
или
A* (s) A (s) = (— l)n Ap (s) Ap (s) [/п 'Я ^ Я Я -1/« + 2 (c — s2)].
Согласно (2.10), это произведение можно записать в виде
Л* (s) A (s) = 2 (— 1)п [n^Rti + (с —s2) A* (s) Ар (s)],
1 Определитель этой матрицы с точностью до постоянного множи теля совпадает с определителем вспомогательной блочной матрицы, ис пользованной в § 3 гл. 1 (см., например, (1.102)).
5 3 - 5 8 2 |
6 5 |
что совпадает с (2.28) с точностью до отличного от нуля постоянного множителя. Таким образом, доказана тождест венность оптимальных регуляторов двух рассмотренных задач при S {/ (со) = const.
Тесная связь между задачей аналитического конструи рования регуляторов и задачами стабилизации объектов при случайных возмущениях существует и в том случае,
когда |
элементы S q |
(со) матрицы спектральных |
плотностей |
|
не |
являются константами. |
|
|
|
Действительно, |
в § 3 гл. 1 |
было показано, |
что переда |
точные функции оптимальной системы стабилизации не изменятся, если формирующую возмущения матрицу Г умно жить справа на постоянную невырожденную матрицу. Повидимому, этот факт связан с тем, что задачу синтеза опти мальной системы стабилизации при Sq (со) Ф const можно свести к задаче синтеза большей размерности, если возму щающие воздействия рассматривать как решения дополни тельной группы дифференциальных уравнений, в правых частях которых стоят возмущения типа «белого шума»,
Докажем это, т. е. покажем, что решение задачи § 1 гл. 2 (2.13) совпадает с решением следующей 2/і-мерной задачи. Пусть возмущенное движение объекта описывается
системой |
уравнений |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Р0х0 = |
т0и (0 + É, |
|
|
(2.29) |
|
где |
х0 |
= |
[*! (0, |
.... хп (t), |
ух (І), |
Уп (01' — 2/г-мерный |
|||||
вектор, |
и (t) — управляющее |
воздействие, |
§ (t) — 2/г-мер |
||||||||
ный 6-коррелированный случайный процесс |
(Si (со) = E on ), |
||||||||||
|
|
|
Р о = |
'Р |
— y (s)E n |
(Г0 = |
У (s) Г -1), |
|
|||
|
|
|
А |
Г0 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
т0 - |
[тѵ т2, |
. . . . |
тп, 0, |
. . . , 0]'. |
|
||
|
Здесь Р, тс, хс (t), у (s) и Г совпадают с соответствующи |
||||||||||
ми величинами в задаче § 1 гл. 2, а координаты |
у2 (t), ... |
||||||||||
• • • 1 |
Уп. (0 |
с точностью до множителя у |
(s) соответствуют воз |
||||||||
мущающим воздействиям фі (і), ..., ф„ (t). |
|
|
|||||||||
|
Необходимо найти передаточную функцию до0Прегулято- |
||||||||||
ра и = |
w0x, |
минимизирующую функционал е = 2 |
rt (xf) -f |
||||||||
|
c (w2) + |
(u2). |
|
|
|
|
|
t=l |
|
||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
66
Применив для |
решения |
сформулированной |
|
2/г-мерной |
|||||||||
задачи методику § |
1 гл. 2, получим, согласно |
(2.13), 2/г-мер- |
|||||||||||
ный вектор искомых передаточных функций |
|
|
|
|
|||||||||
wn= |
(с — s2) Аре (5) |
|
■ -1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
Щ-Щ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
+ |
Ѵ0- Р 0 |
|
e0(s) no*R |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
где АРо(s) = |
Av (s) Ар (s), |
g 0 (s) = |
Дѵ (s) g |
(S), |
|
n0 = |
[Av (s)/z; |
||||||
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,.... 0]' — 2/г-мерный вектор, v0- |
= [Ü_; |
k -] |
(согласно |
(2.15) |
|||||||||
и (2.16)), R0 = |
diag {rv ..., |
ra, |
” |
|
|
rp |
0 |
-i |
|||||
0, ..., |
0} |
= |
|
|
" . |
||||||||
Здесь Ay (s) |
= |
det Г 0, |
а |
Ap (s), g (s), |
n, |
R, |
w_ и |
/е_ со |
|||||
впадают с |
соответствующими величинами |
в |
§ |
1 |
главы 2. |
||||||||
Исходя из структуры векторов щ0 и ^оі закон управления |
|||||||||||||
(2.58) |
можно переписать |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
и = wxx + |
wyy, |
|
|
|
|
|
(2.30) |
||
|
|
|
|
|
—1г |
|
|
|
|
|
|
|
|
w. |
(с — |
s2) Д р (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
--- г-— — - -fV-tn |
ü-_p ■ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
g* (s) |
|
' |
|
—1 |
g * iß) |
|
|
|
(2.31) |
||
|
(c — |
s2) Д р (s) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
[6_Г0 — Y (S)O_], |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g* (5)
T. e. представить управление и в виде суммы «управлений по отклонению» (wxx) и «управлений по возмущению» (wyy).
Положив в первых п уравнениях системы (2.29) = = |2 = ••■ = = 0, можно из этих уравнений выразить у через X и и и, таким образом, исключить из закона управле ния (2.30) «управления по возмущению»:
у = W ('Рх ~ ти^ и = [у ® + Wy1n]~ '[у ® w* + WyP]'
Подставив значения wx и wy из (2.31) в последнее урав нение, получим
(с — s2) Д * |
(s) |
/е_Г 'т |
@<5 |
и = wx = |
+ |
||
g*(s) |
|
|
|
&С Ы Г ' Р |
1 |
n*R х, |
|
g*(.s) |
|
т. е. передаточная функция w совпадает с передаточной функ цией оптимального регулятора при решении «-мерной зада чи (2.13).
5* |
67 |
|
Проиллюстрируем изложенное на примере. Пусть воз мущенное движение объекта описывается системой линей
ных дифференциальных |
уравнений |
|
X = X + |
Зу — |
— и — Іѵ |
У = |
2у |
— га — и — 6а, |
— 71±Zi — |
Z-L |
— Т]£а, |
где §lf |2, £3 и |4 — некоррелированные стационарные слу чайные процессы типа «белый шум» с единичной спектраль
ной |
плотностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
обозначениях, |
принятых в |
§ 1 |
гл. 2, имеем |
|
||||||
|
- \ — p |
3 |
|
— 1 |
|
|
0 |
|
|
~ 1 " |
|
|
0 |
2 — p |
0 |
|
|
— 1 |
, |
m = |
1 |
||
p = |
0 |
|
TJ J + |
1 |
|
0 |
|
0 |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
T ,P + 1_ |
_ 0 _ |
|||
|
|
Г |
= |
diag {1, |
|
1, |
тъ |
т2}. |
|
|
|
Необходимо определить закон управления |
|
|
|||||||||
|
u = wx (p)x + |
|
W y { p ) y + |
|
wZl р ) |
2j |
+ w2t (р ) z„ |
(2.32) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
т. е. передаточные функции регулятора wx (р) = |
wx (p)/wQ(р), |
||||||||||
wy ( р ) |
— Wy (p)/w0 { р ) , |
|
wZl ( р ) |
= |
w2, (p)/w0 (p), |
w2t |
(p) = |
= w2j {p)/w0 (p) таким образом, чтобы при устойчивой замкнутой системе объект -f- регулятор минимизировалась
величина е = с (и2) + |
(а 2). |
|
|
|
|||
Решением, согласно (2.13), будут функции |
|
||||||
и»о (s) = |
s + Ѵ~с + |
6, |
|
|
|
||
(s) = |
3 (]/~c + |
1), |
|
|
|
||
w,,(s) = |
- 9 ( ] / 3 |
+ |
1) + 12 (V~c + |
2), |
(2.33) |
||
W2 M |
3(/c+l) |
r |
|
||||
|
|
||||||
w ----------- T\ + |
l |
1 x' |
|
|
|||
®z, (s) = |
9 (Vc+ 1) |
Т» |
12 ( / c |
2) rn |
|
||
|
Г . + |
І |
|
|
2 Г ,+ 1 |
' |
|
63